Algèbre Linéaire: Vecteurs

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### Introduction Soient 4 vecteurs donnés : $$\vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 7 \end{pmatrix}, \quad \vec{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}, \quad \vec{D} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ### Calculs Demandés #### a) Normes des vecteurs Calculez $||\vec{A}||$ et $||\vec{B}||$. **Formule de la norme:** Pour un vecteur $\vec{V} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$, $||\vec{V}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$. - **Calcul de $||\vec{A}||$:** $$||\vec{A}|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$$ - **Calcul de $||\vec{B}||$:** $$||\vec{B}|| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 36 + 49} = \sqrt{89}$$ #### b) Cosinus des angles Calculez $\cos(\theta_{\vec{A},\vec{B}})$ et $\cos(\theta_{\vec{C},\vec{D}})$. **Formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs:** $$\cos(\theta_{\vec{U},\vec{V}}) = \frac{\vec{U} \cdot \vec{V}}{||\vec{U}|| \cdot ||\vec{V}||}$$ - **Calcul de $\vec{A} \cdot \vec{B}$:** $$\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(2) + (1)(-6) + (4)(7) = 4 - 6 + 28 = 26$$ - **Calcul de $\cos(\theta_{\vec{A},\vec{B}})$:** $$\cos(\theta_{\vec{A},\vec{B}}) = \frac{26}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{89}} = \frac{26}{\sqrt{1869}}$$ - **Calcul de $\vec{C} \cdot \vec{D}$:** $$\vec{C} \cdot \vec{D} = (0)(2) + (5)(10) + (6)(1) = 0 + 50 + 6 = 56$$ - **Calcul de $||\vec{C}||$:** $$||\vec{C}|| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 25 + 36} = \sqrt{61}$$ - **Calcul de $||\vec{D}||$:** $$||\vec{D}|| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 100 + 1} = \sqrt{105}$$ - **Calcul de $\cos(\theta_{\vec{C},\vec{D}})$:** $$\cos(\theta_{\vec{C},\vec{D}}) = \frac{56}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{105}} = \frac{56}{\sqrt{6405}}$$ #### c) Distances entre points Calculez la distance entre $(\vec{C}, \vec{A})$ et $(\vec{B}, \vec{D})$. **Note:** Il semble y avoir une confusion dans l'énoncé. La notation $(\vec{C}, \vec{A})$ et $(\vec{B}, \vec{D})$ représente généralement des paires de vecteurs. Si l'on souhaite calculer la distance entre les points représentés par les vecteurs, il faut considérer la norme de la différence des vecteurs. **Formule de la distance entre deux points:** Soient les points $P$ et $Q$ avec les vecteurs de position $\vec{p}$ et $\vec{q}$, la distance est $||\vec{q} - \vec{p}||$. - **Distance entre les points $A$ et $C$:** $$\vec{A} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$$ $$||\vec{A} - \vec{C}|| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ - **Distance entre les points $B$ et $D$:** $$\vec{D} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 16 \\ -6 \end{pmatrix}$$ $$||\vec{D} - \vec{B}|| = \sqrt{0^2 + 16^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 256 + 36} = \sqrt{292}$$ #### e) Produits Scalaires Calculez $\vec{A} \cdot \vec{B}$ et $\vec{B} \cdot \vec{C}$. **Formule du produit scalaire:** Pour deux vecteurs $\vec{U} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ et $\vec{V} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$, $\vec{U} \cdot \vec{V} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$. - **Calcul de $\vec{A} \cdot \vec{B}$:** $$\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(2) + (1)(-6) + (4)(7) = 4 - 6 + 28 = 26$$ - **Calcul de $\vec{B} \cdot \vec{C}$:** $$\vec{B} \cdot \vec{C} = (2)(0) + (-6)(5) + (7)(6) = 0 - 30 + 42 = 12$$ #### f) Produit scalaire d'une combinaison linéaire Calculez $(\vec{A} + \vec{B} - \vec{C}) \cdot \vec{D}$. **1. Calcul de $\vec{A} + \vec{B} - \vec{C}$:** $$\vec{A} + \vec{B} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2-0 \\ 1-6-5 \\ 4+7-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix}$$ **2. Calcul du produit scalaire avec $\vec{D}$:** $$(\vec{A} + \vec{B} - \vec{C}) \cdot \vec{D} = \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} = (4)(2) + (-10)(10) + (5)(1) = 8 - 100 + 5 = -87$$