Algèbre Linéaire - Endomorphismes
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Endomorphisme Orthogonal Définition et Propriétés $f: E \to E$ est orthogonal si $\langle f(u), f(v) \rangle = \langle u, v \rangle$. Préserve la norme: $\|f(u)\| = \|u\|$. Image d'une B.O.N. par $f$ est une B.O.N. Valeurs propres $\lambda$ (réelles) sont $\pm 1$. Matrice Orthogonale associée $A$ $A^T A = I \iff A^T = A^{-1}$. $\det(A) = \pm 1$. Endomorphismes Orthogonaux de $\mathbb{R}^2$ Soit $A$ la matrice de $f$ dans une base orthonormée. Rotation (si $\det(A) = 1$): Matrice: $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ Angle de rotation: $\theta$. Exemples: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies \theta = 0$ (Identité) $A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$) $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$) $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \implies \theta = \frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$) Symétrie Orthogonale (Réflexion) (si $\det(A) = -1$): Matrice: $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}$ Axe de symétrie $D$: ensemble des vecteurs invariants par $f$, i.e., $f(v)=v$. C'est l'espace propre associé à la valeur propre $1$. Trouver l'axe $D$: Résoudre $A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Exemples: $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \implies$ Axe $y=-x$. $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \implies$ Axe $y=x$. $A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \implies$ Axe $y = (\sqrt{2}-1)x$. Comment identifier un endomorphisme orthogonal? Vérifier l'orthogonalité: Si $f(u) = (ax+by, cx+dy)$, vérifier si $\|f(u)\| = \|u\|$ (ou $A^T A = I$). Ex: $f_2(x,y) = (2x, 2y)$ n'est pas orthogonal car $\|f_2(x,y)\| = 2\|(x,y)\|$. Calculer le déterminant de la matrice $A$: Si $\det(A) = 1$: C'est une rotation . Identifier l'angle $\theta$ via $\cos \theta = A_{11}$ et $\sin \theta = A_{21}$ (ou $A_{12}$ avec le signe opposé). Si $\det(A) = -1$: C'est une symétrie orthogonale . Trouver l'axe de symétrie $D$ en résolvant $f(x,y) = (x,y)$.
