$\cos(x)$ $-\sin(x)$ $\tan(x)$ $1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ $e^x$ $e^x$ $\ln(x)$ $\frac{1}{x}$ $x > 0$

Soient $u$ et $v$ des fonctions dérivables, $c$ une constante.

Soit $f(x) = (3x^2 + 5)^4$. Calculons $f'(x)$.

On pose $u(x) = 3x^2 + 5$. Alors $u'(x) = 6x$.

La fonction est de la forme $u^n$, donc $f'(x) = n u^{n-1} u'$.

$$f'(x) = 4(3x^2 + 5)^{4-1} \cdot (6x)$$ $$f'(x) = 4(3x^2 + 5)^3 \cdot 6x$$ $$f'(x) = 24x(3x^2 + 5)^3$$

Soit $g(x) = \frac{e^x}{x+1}$. Calculons $g'(x)$.

On pose $u(x) = e^x$ et $v(x) = x+1$.

Alors $u'(x) = e^x$ et $v'(x) = 1$.

La fonction est de la forme $\frac{u}{v}$, donc $g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$$g'(x) = \frac{e^x(x+1) - e^x(1)}{(x+1)^2}$$ $$g'(x) = \frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2}$$ $$g'(x) = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$$

Si $f = g \circ u$, c'est-à-dire $f(x) = g(u(x))$, alors $f'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x))$.

Soit $f(x) = \cos(x^2+1)$. Calculons $f'(x)$.

On pose $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$.

On pose $g(y) = \cos(y)$, donc $g'(y) = -\sin(y)$.

$$f'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x)) = 2x \cdot (-\sin(x^2+1))$$ $$f'(x) = -2x\sin(x^2+1)$$

La dérivée seconde de $f$, notée $f''(x)$ ou $\frac{d^2f}{dx^2}$, est la dérivée de $f'(x)$.
La dérivée $n$-ième de $f$ est notée $f^{(n)}(x)$.

Soit $f(x) = x^4$.

$f'(x) = 4x^3$
$f''(x) = (4x^3)' = 12x^2$
$f'''(x) = (12x^2)' = 24x$
$f^{(4)}(x) = (24x)' = 24$
$f^{(5)}(x) = (24)' = 0$

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Si $f'(x) = 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Calculons $f'(x)$ et étudions son signe.

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$$