Ondas Electromagnéticas (Formu

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### Ecuaciones de Onda Las ecuaciones de onda para los potenciales escalar ($\Phi$) y vectorial ($\vec{A}$) en el Gauge de Lorenz son: $$ \nabla^2 \Phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho(\vec{r},t)}{\epsilon_0} $$ $$ \nabla^2 \vec{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \vec{J}(\vec{r},t) $$ **Gauge de Lorenz:** $$ \nabla \cdot \vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \Phi}{\partial t} = 0 $$ **Aproximación Cuasiestática:** En esta aproximación, los términos temporales de segundo orden se desprecian, simplificando las ecuaciones: $$ \nabla^2 \Phi = -\frac{\rho(\vec{r},t)}{\epsilon_0} $$ $$ \nabla^2 \vec{A} = -\mu_0 \vec{J}(\vec{r},t) $$ ### Campos Armónicos. Representación Fasorial Para fuentes que varían armónicamente: - $\rho(\vec{r},t) = \rho(\vec{r}) \cos(\omega t)$ - $\rho(\vec{r},t) = \rho(\vec{r}) \sin(\omega t)$ - $\vec{J}(\vec{r},t) = \vec{J}(\vec{r}) \cos(\omega t)$ **Notación Compleja (Fasorial):** - $\rho(\vec{r},t) = \rho(\vec{r}) e^{j\omega t}$ - $\vec{J}(\vec{r},t) = \vec{J}(\vec{r}) e^{j\omega t}$ El significado físico es la **parte real de la función**: - $\rho(\vec{r},t) = \text{Re}(\rho(\vec{r}) e^{j\omega t}) = \rho(\vec{r}) \cos(\omega t)$ - $\vec{J}(\vec{r},t) = \vec{J}(\vec{r}) \cos(\omega t)$ **Operadores en notación fasorial:** - $\frac{\partial}{\partial t} \rightarrow j\omega$ - $\frac{\partial^2}{\partial t^2} \rightarrow -\omega^2$ ### Ondas Planas Uniformes - **Definición:** Ondas que se propagan en una dirección $\vec{u}_k$ y cuyo valor de campo es constante en todos los puntos de cada frente de onda. - **Forma general:** $\Psi(\vec{r},t) = A e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$ **Frente de Onda:** Lugar geométrico de los puntos alcanzados por la onda en el mismo instante (tienen la misma fase). **Fase:** $$ \varphi = \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} = \omega t - k \zeta_s $$ donde $\zeta_s = r \cos \theta = \vec{u}_k \cdot \vec{r}$. **Frentes de Onda:** $\vec{k} \cdot \vec{r} = \text{cte}$ (ondas planas). #### Parámetros de la Onda - **Desplazamiento del frente de ondas:** $d\varphi = \omega dt - k d\zeta = 0$ - **Velocidad de fase:** $v = c = \frac{d\zeta}{dt} = \frac{\omega}{k}$ - **Velocidad de grupo:** $v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}$ - **Longitud de onda:** $k \lambda = 2\pi \implies \lambda = \frac{2\pi}{k}$ - **Periodo:** $\omega T = 2\pi \implies T = \frac{2\pi}{\omega}$ - **Relación con la velocidad de la luz:** $\lambda = c T$ #### Propiedades del Campo Electromagnético en Ondas Planas - **Onda transversal:** $\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{k}$ - **Relación entre campos $\vec{H}$ y $\vec{E}$:** $$ \vec{H} = \frac{1}{\mu_0 \omega} (\vec{k} \times \vec{E}) = \frac{1}{\mu_0 c} (\vec{u}_k \times \vec{E}) = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (\vec{u}_k \times \vec{E}) $$ Para el caso de un medio no magnético y no conductor: $$ \vec{H} = \frac{1}{\eta_0} (\vec{u}_k \times \vec{E}) $$ - **Impedancia característica (Impedancia del medio):** $$ \eta = \frac{|\vec{E}|}{|\vec{H}|} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} $$ Para el vacío, $\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 376.7 \Omega$. ### Polarización de las Ondas Planas Suponiendo propagación a lo largo de z: - $E_x = |E_{x0}| \cos(\omega t - \beta z)$ - $E_y = |E_{y0}| \cos(\omega t - \beta z + \delta)$ El lugar geométrico que describe el extremo del vector $\vec{E}$ es en general una **elipse (polarización elíptica)**. En $z=0$: $$ \frac{E_x^2}{E_{x0}^2} + \frac{E_y^2}{E_{y0}^2} - 2 \frac{E_x E_y}{E_{x0} E_{y0}} \cos \delta = \sin^2 \delta $$ Esto es la ecuación de una elipse de polarización. #### Casos Particulares 1. **Polarización Lineal:** - Si $\delta = m\pi$ (donde $m$ es un entero). - El ángulo no depende ni de $z$ ni de $t$. - La orientación no cambia (1er-3er cuadrante o 2do-4to cuadrante). - $\vec{E}(0,t) = (E_{x0} \vec{u}_x + E_{y0} \vec{u}_y) \cos(\omega t)$ - $\tan \varphi = \frac{E_{y0}}{E_{x0}}$ - Si $E_{y0} = 0$: Polarización en "x". - Si $E_{x0} = 0$: Polarización en "y". 2. **Polarización Circular:** - Si $\delta = \pm \frac{\pi}{2}$ y $E_{x0} = E_{y0} = E_0$. - El módulo es constante, describiendo una circunferencia. - $\vec{E}(0,t) = E_0 \cos(\omega t) \vec{u}_x + E_0 \sin(\omega t) \vec{u}_y$ - **Circular Derecha (RH):** $\delta = -\frac{\pi}{2}$ (o $\delta = \frac{3\pi}{2}$), $\tan \varphi = \frac{E_0 \cos(\omega t - \pi/2)}{E_0 \cos(\omega t)} = \tan(\omega t)$ - **Circular Izquierda (LH):** $\delta = \frac{\pi}{2}$ (o $\delta = -\frac{3\pi}{2}$), $\tan \varphi = \frac{E_0 \cos(\omega t + \pi/2)}{E_0 \cos(\omega t)} = -\tan(\omega t)$ ### Propagación en Dieléctricos y Conductores #### Propagación en un Dieléctrico - $\epsilon_0 \rightarrow \epsilon$ - $\mu_0 \rightarrow \mu$ - $k = \omega \sqrt{\mu\epsilon}$ - $v_f = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}$ #### Propagación en un Medio Conductor - Conductividad $\sigma \neq 0$ - Ecuaciones de Maxwell en el medio: $$ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $$ $$ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $$ $$ \nabla \times \vec{E} = -j\omega \mu \vec{H} $$ $$ \nabla \times \vec{H} = j\omega (\epsilon - j\frac{\sigma}{\omega}) \vec{E} $$ - **Permitividad compleja:** $\epsilon_c = \epsilon - j\frac{\sigma}{\omega}$ - $\mu_0 \rightarrow \mu$, $\epsilon_0 \rightarrow \epsilon_c$ #### Ecuaciones de Maxwell en Medios Conductores $$ \nabla^2 \Psi - \mu \sigma \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = 0 $$ Para campos armónicos, la ecuación de onda se puede escribir como: $$ \nabla^2 \Psi - j\omega \mu \sigma \Psi + \omega^2 \mu \epsilon \Psi = 0 $$ $$ \nabla^2 \Psi + \omega^2 \mu \epsilon_c \Psi = 0 $$ donde $k^2 = \omega^2 \mu \epsilon_c = \omega^2 \mu (\epsilon - j\frac{\sigma}{\omega})$. El campo se atenúa exponencialmente. La constante de propagación compleja es: $$ \gamma = \alpha + j\beta $$ donde $\alpha$ es el coeficiente de atenuación y $\beta$ es el coeficiente de fase (o propagación). - $E = E_0 e^{-\alpha z} e^{j(\omega t - \beta z)}$ - $\delta = \frac{1}{\alpha}$ es la **profundidad de penetración** (skin depth). #### Parámetros de Propagación en un Medio Conductor - $(\beta - j\alpha)^2 = \omega^2 \mu (\epsilon - j\frac{\sigma}{\omega})$ - $\beta^2 - \alpha^2 = \omega^2 \mu \epsilon$ - $2\alpha\beta = \omega \mu \sigma$ Resolviendo para $\alpha$ y $\beta$: $$ \beta = \omega \sqrt{\mu\epsilon} \sqrt{\frac{1 + \sqrt{1 + (\frac{\sigma}{\omega\epsilon})^2}}{2}} $$ $$ \alpha = \omega \sqrt{\mu\epsilon} \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{1 + (\frac{\sigma}{\omega\epsilon})^2}}{2}} $$ - **Velocidad de fase:** $v = \frac{\omega}{\beta}$ (hay dispersión). - **Impedancia de onda:** $$ Z = \frac{|\vec{E}|}{|\vec{H}|} = \frac{\omega \mu}{k} = \sqrt{\frac{\mu}{j\omega\epsilon_c}} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon - j\frac{\sigma}{\omega}}} $$ - **Desfase:** $\theta = -\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{\sigma}{\omega\epsilon}\right)$ #### Casos Límite 1. **Mal Conductor:** $\sigma \omega\epsilon$ - $\beta \approx \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} \left[1 + \frac{1}{2} \left(\frac{\omega\epsilon}{\sigma}\right) + ...\right]$ - $\alpha \approx \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} \left[1 - \frac{1}{2} \left(\frac{\omega\epsilon}{\sigma}\right) + ...\right]$ - **Muy buen conductor:** $\sigma \gg \omega\epsilon$ - $\alpha \approx \beta \approx \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}$ - **Impedancia de onda:** $Z = \sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}} e^{j\pi/4}$ (desfase $\pi/4$ entre $\vec{E}$ y $\vec{H}$). #### Tabla Resumen de Propagación | Medio | Constante de Propagación / Onda ($\gamma = \alpha + j\beta$) | Impedancia Intrínseca ($\eta$) | Velocidad de Fase ($v$) | Desfase $\vec{E}, \vec{H}$ | |--------------------------|----------------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|----------------------------------------------------------------|----------------------------| | Espacio Libre | $\beta = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$ | $\eta = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 377\Omega$ | $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \approx 3 \times 10^8$ | No | | Dieléctrico sin pérdidas | $\beta = \omega\sqrt{\mu\epsilon}$ | $\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}$ | $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\epsilon_r}}$ | No | | Dieléctrico con pérdidas | $\alpha = \omega\sqrt{\mu\epsilon} \sqrt{\frac{-1+\sqrt{...}}{2}}$ $\beta = \omega\sqrt{\mu\epsilon} \sqrt{\frac{1+\sqrt{...}}{2}}$ | $\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon-j\frac{\sigma}{\omega}}}$ | $v = \frac{\omega}{\beta}$ | Sí, $\theta = -\frac{1}{2}\arctan(\frac{\sigma}{\omega\epsilon})$ | | Dieléctrico bajas pérdidas ($\sigma \ll \omega\epsilon$) | $\alpha \approx \frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}$ $\beta \approx \omega\sqrt{\mu\epsilon}(1+\frac{\sigma^2}{8\omega^2\epsilon^2})$ | $\eta \approx \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}(1+j\frac{\sigma}{2\omega\epsilon})$ | $v = \frac{\omega}{\beta}$ | Sí, $\theta = -\frac{1}{2}\arctan(\frac{\sigma}{\omega\epsilon})$ | | Buen conductor ($\sigma \gg \omega\epsilon$) | $\gamma \approx \sqrt{\pi f \mu\sigma}(1-j)$ | $\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma}} = \sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}} e^{j\pi/4}$ | $v = \frac{\omega}{\beta}$ | Sí, $\theta = 45^\circ$ | ### Reflexión y Transmisión de Ondas Planas Consideramos una onda con $\vec{E}$ polarizado en el eje $x$, incidiendo perpendicularmente a la superficie que separa dos medios. **Medio 1:** ($\epsilon_1, \mu_1, \sigma_1$) **Medio 2:** ($\epsilon_2, \mu_2, \sigma_2$) #### Campos de la Onda Incidente - $E_x^i = E_{1m}^+ e^{-\gamma_1 z}$ - $H_y^i = \frac{E_{1m}^+}{\eta_1} e^{-\gamma_1 z}$ #### Campos Transmitidos (en el Medio 2) - $E_x^t = E_{2m}^+ e^{-\gamma_2 z}$ - $H_y^t = \frac{E_{2m}^+}{\eta_2} e^{-\gamma_2 z}$ #### Campos Reflejados (en el Medio 1) - $E_x^r = E_{1m}^- e^{\gamma_1 z}$ - $H_y^r = -\frac{E_{1m}^-}{\eta_1} e^{\gamma_1 z}$ #### Condiciones de Contorno (en z=0) - $(E_x^i + E_x^r)|_{z=0} = E_x^t|_{z=0} \implies E_{1m}^+ + E_{1m}^- = E_{2m}^+$ - $(H_y^i + H_y^r)|_{z=0} = H_y^t|_{z=0} \implies \frac{E_{1m}^+}{\eta_1} - \frac{E_{1m}^-}{\eta_1} = \frac{E_{2m}^+}{\eta_2}$ #### Coeficientes de Reflexión y Transmisión 1. **Coeficiente de Transmisión ($T$):** Relación entre la amplitud de la onda transmitida y la incidente. $$ T = \frac{E_{2m}^+}{E_{1m}^+} = \frac{2\eta_2}{\eta_1 + \eta_2} $$ 2. **Coeficiente de Reflexión ($\Gamma$):** Relación entre la amplitud de la onda reflejada y la incidente. $$ \Gamma = \frac{E_{1m}^-}{E_{1m}^+} = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_1 + \eta_2} $$ - **Relación entre coeficientes:** $1 + \Gamma = T$ - Ambos coeficientes son complejos en general. #### Onda Estacionaria Cuando no hay propagación en el segundo medio (ej. conductor perfecto), se forma una onda estacionaria. **Ejemplo: Medio 1 Dieléctrico ($\sigma_1=0, \alpha_1=0$) y Medio 2 Conductor Perfecto ($\sigma_2 \rightarrow \infty$).** - La impedancia del medio 2 es $\eta_2 = 0$. - Sustituyendo en los coeficientes: $T=0$ y $\Gamma = -1$. - Esto implica que la onda NO se propaga en el medio 2. - Solo habrá onda incidente y reflejada en el medio 1, de forma que $E_{1m}^- = \Gamma E_{1m}^+ = -E_{1m}^+$. **Campo Resultante (onda estacionaria):** - **Campo eléctrico:** $$ \vec{E}^{tot} = \vec{E}^i + \vec{E}^r = E_{1m}^+ e^{-j\beta_1 z} \vec{u}_x + E_{1m}^- e^{j\beta_1 z} \vec{u}_x $$ Sustituyendo $E_{1m}^- = -E_{1m}^+$: $$ \vec{E}^{tot} = E_{1m}^+ (e^{-j\beta_1 z} - e^{j\beta_1 z}) \vec{u}_x = -2j E_{1m}^+ \sin(\beta_1 z) \vec{u}_x $$ Tomando la parte real (para $\vec{E}^{tot}(\vec{r},t) = \text{Re}(\vec{E}^{tot} e^{j\omega t})$): $$ \vec{E}^{tot}(z,t) = 2 E_{1m}^+ \sin(\beta_1 z) \sin(\omega t) \vec{u}_x $$ - Se ha formado una onda de amplitud doble de la incidente. - **Máximos de $\vec{E}$:** Ocurren en $z = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, ...$ - **Nulos (Nodos) de $\vec{E}$:** Ocurren en $z = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, ...$ (donde la onda incide y el campo es nulo). - **Campo magnético:** $$ \vec{H}^{tot} = \vec{H}^i + \vec{H}^r = \frac{E_{1m}^+}{\eta_1} e^{-j\beta_1 z} \vec{u}_y - \frac{E_{1m}^-}{\eta_1} e^{j\beta_1 z} \vec{u}_y $$ Sustituyendo $E_{1m}^- = -E_{1m}^+$: $$ \vec{H}^{tot} = \frac{E_{1m}^+}{\eta_1} (e^{-j\beta_1 z} + e^{j\beta_1 z}) \vec{u}_y = \frac{2 E_{1m}^+}{\eta_1} \cos(\beta_1 z) \vec{u}_y $$ Tomando la parte real: $$ \vec{H}^{tot}(z,t) = \frac{2 E_{1m}^+}{\eta_1} \cos(\beta_1 z) \cos(\omega t) \vec{u}_y $$ - **Máximos de $\vec{H}$:** Ocurren en $z = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, ...$ - **Nulos (Nodos) de $\vec{H}$:** Ocurren en $z = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, ...$ - **Desfase:** Existe un desfase de $90^\circ$ entre $\vec{E}$ y $\vec{H}$. - **Distancia entre máximos (o nodos):** $\frac{\lambda}{2}$. ### Densidad y Flujo de Energía Electromagnética #### Valores Medios en el Tiempo - **Densidad de energía electromagnética ($u_{em}$):** $$ \langle u_{em} \rangle = \langle u_e \rangle + \langle u_m \rangle $$ $$ \langle u_e \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T u_e(t) dt = \frac{1}{2} \text{Re}(\vec{E} \cdot \vec{D}^*) $$ $$ \langle u_m \rangle = \frac{1}{2} \text{Re}(\vec{H} \cdot \vec{B}^*) $$ Para ondas planas en un medio no dispersivo: $$ \langle u_{em} \rangle = \frac{1}{4} \epsilon |\vec{E}_0|^2 + \frac{1}{4} \mu |\vec{H}_0|^2 = \frac{1}{2} \epsilon |\vec{E}_0|^2 $$ En espacio libre $\frac{|\vec{H}_0|}{|\vec{E}_0|} = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}$. #### Vector de Poynting (Flujo de Energía) - **Definición:** $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$ - **Valor medio en el tiempo:** $$ \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re}(\vec{E} \times \vec{H}^*) $$ Para ondas planas: $$ \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} |\vec{E}_0| |\vec{H}_0| \vec{u}_k $$ - **Intensidad de la onda ($I$):** $I = |\langle \vec{S} \rangle|$ - En un medio conductor, la intensidad disminuye exponencialmente: $I \sim e^{-2\alpha z}$.