Nombres Complexes

Cheatsheet Content

1. Définition et Formes Un nombre complexe $z$ est de la forme $z = a + bi$, où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$. $a = \text{Re}(z)$ est la partie réelle. $b = \text{Im}(z)$ est la partie imaginaire. L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$. 1.1 Forme Cartésienne (Algébrique) $z = a + bi$ Addition: $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$ Soustraction: $(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i$ Multiplication: $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$ Division: $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 1.2 Conjugué et Module Le conjugué de $z = a+bi$ est $\bar{z} = a-bi$. Propriétés: $\overline{z_1+z_2} = \bar{z_1}+\bar{z_2}$ $\overline{z_1z_2} = \bar{z_1}\bar{z_2}$ $z+\bar{z} = 2\text{Re}(z)$ $z-\bar{z} = 2i\text{Im}(z)$ $z\bar{z} = a^2+b^2 = |z|^2$ Le module de $z = a+bi$ est $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$. Propriétés: $|z| \ge 0$ $|z|=0 \iff z=0$ $|z_1z_2| = |z_1||z_2|$ $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \ne 0$) $|z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|$ (inégalité triangulaire) 1.3 Forme Trigonométrique (Polaire) $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, où $r = |z|$ est le module et $\theta = \arg(z)$ est l'argument. $\cos\theta = \frac{a}{r}$, $\sin\theta = \frac{b}{r}$ $\theta$ est défini à $2k\pi$ près ($k \in \mathbb{Z}$). L'argument principal est dans $(-\pi, \pi]$. Multiplication: $z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2))$ Division: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2))$ Puissance (Formule de Moivre): $z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$ 1.4 Forme Exponentielle Utilise la formule d'Euler: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. $z = re^{i\theta}$. Multiplication: $z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ Division: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ Puissance: $z^n = r^ne^{in\theta}$ Formules d'Euler: $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ 2. Racines $n$-ièmes d'un Nombre Complexe Pour trouver les racines $n$-ièmes de $Z = Re^{i\Phi}$, on cherche $z = re^{i\theta}$ tel que $z^n = Z$. $r^n = R \implies r = \sqrt[n]{R}$ (racine réelle positive). $n\theta = \Phi + 2k\pi \implies \theta_k = \frac{\Phi+2k\pi}{n}$ pour $k=0, 1, ..., n-1$. Les $n$ racines sont $z_k = \sqrt[n]{R}e^{i\frac{\Phi+2k\pi}{n}}$. Les racines $n$-ièmes de l'unité ($Z=1$) sont $e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ pour $k=0, 1, ..., n-1$. 3. Équations du Second Degré Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c \in \mathbb{C}$ et $a \ne 0$. Calcul du discriminant: $\Delta = b^2-4ac$. Si $\Delta = 0$, $z = -\frac{b}{2a}$. Si $\Delta \ne 0$, soient $\delta$ et $-\delta$ les deux racines carrées de $\Delta$. Les solutions sont $z_1 = \frac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b-\delta}{2a}$. Pour trouver les racines carrées de $\Delta = x+yi$: On cherche $\delta = u+vi$. $(u+vi)^2 = x+yi \implies u^2-v^2=x$ et $2uv=y$. On a aussi $|\delta|^2 = |\Delta| \implies u^2+v^2 = \sqrt{x^2+y^2}$. En résolvant le système, $u^2 = \frac{x+\sqrt{x^2+y^2}}{2}$ et $v^2 = \frac{-x+\sqrt{x^2+y^2}}{2}$. Les signes de $u$ et $v$ sont tels que $2uv=y$. 4. Interprétation Géométrique Un nombre complexe $z=a+bi$ peut être représenté par un point $M(a,b)$ dans le plan complexe (plan d'Argand-Gauss). L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées est l'axe imaginaire. Le module $|z|$ est la distance de l'origine au point $M$. L'argument $\arg(z)$ est l'angle entre l'axe réel positif et le vecteur $\vec{OM}$. $|z_1-z_2|$ représente la distance entre les points $M_1(z_1)$ et $M_2(z_2)$. Rotation: La multiplication par $e^{i\alpha}$ correspond à une rotation d'angle $\alpha$ autour de l'origine. Homothétie: La multiplication par un réel $k$ correspond à une homothétie de rapport $k$.