Movimiento Armónico y Ondas

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### Oscilador Armónico Simple - **Definición:** Movimiento periódico sin fricción, aceleración proporcional y opuesta al desplazamiento. - **Ley de Hooke:** $F = -kx$ - **Ecuación de movimiento:** $m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ - **Solución general:** $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ - **Frecuencia angular:** $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ - **Periodo:** $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ - **Frecuencia:** $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$ - **Velocidad:** $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$ - **Aceleración:** $a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2x(t)$ - **Energía mecánica:** $E = U + K = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m(\omega A)^2$ ### Péndulo Simple - **Definición:** Masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin masa. - **Aproximación para ángulos pequeños ($\theta ### Péndulo Físico - **Definición:** Cuerpo rígido que oscila alrededor de un eje que no pasa por su centro de masa. - **Periodo:** $T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$ - $I$: Momento de inercia respecto al eje de rotación. - $d$: Distancia desde el eje de rotación al centro de masa. ### Oscilaciones Amortiguadas - **Definición:** Movimiento armónico con fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad. - **Fuerza de amortiguamiento:** $F_d = -b\frac{dx}{dt}$ - **Ecuación de movimiento:** $m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0$ - **Factor de amortiguamiento:** $\gamma = \frac{b}{2m}$ - **Frecuencia angular amortiguada:** $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ - $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (frecuencia natural) - **Solución (subamortiguado):** $x(t) = Ae^{-\gamma t}\cos(\omega' t + \phi)$ ### Oscilaciones Forzadas y Resonancia - **Definición:** Sistema oscilatorio sometido a una fuerza externa periódica. - **Ecuación de movimiento:** $m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega_f t)$ - **Amplitud en estado estacionario:** $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_f^2 - \omega_0^2)^2 + b^2\omega_f^2}}$ - **Resonancia:** Ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa ($\omega_f$) se acerca a la frecuencia natural ($\omega_0$), resultando en una gran amplitud. ### Movimiento Ondulatorio – Ondas Mecánicas #### Tipos de Ondas Mecánicas - **Transversales:** El desplazamiento del medio es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Ej: Ondas en una cuerda. - **Longitudinales:** El desplazamiento del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda. Ej: Ondas sonoras. #### Ondas Periódicas - **Longitud de onda ($\lambda$):** Distancia entre dos puntos consecutivos en la misma fase. - **Periodo ($T$):** Tiempo que tarda un punto del medio en completar una oscilación. - **Frecuencia ($f$):** Número de oscilaciones por unidad de tiempo ($f = 1/T$). #### Descripción Matemática de la Onda - **Onda viajera unidimensional:** $y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi)$ o $y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)$ - **Número de onda:** $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ - **Frecuencia angular:** $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$ - **Velocidad de fase:** $v = \frac{\omega}{k} = \lambda f$ #### Velocidad de Onda - **Cuerda tensa:** $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ - $T$: Tensión en la cuerda. - $\mu$: Densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud). #### Potencia e Intensidad en un Movimiento Ondulatorio - **Potencia media:** $P_{med} = \frac{1}{2}\mu\omega^2 A^2 v$ (para una cuerda) - **Intensidad ($I$):** Potencia por unidad de área. $I = \frac{P}{S}$ - Para ondas esféricas: $I = \frac{P_{fuente}}{4\pi r^2}$ - $I \propto A^2 \omega^2$ #### Interferencia y Principio de Superposición - **Principio de Superposición:** Cuando dos o más ondas se encuentran en un punto, el desplazamiento resultante es la suma vectorial de los desplazamientos individuales. - **Interferencia constructiva:** Las ondas se refuerzan (máxima amplitud). Ocurre cuando la diferencia de fase es $2n\pi$. - **Interferencia destructiva:** Las ondas se cancelan (mínima amplitud). Ocurre cuando la diferencia de fase es $(2n+1)\pi$. #### Ondas Transversales Estacionarias - **Definición:** Ondas formadas por la superposición de dos ondas idénticas que viajan en direcciones opuestas. - **Nodos:** Puntos de amplitud cero. - **Antinodos:** Puntos de máxima amplitud. - **Frecuencias de modos normales en una cuerda fija en ambos extremos:** $f_n = n\frac{v}{2L} = n f_1$ - $n = 1, 2, 3, ...$ (armónicos) - $f_1 = \frac{v}{2L}$ (frecuencia fundamental o primer armónico) ### Ondas Sonoras #### Nivel de Intensidad del Sonido - **Definición:** Medida logarítmica de la intensidad del sonido. - **Nivel en decibelios ($\beta$):** $\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$ - $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ (intensidad de referencia, umbral de audición). #### Velocidad de Onda Sonora - **En gases:** $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ o $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ - $\gamma$: Razón de calores específicos. - $R$: Constante de los gases. - $T$: Temperatura absoluta. - $M$: Masa molar. - $B$: Módulo de compresibilidad. - $\rho$: Densidad del medio. - **En sólidos (barra):** $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ - $Y$: Módulo de Young. - **En líquidos:** $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ #### Ondas Viajeras Longitudinales - **Función de onda de desplazamiento:** $s(x,t) = s_{max}\cos(kx - \omega t)$ - **Función de onda de presión:** $\Delta P(x,t) = \Delta P_{max}\sin(kx - \omega t)$ - $\Delta P_{max} = Bks_{max}$ #### Potencia e Intensidad del Sonido - **Intensidad:** $I = \frac{1}{2}\rho v \omega^2 s_{max}^2 = \frac{(\Delta P_{max})^2}{2\rho v}$ #### Ondas Sonoras Estacionarias - Modos Normales - **Tubos abiertos en ambos extremos:** $f_n = n\frac{v}{2L}$, $n = 1, 2, 3, ...$ - **Tubos cerrados en un extremo:** $f_n = n\frac{v}{4L}$, $n = 1, 3, 5, ...$ (solo armónicos impares) #### Pulsaciones - **Definición:** Variación periódica de la intensidad del sonido resultante de la superposición de dos ondas con frecuencias ligeramente diferentes. - **Frecuencia de pulsación:** $f_{pulso} = |f_1 - f_2|$ #### Efecto Doppler - **Definición:** Cambio en la frecuencia percibida de una onda debido al movimiento relativo entre la fuente y el observador. - **Fórmula general:** $f' = f \left(\frac{v \pm v_O}{v \mp v_S}\right)$ - $v$: Velocidad del sonido. - $v_O$: Velocidad del observador. - $v_S$: Velocidad de la fuente. - **Signos:** - Numerador: + si observador se acerca a la fuente, - si se aleja. - Denominador: - si fuente se acerca al observador, + si se aleja.