Integral Domain & Prime Ideal

Cheatsheet Content

ইন্টিগ্রাল ডোমেন ও প্রাইম আইডিয়াল R একসমতা বিশিষ্ট একটি বিনিময় রিং এবং S হলো R-এর একটি আইডিয়াল। তবে R/S একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন হবে $\iff$ S R–এর একটি প্রাইম আইডিয়াল। প্রমাণ: ($R/S$ ইন্টিগ্রাল ডোমেন $\implies$ $S$ প্রাইম আইডিয়াল) ধরি, $R/S$ একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন। প্রমাণ করতে হবে $S$ একটি প্রাইম আইডিয়াল। ধরি, $a, b \in R$ যেন $ab \in S$। কোশেন্ট রিং $R/S$-এ, $(S+a)(S+b) = S + ab$। যেহেতু $ab \in S$, তাই $S + ab = S$। সুতরাং, $(S+a)(S+b) = S$। যেহেতু $R/S$ একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন, এতে কোনো zero divisor নেই। অতএব, $(S+a)(S+b) = S \implies S+a = S$ অথবা $S+b = S$। $S+a = S \iff a \in S$ এবং $S+b = S \iff b \in S$। সুতরাং, $ab \in S \implies a \in S$ অথবা $b \in S$। এটাই প্রাইম আইডিয়ালের সংজ্ঞা। অতএব, $S$ একটি প্রাইম আইডিয়াল। প্রমাণ: ($S$ প্রাইম আইডিয়াল $\implies$ $R/S$ ইন্টিগ্রাল ডোমেন) ধরি, $S$ একটি প্রাইম আইডিয়াল। প্রমাণ করতে হবে $R/S$ একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন। আমরা দেখাব $R/S$-এ কোনো zero divisor নেই। ধরি, $(S+a)(S+b) = S$ যেখানে $a, b \in R$। তাহলে $S + ab = S$, যার অর্থ $ab \in S$। যেহেতু $S$ একটি প্রাইম আইডিয়াল, তাই $ab \in S \implies a \in S$ অথবা $b \in S$। যদি $a \in S$, তবে $S+a = S$। যদি $b \in S$, তবে $S+b = S$। সুতরাং, $(S+a)(S+b) = S \implies (S+a)=S$ অথবা $(S+b)=S$। অর্থাৎ, $R/S$-এ কোনো zero divisor নেই। এছাড়াও, $R$ একটি একসমতা বিশিষ্ট বিনিময় রিং হওয়ায়, $R/S$-ও সমতা বিশিষ্ট বিনিময় রিং হবে। অতএব, $R/S$ একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন। উপসংহার $R/S$ ইন্টিগ্রাল ডোমেন $\iff S$ প্রাইম আইডিয়াল। আইডিয়াল বনাম সাবরিং রিং-এর প্রতিটি আইডিয়াল একটি সাবরিং, কিন্তু প্রতিটি সাবরিং আইডিয়াল নয়। প্রমাণ: প্রতিটি আইডিয়াল একটি সাবরিং ধরি, $R$ একটি রিং এবং $S \subseteq R$ হলো $R$-এর একটি আইডিয়াল। আমরা দেখাব যে, $S$ হলো $R$-এর একটি সাবরিং। সাবরিং হওয়ার শর্ত: $a, b \in S \implies a-b \in S$ $a, b \in S \implies ab \in S$ আইডিয়াল হওয়ার শর্ত: $a, b \in S \implies a-b \in S$ $r \in R, a \in S \implies ra \in S$ এবং $ar \in S$ আইডিয়ালের প্রথম শর্তটি ($a-b \in S$) সাবরিং-এর প্রথম শর্তের অনুরূপ। আইডিয়ালের দ্বিতীয় শর্ত ($ra \in S$ এবং $ar \in S$) থেকে সাবরিং-এর দ্বিতীয় শর্ত ($ab \in S$) পাওয়া যায়: যদি $a, b \in S$, তাহলে $a \in R$ (যেহেতু $S \subseteq R$) এবং $b \in S$। আইডিয়ালের শর্ত অনুযায়ী, $a \cdot b \in S$ (এখানে $r=a$ এবং $a=b$ ধরা যায়, কারণ $a \in R$ এবং $b \in S$)। সুতরাং, $S$ সাবরিং-এর উভয় শর্ত পূরণ করে। অতএব, প্রতিটি আইডিয়ালই একটি সাবরিং। প্রমাণ: প্রতিটি সাবরিং আইডিয়াল নয় সাবরিং-এর শর্ত: $a, b \in S \implies ab \in S$। আইডিয়ালের শর্ত: $r \in R, a \in S \implies ra \in S$ এবং $ar \in S$। এখানে মূল পার্থক্য হলো: সাবরিং-এর গুণের শর্তে উভয় উপাদানই $S$-এর সদস্য হতে হয়, কিন্তু আইডিয়ালের গুণের শর্তে একটি উপাদান $R$-এর যেকোনো সদস্য হতে পারে। উদাহরণ: ধরি, $R = \mathbb{Q}$ (মূলদ সংখ্যার রিং) এবং $S = \mathbb{Z}$ (পূর্ণসংখ্যার সাবরিং)। $S=\mathbb{Z}$ হলো $R=\mathbb{Q}$-এর একটি সাবরিং, কারণ $a,b \in \mathbb{Z} \implies a-b \in \mathbb{Z}$ এবং $ab \in \mathbb{Z}$। কিন্তু $S=\mathbb{Z}$ $R=\mathbb{Q}$-এর আইডিয়াল নয়। কারণ, $r = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ এবং $a = 3 \in \mathbb{Z}$। কিন্তু $r \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}$। যেহেতু $ra \notin S$, তাই $S=\mathbb{Z}$ একটি আইডিয়াল নয়। অতএব, প্রতিটি সাবরিং আইডিয়াল নয়। সিদ্ধান্ত ✓ প্রতিটি আইডিয়াল একটি সাবরিং। ✗ কিন্তু প্রতিটি সাবরিং আইডিয়াল নয়।