Calcolo I & II

Cheatsheet Content

### Limiti e Continuità - **Definizione di Limite:** $\lim_{x \to a} f(x) = L$ se $f(x)$ si avvicina a $L$ quando $x$ si avvicina ad $a$. - **Limiti Noti:** - $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ - $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ - $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$ - $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^{x} = e$ - **Proprietà dei Limiti:** - $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$ - $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$ - $\lim (f / g) = \lim f / \lim g$ (se $\lim g \neq 0$) - **Continuità:** $f(x)$ è continua in $a$ se: 1. $f(a)$ è definita 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste 3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ - **Tipi di Discontinuità:** - **Rimovibile:** Il limite esiste ma non è uguale a $f(a)$ o $f(a)$ non è definita. - **A Salto:** I limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi. - **Infinita:** Il limite è $\pm \infty$. ### Derivate: Concetti Base - **Definizione di Derivata:** $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ - **Interpretazione:** - **Geometrica:** Pendenza della retta tangente al grafico di $f(x)$ in $x$. - **Fisica:** Tasso di variazione istantaneo. - **Regole di Derivazione:** - **Costante:** $\frac{d}{dx}(c) = 0$ - **Potenza:** $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ - **Multiplo Costante:** $\frac{d}{dx}(cf(x)) = c f'(x)$ - **Somma/Differenza:** $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$ - **Prodotto:** $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ - **Quoziente:** $\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ - **Catena:** $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$ ### Derivate: Funzioni Speciali - **Trigonometriche:** - $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ - $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ - $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$ - $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$ - $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$ - $\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$ - **Esponenziali e Logaritmiche:** - $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ - $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ - $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ - $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$ - **Inverse Trigonometriche:** - $\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$ ### Applicazioni delle Derivate - **Massimi e Minimi Locali:** - I punti critici si trovano dove $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ non è definita. - **Test della Derivata Prima:** Se $f'(x)$ cambia segno da + a - in un punto critico, c'è un massimo locale. Se cambia da - a +, c'è un minimo locale. - **Test della Derivata Seconda:** Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$, minimo locale. Se $f''(c) 0 \implies$ concava verso l'alto. - $f''(x) ### Teoremi Fondamentali del Calcolo - **Teorema del Valor Medio per Derivate:** Se $f$ è continua su $[a,b]$ e differenziabile su $(a,b)$, allora esiste un $c \in (a,b)$ tale che $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. - **Teorema Fondamentale del Calcolo (Parte 1):** Se $f$ è continua su $[a,b]$, allora la funzione $g(x) = \int_a^x f(t) dt$ è continua su $[a,b]$ e differenziabile su $(a,b)$, e $g'(x) = f(x)$. - **Teorema Fondamentale del Calcolo (Parte 2):** Se $f$ è continua su $[a,b]$, e $F$ è una qualsiasi antiderivata di $f$, allora $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. ### Integrali Indefiniti (Antiderivate) - **Definizione:** $F(x)$ è un'antiderivata di $f(x)$ se $F'(x) = f(x)$. L'integrale indefinito di $f(x)$ è $\int f(x) dx = F(x) + C$, dove $C$ è la costante di integrazione. - **Regole di Integrazione Base:** - $\int k dx = kx + C$ - $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (per $n \neq -1$) - $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ - $\int e^x dx = e^x + C$ - $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ - **Integrali Trigonometrici:** - $\int \sin x dx = -\cos x + C$ - $\int \cos x dx = \sin x + C$ - $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ - $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$ - $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$ - $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$ - **Inverse Trigonometriche (risultato):** - $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$ - $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$ - **Proprietà:** - $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ - $\int c f(x) dx = c \int f(x) dx$ ### Tecniche di Integrazione - **Sostituzione (u-sostituzione):** - Sostituire una parte dell'integrando con $u$ e $dx$ con $du$. - Esempio: $\int 2x \cos(x^2) dx$. Sia $u = x^2 \implies du = 2x dx$. $\int \cos(u) du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C$. - **Integrazione per Parti:** $\int u dv = uv - \int v du$ - Scegliere $u$ e $dv$ usando l'acronimo LIATE (Logaritmiche, Inverse Trig, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali) per $u$. - Esempio: $\int x e^x dx$. Sia $u=x, dv=e^x dx$. Allora $du=dx, v=e^x$. $xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$. - **Frazioni Parziali:** Per funzioni razionali $\frac{P(x)}{Q(x)}$, scomporre in frazioni più semplici. - Utile quando il grado di $P(x)$ è minore del grado di $Q(x)$. - Scomporre $Q(x)$ in fattori lineari e/o quadratici irriducibili. - Esempio: $\int \frac{1}{x^2-1} dx = \int (\frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)}) dx$. - **Sostituzioni Trigonometriche:** Usate per integrali con $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$. - Per $\sqrt{a^2-x^2}$, sia $x = a \sin \theta$. - Per $\sqrt{a^2+x^2}$, sia $x = a \tan \theta$. - Per $\sqrt{x^2-a^2}$, sia $x = a \sec \theta$. ### Integrali Definiti e Applicazioni - **Definizione:** L'integrale definito $\int_a^b f(x) dx$ rappresenta l'area netta tra la curva $y=f(x)$ e l'asse $x$ da $a$ a $b$. - **Somme di Riemann:** Approssimazione dell'area usando rettangoli. - $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x$ - **Area tra Curve:** $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ - **Volume di Solidi di Rotazione:** - **Metodo del Disco/Rondella:** - Rotazione attorno all'asse x: $V = \int_a^b \pi [R(x)^2 - r(x)^2] dx$ - Rotazione attorno all'asse y: $V = \int_c^d \pi [R(y)^2 - r(y)^2] dy$ - **Metodo dei Gusci Cilindrici:** - Rotazione attorno all'asse y: $V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx$ - Rotazione attorno all'asse x: $V = \int_c^d 2\pi y f(y) dy$ - **Lunghezza d'Arco:** $L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$ o $L = \int_c^d \sqrt{1 + (g'(y))^2} dy$ - **Lavoro:** $W = \int_a^b F(x) dx$ (per una forza variabile $F(x)$) - **Valore Medio di una Funzione:** $f_{avg} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ ### Integrali Impropri - **Definizione:** Integrali con intervalli di integrazione infiniti o funzioni con discontinuità infinite. - **Tipi:** 1. **Limiti infiniti:** - $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx$ - $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x) dx$ - $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx$ 2. **Discontinuità infinite:** - Se $f$ ha una discontinuità in $b$: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx$ - Se $f$ ha una discontinuità in $a$: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) dx$ - Se $f$ ha una discontinuità in $c \in (a,b)$: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ - **Convergenza/Divergenza:** Un integrale improprio converge se il limite esiste (ed è finito), altrimenti diverge. - **P-integrale:** $\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$ converge se $p>1$ e diverge se $p \le 1$. ### Serie e Successioni - **Successione:** Una lista ordinata di numeri: $\{a_n\}_{n=1}^\infty$. - **Convergenza:** $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ (la successione converge a $L$). - **Serie:** Somma di una successione: $\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + ...$ - **Serie Geometrica:** $\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}$ se $|r| 1$, diverge se $p \le 1$. - **Test di Convergenza per Serie:** - **Test di Divergenza:** Se $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, allora $\sum a_n$ diverge. (Se il limite è 0, il test è inconcludente). - **Test dell'Integrale:** Se $f(x)$ è positiva, continua e decrescente per $x \ge 1$, allora $\sum a_n$ e $\int_1^\infty f(x) dx$ convergono o divergono entrambe. - **Test del Confronto Diretto:** Se $0 \le a_n \le b_n$: - Se $\sum b_n$ converge, allora $\sum a_n$ converge. - Se $\sum a_n$ diverge, allora $\sum b_n$ diverge. - **Test del Confronto al Limite:** Se $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$ dove $c$ è un numero finito e positivo, allora $\sum a_n$ e $\sum b_n$ convergono o divergono entrambe. - **Test del Rapporto:** $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = L$ - Se $L 1$, la serie diverge. - Se $L = 1$, il test è inconcludente. - **Test della Radice:** $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$ - Se $L 1$, la serie diverge. - Se $L = 1$, il test è inconcludente. - **Serie a Segni Alterni:** $\sum (-1)^n b_n$. Converge se $b_n$ è decrescente e $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$. - **Convergenza Assoluta/Condizionale:** - **Assolutamente Convergente:** Se $\sum |a_n|$ converge. - **Condizionalmente Convergente:** Se $\sum a_n$ converge ma $\sum |a_n|$ diverge. ### Serie di Potenze - **Definizione:** Una serie della forma $\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$. - **Raggio di Convergenza (R):** L'intervallo di $x$ per cui la serie converge. - Si trova usando il Test del Rapporto o della Radice. - Se $L = \lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}| |x-a|$, allora la serie converge se $L ### Coordinate Parametriche e Polari - **Curve Parametriche:** $x = f(t)$, $y = g(t)$ - **Pendenza della Tangente:** $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ (se $dx/dt \ne 0$) - **Derivata Seconda:** $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d/dt(dy/dx)}{dx/dt}$ - **Lunghezza d'Arco:** $L = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$ - **Coordinate Polari:** $(r, \theta)$ - **Relazione con Coordinate Cartesiane:** - $x = r \cos \theta$ - $y = r \sin \theta$ - $r^2 = x^2 + y^2$ - $\tan \theta = y/x$ - **Pendenza della Tangente:** Per $r = f(\theta)$, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{f'(\theta)\sin\theta + f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta - f(\theta)\sin\theta}$ - **Area in Coordinate Polari:** $A = \int_a^b \frac{1}{2} r^2 d\theta$ - **Lunghezza d'Arco in Coordinate Polari:** $L = \int_a^b \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta$