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### Définition des Composants - **Résistance (R):** - Symbole: $R$ (Ohms, $\Omega$) - Rôle: Dissipe l'énergie sous forme de chaleur (effet Joule). - Loi d'Ohm: $u_R = R \cdot i$ - **Bobine (Inductance L):** - Symbole: $L$ (Henrys, H) - Rôle: Stocke l'énergie sous forme magnétique. - Tension: $u_L = L \frac{di}{dt}$ (pour une bobine idéale) - Résistance interne: Une bobine réelle a une résistance $r$ en série, $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$. - **Condensateur (C):** - Symbole: $C$ (Farads, F) - Rôle: Stocke l'énergie sous forme électrique. - Charge: $q = C \cdot u_C$ - Courant: $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$ ### Équation Différentielle d'un Circuit RLC Série #### 1. Établissement - Loi des mailles: $u_R + u_L + u_C = E(t)$ (générateur de tension) - En remplaçant les expressions: $R \cdot i + L \frac{di}{dt} + u_C = E(t)$ - Pour obtenir l'équation en $u_C$: $i = C \frac{du_C}{dt}$ et $\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$ $$RC \frac{du_C}{dt} + LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + u_C = E(t)$$ $$L C \frac{d^2u_C}{dt^2} + R C \frac{du_C}{dt} + u_C = E(t)$$ - Pour obtenir l'équation en $i$: $u_C = \frac{1}{C} \int i dt$ $R \cdot i + L \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int i dt = E(t)$ En dérivant par rapport au temps: $$L \frac{d^2i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = \frac{dE(t)}{dt}$$ #### 2. Cas particulier: Circuit RLC libre (sans générateur, $E(t)=0$) - Équation différentielle en $u_C$: $$L C \frac{d^2u_C}{dt^2} + R C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$$ - Équation caractéristique: $LC r^2 + RC r + 1 = 0$ - Discriminant $\Delta = (RC)^2 - 4LC$ #### 3. Régimes de l'oscillateur libre - **Régime pseudo-périodique ($\Delta < 0$ ou $R^2 C < 4L$):** - Oscillations amorties (à cause de R). - Pseudo-période $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ où $\omega' = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}$. - Souvent $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ si l'amortissement est faible. - Solution de la forme: $u_C(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega' t + \phi)$ avec $\alpha = \frac{R}{2L}$. - **Régime critique ($\Delta = 0$ ou $R^2 C = 4L$):** - Retour rapide à l'équilibre sans oscillation. - $R_{critique} = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$. - **Régime apériodique ($\Delta > 0$ ou $R^2 C > 4L$):** - Retour lent à l'équilibre sans oscillation. - Amortissement très fort. ### Énergie dans le Circuit RLC - **Énergie stockée dans le condensateur:** $E_C = \frac{1}{2} C u_C^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$ - **Énergie stockée dans la bobine:** $E_L = \frac{1}{2} L i^2$ - **Énergie totale (en l'absence de résistance):** $E_{totale} = E_C + E_L = constante$ - **Dissipation par la résistance:** La résistance $R$ dissipe l'énergie sous forme de chaleur par effet Joule. L'énergie totale du circuit diminue au cours du temps. ### Régime Forcé (Alimentation par un générateur AC) - Générateur de tension sinusoïdale: $E(t) = U_m \cos(\omega t)$ - Le circuit présente des phénomènes de résonance. #### 1. Impédance Complexe - Impédance de la résistance: $\underline{Z_R} = R$ - Impédance de la bobine: $\underline{Z_L} = jL\omega$ - Impédance du condensateur: $\underline{Z_C} = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega}$ - Impédance totale du circuit série: $\underline{Z} = \underline{Z_R} + \underline{Z_L} + \underline{Z_C} = R + j\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)$ - Module de l'impédance: $Z = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}$ #### 2. Résonance - **Définition:** La résonance d'intensité a lieu lorsque l'impédance $Z$ est