Cycle Thermodynamique Moteur

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Loi de Laplace Pour un gaz parfait en transformation adiabatique réversible : $$T\,V^{\gamma-1}=\text{constante}$$ $$P\,V^{\gamma}=\text{constante}$$ Constantes et Hypothèses $n=1\,\text{mol}$ $R=8.314\,\text{J}\,\cdotp\,\text{K}^{-1}\,\cdotp\,\text{mol}^{-1}$ $C_v=20.8\,\text{J}\,\cdotp\,\text{K}^{-1}\,\cdotp\,\text{mol}^{-1}$ $C_p=C_v+R=29.114\,\text{J}\,\cdotp\,\text{K}^{-1}\,\cdotp\,\text{mol}^{-1}$ $\gamma=C_p/C_v \approx 1.401$ (utilisé $1.4$ pour les exposants) $P_1=1.000\times 10^{5}\,\text{Pa}$ $T_1=300\,\text{K}$ $a=V_1/V_2=9$ $b=V_4/V_3=3$ États Thermodynamiques (Gaz Parfait) État 1 $V_1=\frac{nRT_1}{P_1}=\frac{1\cdot 8.314\cdot 300}{1.0\times 10^5}=0.024942\,\text{m}^3$ $P_1=1.000\times 10^5\,\text{Pa}$ $T_1=300\,\text{K}$ État 2 (1$\to$2 adiabatique, $V_2=V_1/a$) $V_2=\frac{V_1}{9}=0.0027713\,\text{m}^3$ $T_2=T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}=300\cdot 9^{0.4}\approx 722.38\,\text{K}$ $P_2=\frac{RT_2}{V_2}\approx 2.167\times 10^6\,\text{Pa}$ État 3 (2$\to$3 isobare, $V_3=V_1/b$) $P_3=P_2 \approx 2.167\times 10^6\,\text{Pa}$ $V_3=\frac{V_1}{3}=0.008314\,\text{m}^3$ $T_3=T_2\frac{V_3}{V_2}=3T_2\approx 2167.15\,\text{K}$ État 4 (3$\to$4 adiabatique, $V_4=bV_3=V_1$) $V_4=V_1=0.024942\,\text{m}^3$ $T_4=T_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1}=T_3\cdot 3^{-0.4}\approx 1396.6\,\text{K}$ $P_4=\frac{RT_4}{V_4}\approx 4.658\times 10^5\,\text{Pa}$ Récapitulatif Numérique État $P$ (Pa) $V$ ($\text{m}^3$) $T$ (K) 1 $1.000 \times 10^5$ $2.4942 \times 10^{-2}$ $300.0$ 2 $2.167 \times 10^6$ $2.771 \times 10^{-3}$ $722.38$ 3 $2.167 \times 10^6$ $8.314 \times 10^{-3}$ $2167.15$ 4 $4.658 \times 10^5$ $2.4942 \times 10^{-2}$ $1396.6$ Bilans Énergétiques et Entropiques Convention: travail "reçu par le gaz" $W=-\int P\,\mathrm{d}V$. Premier principe: $\Delta U=Q+W$. 1$\to$2 Adiabatique Réversible $Q_{12}=0$ $\Delta U_{12}=C_v\,(T_2-T_1)\approx 8.786 \times 10^{3}\ \text{J}$ $W_{12}=\Delta U_{12}\approx 8.786 \times 10^{3}\ \text{J}$ $\Delta H_{12}=C_p\,(T_2-T_1)\approx 1.230 \times 10^{4}\ \text{J}$ $\Delta S_{12}=0$ 2$\to$3 Isobare Réversible $\Delta H_{23}=C_p\,(T_3-T_2)\approx 4.207 \times 10^{4}\ \text{J}$ $Q_{23}=\Delta H_{23}\approx 4.207 \times 10^{4}\ \text{J}$ $\Delta U_{23}=C_v\,(T_3-T_2)\approx 3.005 \times 10^{4}\ \text{J}$ $W_{23}=Q_{23}-\Delta U_{23}\approx -1.202 \times 10^{4}\ \text{J}$ $\Delta S_{23}=C_p\ln\!\left(\frac{T_3}{T_2}\right)\approx 3.195 \times 10^{1}\ \text{J}\,\cdotp\,\text{K}^{-1}$ 3$\to$4 Adiabatique Réversible $Q_{34}=0$ $\Delta U_{34}=C_v\,(T_4-T_3)\approx -1.602 \times 10^{4}\ \text{J}$ $W_{34}=\Delta U_{34}\approx -1.602 \times 10^{4}\ \text{J}$ $\Delta H_{34}=C_p\,(T_4-T_3)\approx -2.243 \times 10^{4}\ \text{J}$ $\Delta S_{34}=0$ 4$\to$1 Isochore $W_{41}=0$ $\Delta U_{41}=C_v\,(T_1-T_4)\approx -2.281 \times 10^{4}\ \text{J}$ $Q_{41}=\Delta U_{41}\approx -2.281 \times 10^{4}\ \text{J}$ $\Delta H_{41}=C_p\,(T_1-T_4)\approx -3.193 \times 10^{4}\ \text{J}$ $\Delta S_{41}=C_v\ln\!\left(\frac{T_1}{T_4}\right)\approx -3.195 \times 10^{1}\ \text{J}\,\cdotp\,\text{K}^{-1}$ Bilans de Cycle (Réversible) $\Delta U_{\text{cycle}}=0$ $\Delta H_{\text{cycle}}=0$ $\Delta S_{\text{cycle}}=0$ $W_{\text{cycle}}=W_{12}+W_{23}+W_{34}+W_{41}\approx -1.926 \times 10^{4}\ \text{J}$ $Q_{\text{cycle}}=Q_{12}+Q_{23}+Q_{34}+Q_{41}\approx +1.926 \times 10^{4}\ \text{J}$ Vérification: $\Delta U_{\text{cycle}}=Q_{\text{cycle}}+W_{\text{cycle}}=0$, donc $Q_{\text{cycle}}=-W_{\text{cycle}}$. Rendement du Moteur Chaleur entrante sur le cycle: $Q_{\text{entrant}}=Q_{23}$. Deux écritures équivalentes: $$ \eta=\frac{|W_{\text{cycle}}|}{Q_{\text{entrant}}}\ \approx\ \frac{1.926\times 10^{4}}{4.207\times 10^{4}}\ \approx\ 0.458 $$ $$ \eta=1-\frac{|Q_{41}|}{Q_{23}}\ \approx\ 1-\frac{2.281\times 10^{4}}{4.207\times 10^{4}}\ \approx\ 0.458 $$ $$\boxed{\eta \approx 45.8\ \%}$$