,"$undefined"]}]]}]}]}] 2f:T10ad,

ধরি $R$ একটি রিং এবং $S \subseteq R$ একটি আইডিয়াল। আমরা $R/S$ কে কোসেটগুলির সেট হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি:

এখানে $S+a = \{s+a \mid s \in S\}$। $R/S$ একটি রিং হবে যদি নিম্নলিখিত অপারেশনগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়:

যদি $S+a = S+a'$ এবং $S+b = S+b'$ হয়, তাহলে $a-a' \in S$ এবং $b-b' \in S$।

যদি $(a-a') \in S$ এবং $(b-b') \in S$ হয়, তাহলে:

যদি $(a-a') \in S$ এবং $(b-b') \in S$ হয়, এবং $S$ একটি আইডিয়াল, তাহলে:

$((S+a)+(S+b))+(S+c) = S+(a+b)+c = S+a+(b+c) = (S+a)+((S+b)+(S+c))$

$(S+a)+(S+b) = S+(a+b) = S+(b+a) = (S+b)+(S+a)$

$S+0$ হলো যোগের অভেদক, কারণ $(S+a)+(S+0) = S+(a+0) = S+a$

$S+(-a)$ হলো $S+a$ এর যোগের বিপরীতক, কারণ $(S+a)+(S+(-a)) = S+(a-a) = S+0$

সুতরাং, $(R/S, +)$ একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ।

$((S+a)(S+b))(S+c) = (S+ab)(S+c) = S+(ab)c = S+a(bc) = (S+a)((S+b)(S+c))$

বাম বন্টন সূত্র: $(S+a)((S+b)+(S+c)) = (S+a)(S+(b+c)) = S+a(b+c) = S+(ab+ac) = (S+ab)+(S+ac) = (S+a)(S+b) + (S+a)(S+c)$
ডান বন্টন সূত্র: $((S+a)+(S+b))(S+c) = (S+(a+b))(S+c) = S+(a+b)c = S+(ac+bc) = (S+ac)+(S+bc) = (S+a)(S+c) + (S+b)(S+c)$

যেহেতু $R/S$ এর অপারেশনগুলো সুসংজ্ঞায়িত, যোগের অধীনে এটি একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রু