Cinemática Escalar e Vetorial

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### Introdução à Cinemática A cinemática é o ramo da mecânica que descreve o movimento de pontos, corpos e sistemas de corpos sem considerar as forças que causam o movimento. É a base para o estudo da dinâmica. Ela se concentra em grandezas como posição, velocidade e aceleração, e como elas variam ao longo do tempo. O estudo da cinemática é fundamental para entender fenômenos que vão desde o movimento de planetas até o funcionamento de máquinas complexas. ### Grandezas Fundamentais #### Posição ($\vec{r}$) - **Definição:** Localização de um objeto em relação a uma origem. - **Unidade SI:** metro (m). - **Escalar/Vetorial:** Vetorial. #### Deslocamento ($\Delta \vec{r}$) - **Definição:** Variação da posição de um objeto. É um vetor que aponta da posição inicial para a final. - **Fórmula:** $\Delta \vec{r} = \vec{r}_{final} - \vec{r}_{inicial}$ - **Unidade SI:** metro (m). - **Escalar/Vetorial:** Vetorial. #### Distância Percorrida ($d$) - **Definição:** Comprimento total da trajetória percorrida por um objeto. - **Unidade SI:** metro (m). - **Escalar/Vetorial:** Escalar. - **Observação:** Geralmente, $d \ge |\Delta \vec{r}|$. #### Velocidade Média ($\vec{v}_{m}$) - **Definição:** Razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo. - **Fórmula:** $\vec{v}_{m} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ - **Unidade SI:** metro por segundo (m/s). - **Escalar/Vetorial:** Vetorial. #### Velocidade Instantânea ($\vec{v}$) - **Definição:** Limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero. É a derivada da posição em relação ao tempo. - **Fórmula:** $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ - **Unidade SI:** metro por segundo (m/s). - **Escalar/Vetorial:** Vetorial. - **Observação:** A direção da velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória. #### Aceleração Média ($\vec{a}_{m}$) - **Definição:** Razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo. - **Fórmula:** $\vec{a}_{m} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ - **Unidade SI:** metro por segundo ao quadrado (m/s²). - **Escalar/Vetorial:** Vetorial. #### Aceleração Instantânea ($\vec{a}$) - **Definição:** Limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero. É a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição). - **Fórmula:** $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ - **Unidade SI:** metro por segundo ao quadrado (m/s²). - **Escalar/Vetorial:** Vetorial. ### Movimento Retilíneo (1D) #### Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) - **Características:** Velocidade constante ($\vec{v} = \text{constante}$), aceleração nula ($\vec{a} = 0$). - **Equações:** - Posição: $x(t) = x_0 + v_x t$ - Velocidade: $v_x(t) = v_x$ #### Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) - **Características:** Aceleração constante ($\vec{a} = \text{constante}$), velocidade varia linearmente. - **Equações:** - Posição: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{1}{2}a_x t^2$ - Velocidade: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$ - Equação de Torricelli (sem tempo): $v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x (x - x_0)$ ### Movimento em Múltiplas Dimensões (2D/3D) #### Vetores Posição, Velocidade e Aceleração - **Posição:** $\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k}$ - **Velocidade:** $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} = v_x(t)\hat{i} + v_y(t)\hat{j} + v_z(t)\hat{k}$ - **Aceleração:** $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\hat{i} + \frac{dv_y}{dt}\hat{j} + \frac{dv_z}{dt}\hat{k} = a_x(t)\hat{i} + a_y(t)\hat{j} + a_z(t)\hat{k}$ #### Movimento de Projéteis (2D com $a_y = -g$, $a_x = 0$) - **Componentes da Velocidade Inicial:** - $v_{0x} = v_0 \cos\theta_0$ - $v_{0y} = v_0 \sin\theta_0$ - **Equações de Movimento:** - **Eixo X (MRU):** - $x(t) = x_0 + v_{0x}t$ - $v_x(t) = v_{0x}$ - **Eixo Y (MRUV):** - $y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$ - $v_y(t) = v_{0y} - gt$ - $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g(y - y_0)$ - **Alcance Máximo ($R$):** $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_0)}{g}$ (para $y_0 = 0$) - **Altura Máxima ($H$):** $H = \frac{(v_0 \sin\theta_0)^2}{2g}$ (para $y_0 = 0$) ### Movimento Circular #### Grandezas Angulares - **Posição Angular ($\theta$):** Ângulo varrido. Unidade SI: radiano (rad). - **Deslocamento Angular ($\Delta\theta$):** Variação da posição angular. - **Velocidade Angular ($\omega$):** Taxa de variação da posição angular. - $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ - Unidade SI: rad/s. - **Aceleração Angular ($\alpha$):** Taxa de variação da velocidade angular. - $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ - Unidade SI: rad/s². #### Relação entre Grandezas Lineares e Angulares (para raio $R$ constante) - **Posição:** $s = R\theta$ (com $\theta$ em rad) - **Velocidade Tangencial:** $v_t = R\omega$ - **Aceleração Tangencial:** $a_t = R\alpha$ #### Componentes da Aceleração em Movimento Curvilíneo - **Aceleração Tangencial ($\vec{a}_t$):** Componente da aceleração paralela à velocidade, responsável pela mudança na magnitude da velocidade (rapidez). - $a_t = \frac{dv}{dt}$ - **Aceleração Centrípeta ($\vec{a}_c$ ou $\vec{a}_N$):** Componente da aceleração perpendicular à velocidade, responsável pela mudança na direção da velocidade. Aponta para o centro da curvatura. - $a_c = \frac{v^2}{R} = R\omega^2$ - **Aceleração Total:** $\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_c$ - $|\vec{a}| = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$ #### Movimento Circular Uniforme (MCU) - **Características:** Velocidade angular constante ($\omega = \text{constante}$), rapidez constante ($v_t = \text{constante}$). Aceleração tangencial nula ($a_t = 0$). - **Aceleração:** Apenas aceleração centrípeta ($a = a_c$). - **Equações:** - $\theta(t) = \theta_0 + \omega t$ - $\omega(t) = \omega$ - Período ($T$): tempo para uma volta completa. $T = \frac{2\pi}{\omega}$. - Frequência ($f$): número de voltas por unidade de tempo. $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$. #### Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV) - **Características:** Aceleração angular constante ($\alpha = \text{constante}$). - **Equações:** - Posição Angular: $\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ - Velocidade Angular: $\omega(t) = \omega_0 + \alpha t$ - Equação de Torricelli Angular: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha (\theta - \theta_0)$ ### Sistemas de Coordenadas #### Coordenadas Cartesianas (Retangulares) - **Vetor Posição:** $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ - **Vetor Velocidade:** $\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k}$ - **Vetor Aceleração:** $\vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$ - **Componentes:** $x, y, z$ são independentes. #### Coordenadas Polares (2D) - **Vetor Posição:** $\vec{r} = r\hat{u}_r$ - **Vetor Velocidade:** $\vec{v} = \dot{r}\hat{u}_r + r\dot{\theta}\hat{u}_\theta$ - $\dot{r} = \frac{dr}{dt}$ (velocidade radial) - $r\dot{\theta}$ (velocidade transversal) - **Vetor Aceleração:** $\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{u}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{u}_\theta$ - $\ddot{r} = \frac{d^2r}{dt^2}$ - $\ddot{\theta} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ #### Coordenadas Cilíndricas (3D) - **Vetor Posição:** $\vec{r} = r\hat{u}_r + z\hat{k}$ - **Vetor Velocidade:** $\vec{v} = \dot{r}\hat{u}_r + r\dot{\theta}\hat{u}_\theta + \dot{z}\hat{k}$ - **Vetor Aceleração:** $\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{u}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{u}_\theta + \ddot{z}\hat{k}$ #### Coordenadas Esféricas (3D) - **Vetor Posição:** $\vec{r} = R\hat{u}_R$ - **Vetor Velocidade:** $\vec{v} = \dot{R}\hat{u}_R + R\dot{\phi}\hat{u}_\phi + R\sin\phi\dot{\theta}\hat{u}_\theta$ - **Vetor Aceleração:** Complexo, envolvendo termos para $\dot{R}$, $\ddot{R}$, $\dot{\phi}$, $\ddot{\phi}$, $\dot{\theta}$, $\ddot{\theta}$ e seus produtos. (Geralmente evitado em problemas de cinemática básica, a menos que simplificado) ### Movimento Relativo #### Referenciais Inerciais - **Definição:** Referenciais nos quais a primeira lei de Newton (Lei da Inércia) é válida. Estão em repouso ou em movimento com velocidade constante. #### Velocidade Relativa - **Fórmula:** $\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ (velocidade de A em relação a B) - **Ou:** $\vec{v}_A = \vec{v}_B + \vec{v}_{A/B}$ (velocidade absoluta de A = velocidade absoluta de B + velocidade de A em relação a B) #### Aceleração Relativa - **Fórmula:** $\vec{a}_{A/B} = \vec{a}_A - \vec{a}_B$ (aceleração de A em relação a B) - **Ou:** $\vec{a}_A = \vec{a}_B + \vec{a}_{A/B}$ #### Para Referenciais em Rotação Quando um referencial B está girando em relação a um referencial inercial A: - **Velocidade:** $\vec{v}_A = \vec{v}_B + \vec{\omega} \times \vec{r}_{P/B} + \vec{v}_{P/B}$ - $\vec{v}_A$: velocidade do ponto P vista do referencial A (inercial) - $\vec{v}_B$: velocidade da origem do referencial B vista do referencial A - $\vec{\omega}$: velocidade angular do referencial B em relação a A - $\vec{r}_{P/B}$: vetor posição do ponto P em relação à origem de B - $\vec{v}_{P/B}$: velocidade do ponto P vista do referencial B (relativa) - **Aceleração:** $\vec{a}_A = \vec{a}_B + \vec{\alpha} \times \vec{r}_{P/B} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_{P/B}) + 2\vec{\omega} \times \vec{v}_{P/B} + \vec{a}_{P/B}$ - $\vec{a}_A$: aceleração do ponto P vista do referencial A - $\vec{a}_B$: aceleração da origem do referencial B vista do referencial A - $\vec{\alpha}$: aceleração angular do referencial B em relação a A - $2\vec{\omega} \times \vec{v}_{P/B}$: Termo de Coriolis (aceleração de Coriolis) - $\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_{P/B})$: Termo de aceleração centrípeta (devido à rotação do referencial) - $\vec{a}_{P/B}$: aceleração do ponto P vista do referencial B (relativa) ### Integração e Diferenciação - **Posição para Velocidade:** $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$ - **Velocidade para Posição:** $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_{t_0}^{t} \vec{v}(t') dt'$ - **Velocidade para Aceleração:** $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}$ - **Aceleração para Velocidade:** $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_{t_0}^{t} \vec{a}(t') dt'$ - **Aceleração para Posição:** $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0(t-t_0) + \int_{t_0}^{t} \left( \int_{t_0}^{t'} \vec{a}(t'') dt'' \right) dt'$ ### Considerações Avançadas #### Movimento de Corpo Rígido - **Translação:** Todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade e aceleração. - **Rotação Pura:** O corpo gira em torno de um eixo fixo, todos os pontos têm a mesma velocidade angular. - **Movimento Geral Plano:** Uma combinação de translação e rotação. - $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{r}_{B/A}$ - $\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \vec{r}_{B/A} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_{B/A})$ #### Centro Instantâneo de Rotação (CIR) - Para um corpo rígido em movimento plano, o CIR é o ponto no qual a velocidade é instantaneamente zero. Permite analisar o movimento como uma rotação pura em torno deste ponto. #### Análise Gráfica - **Gráfico Posição vs. Tempo ($x-t$):** - Inclinação = Velocidade - Concavidade = Aceleração - **Gráfico Velocidade vs. Tempo ($v-t$):** - Inclinação = Aceleração - Área sob a curva = Deslocamento - **Gráfico Aceleração vs. Tempo ($a-t$):** - Área sob a curva = Variação da Velocidade