Derivate e Calcolo

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### Introduzione alle Derivate Le derivate misurano come una funzione cambia al variare del suo input. Rappresentano la pendenza della tangente alla curva in un dato punto. - **Definizione formale (limite):** $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ - **Notazioni comuni:** $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}[f(x)]$, $D_x f(x)$ ### Regole di Derivazione Base Queste sono le regole fondamentali per derivare le funzioni più comuni. - **Costante:** $\frac{d}{dx}(c) = 0$ - **Potenza:** $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ - **Costante per funzione:** $\frac{d}{dx}(cf(x)) = c f'(x)$ - **Somma/Differenza:** $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$ - **Prodotto:** $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ - **Quoziente:** $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ - **Funzione composta (Regola della Catena):** $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$ ### Derivate di Funzioni Speciali Un elenco delle derivate delle funzioni più comuni. - **Esponenziale:** - $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ - $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ - **Logaritmiche:** - $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ - $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$ - **Trigonometriche:** - $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ - $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ - $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ - $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$ - $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$ - $\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$ - **Trigonometriche inverse:** - $\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$ ### Applicazioni delle Derivate Le derivate hanno molteplici usi in matematica e fisica. - **Tasso di variazione:** Velocità ($v = s'$), Accelerazione ($a = v' = s''$) - **Ottimizzazione:** Trovare massimi e minimi locali e globali di una funzione ($f'(x) = 0$). - **Test della derivata prima:** Se $f'$ cambia segno da + a - in $c$, $f(c)$ è un massimo locale. Se da - a +, $f(c)$ è un minimo locale. - **Test della derivata seconda:** Se $f'(c)=0$ e $f''(c)>0$, $f(c)$ è un minimo locale. Se $f''(c) 0 \implies$ concava verso l'alto - $f''(x) ### Introduzione agli Integrali Gli integrali sono l'operazione inversa della derivazione e sono usati per calcolare aree, volumi, medie e molto altro. - **Antiderivata (Integrale Indefinito):** Una funzione $F(x)$ tale che $F'(x) = f(x)$. Denotata come $\int f(x) dx = F(x) + C$, dove $C$ è la costante di integrazione. - **Integrale Definito:** L'area sotto la curva di $f(x)$ da $a$ a $b$. $$ \int_a^b f(x) dx $$ ### Teorema Fondamentale del Calcolo Collega derivazione e integrazione. - **Parte 1:** Se $F(x) = \int_a^x f(t) dt$, allora $F'(x) = f(x)$. - **Parte 2:** Se $F(x)$ è una qualsiasi antiderivata di $f(x)$, allora $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$ ### Tecniche di Integrazione Metodi per risolvere integrali più complessi. - **Integrazione per sostituzione (cambio di variabile):** Se $\int f(g(x))g'(x)dx$, poniamo $u = g(x)$, allora $du = g'(x)dx$, e l'integrale diventa $\int f(u)du$. - **Integrazione per parti:** $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$ Scegliere $u$ e $dv$ in base alla regola "LIATE" (Logaritmiche, Inverse, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali). - **Scomposizione in fratti semplici:** Per integrali di funzioni razionali. - **Sostituzioni trigonometriche:** Per integrali contenenti $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ o $\sqrt{x^2 - a^2}$. ### Integrali Impropri Integrali con limiti di integrazione infiniti o discontinuità nell'intervallo. - **Limiti infiniti:** - $\int_a^{\infty} f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx$ - $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx$ - **Discontinuità:** - Se $f(x)$ è discontinua in $c \in [a,b]$, allora $\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x) dx + \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x) dx$.