Dérivabilité (Bac Technique)

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1. Définition de la Dérivabilité Une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si la limite suivante existe et est finie: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L$$ Dans ce cas, $L$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$. Alternativement, en posant $h = x-a$: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$$ Si $f'(a)$ existe, la fonction $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse. Exemple: Calcul de $f'(a)$ Soit $f(x) = x^2$. Calculons $f'(2)$. Méthode 1: $$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$$ Donc $f'(2) = 4$. Méthode 2: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 2^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4+4h+h^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4+h) = 4$$ Donc $f'(2) = 4$. 2. Interprétation Géométrique Le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente (ou coefficient directeur) de la tangente à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$. L'équation de la tangente $T_a$ à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$ est: $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ Exemple: Équation de la tangente Soit $f(x) = x^2$. On a trouvé $f'(2) = 4$. De plus, $f(2) = 2^2 = 4$. L'équation de la tangente au point $(2, 4)$ est: $$y = 4(x - 2) + 4$$ $$y = 4x - 8 + 4$$ $$y = 4x - 4$$ 3. Dérivabilité à Gauche et à Droite $f$ est dérivable à droite en $a$ si $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_d(a)$ existe et est finie. $f$ est dérivable à gauche en $a$ si $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_g(a)$ existe et est finie. $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en $a$, et $f'_g(a) = f'_d(a)$. Interprétation Géométrique Si $f'_g(a) \neq f'_d(a)$, la courbe de $f$ admet un point anguleux au point $(a, f(a))$. Si l'une des limites est $\pm \infty$, la courbe admet une tangente verticale au point $(a, f(a))$. Exemple: Point anguleux Soit $f(x) = |x|$. Étudions la dérivabilité en $x=0$. $f(0) = 0$. Dérivée à droite: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$$ Donc $f'_d(0) = 1$. Dérivée à gauche: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$$ Donc $f'_g(0) = -1$. Puisque $f'_d(0) \neq f'_g(0)$, la fonction $f(x) = |x|$ n'est pas dérivable en $x=0$. La courbe admet un point anguleux à l'origine. 4. Fonctions Dérivées Usuelles Fonction $f(x)$ Dérivée $f'(x)$ Conditions $c$ (constante) $0$ $x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) $nx^{n-1}$ $\frac{1}{x}$ $-\frac{1}{x^2}$ $x \neq 0$ $\sqrt{x}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $x > 0$ $\sin(x)$ $\cos(x)$ $\cos(x)$ $-\sin(x)$ $\tan(x)$ $1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ $e^x$ $e^x$ $\ln(x)$ $\frac{1}{x}$ $x > 0$ 5. Règles de Calcul des Dérivées Soient $u$ et $v$ des fonctions dérivables, $c$ une constante. Opération Dérivée $(u+v)'$ $u'+v'$ $(cu)'$ $cu'$ $(uv)'$ $u'v + uv'$ $\left(\frac{u}{v}\right)'$ $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ $(u^n)'$ $nu^{n-1}u'$ $(\sqrt{u})'$ $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ $(\sin(u))'$ $u'\cos(u)$ $(\cos(u))'$ $-u'\sin(u)$ $(e^u)'$ $u'e^u$ $(\ln(u))'$ $\frac{u'}{u}$ Exemple: Application des règles Soit $f(x) = (3x^2 + 5)^4$. Calculons $f'(x)$. On pose $u(x) = 3x^2 + 5$. Alors $u'(x) = 6x$. La fonction est de la forme $u^n$, donc $f'(x) = n u^{n-1} u'$. $$f'(x) = 4(3x^2 + 5)^{4-1} \cdot (6x)$$ $$f'(x) = 4(3x^2 + 5)^3 \cdot 6x$$ $$f'(x) = 24x(3x^2 + 5)^3$$ Soit $g(x) = \frac{e^x}{x+1}$. Calculons $g'(x)$. On pose $u(x) = e^x$ et $v(x) = x+1$. Alors $u'(x) = e^x$ et $v'(x) = 1$. La fonction est de la forme $\frac{u}{v}$, donc $g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $$g'(x) = \frac{e^x(x+1) - e^x(1)}{(x+1)^2}$$ $$g'(x) = \frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2}$$ $$g'(x) = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$$ 6. Dérivée d'une Fonction Composée Si $f = g \circ u$, c'est-à-dire $f(x) = g(u(x))$, alors $f'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x))$. Exemple: Dérivée de fonction composée Soit $f(x) = \cos(x^2+1)$. Calculons $f'(x)$. On pose $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. On pose $g(y) = \cos(y)$, donc $g'(y) = -\sin(y)$. $$f'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x)) = 2x \cdot (-\sin(x^2+1))$$ $$f'(x) = -2x\sin(x^2+1)$$ 7. Dérivées Successives La dérivée seconde de $f$, notée $f''(x)$ ou $\frac{d^2f}{dx^2}$, est la dérivée de $f'(x)$. La dérivée $n$-ième de $f$ est notée $f^{(n)}(x)$. Exemple: Dérivées successives Soit $f(x) = x^4$. $f'(x) = 4x^3$ $f''(x) = (4x^3)' = 12x^2$ $f'''(x) = (12x^2)' = 24x$ $f^{(4)}(x) = (24x)' = 24$ $f^{(5)}(x) = (24)' = 0$ 8. Applications de la Dérivabilité 8.1. Sens de Variation Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Si $f'(x) Si $f'(x) = 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est constante sur $I$. Exemple: Sens de variation Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Calculons $f'(x)$ et étudions son signe. $$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$$ Si $x \in ]-\infty, -1[$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante. Si $x \in ]-1, 1[$, $f'(x) Si $x \in ]1, +\infty[$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante. 8.2. Extrema Locaux Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local (maximum ou minimum) en un point $a \in I$, alors $f'(a) = 0$. (Condition nécessaire, mais pas suffisante). Un point où $f'(a)=0$ est appelé un point critique. Pour déterminer la nature de l'extremum: Si $f'(x)$ change de signe de $+$ à $-$ en $a$, alors $f(a)$ est un maximum local. Si $f'(x)$ change de signe de $-$ à $+$ en $a$, alors $f(a)$ est un minimum local. Exemple: Extrema locaux Reprenons $f(x) = x^3 - 3x$. On a $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$. Les points critiques sont $x=-1$ et $x=1$ (où $f'(x)=0$). En $x=-1$: $f'(x)$ passe de $+$ à $-$ (d'après le tableau de signe ci-dessus). Donc $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1+3=2$ est un maximum local. En $x=1$: $f'(x)$ passe de $-$ à $+$ (d'après le tableau de signe ci-dessus). Donc $f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1-3=-2$ est un minimum local. 8.3. Convexité et Concavité Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est convexe sur $I$. Si $f''(x) Un point d'inflexion est un point où la convexité change (c'est-à-dire où $f''(x)$ change de signe, et $f''(x)=0$). Exemple: Convexité et points d'inflexion Reprenons $f(x) = x^3 - 3x$. On a $f'(x) = 3x^2 - 3$. Calculons la dérivée seconde: $f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x$. Si $x Si $x > 0$, $f''(x) > 0$, donc $f$ est convexe sur $]0, +\infty[$. En $x=0$, $f''(x)$ change de signe (de $-$ à $+$). Donc le point $(0, f(0)) = (0, 0^3-3(0)) = (0,0)$ est un point d'inflexion. 9. Théorème des Accroissements Finis (TAF) Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, alors il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que: $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Exemple: Application du TAF Soit $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0, 2]$. $f$ est continue sur $[0, 2]$ et dérivable sur $]0, 2[$. $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{2^2 - 0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$. $f'(x) = 2x$. Selon le TAF, il existe $c \in ]0, 2[$ tel que $f'(c) = 2$. On cherche $c$: $2c = 2 \implies c = 1$. En effet, $1 \in ]0, 2[$.