কোশেন্ট রিং ($R/S$) এর সংজ্ঞা

Cheatsheet Content

কোশেন্ট রিং ($R/S$) ধরি $R$ একটি রিং এবং $S \subseteq R$ একটি আইডিয়াল। আমরা $R/S$ কে কোসেটগুলির সেট হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি: $R/S = \{S+a \mid a \in R\}$ এখানে $S+a = \{s+a \mid s \in S\}$। $R/S$ একটি রিং হবে যদি নিম্নলিখিত অপারেশনগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়: যোগ: $(S+a) + (S+b) = S+(a+b)$ গুণ: $(S+a)(S+b) = S+ab$ ধাপ ১: অপারেশনগুলি সুসংজ্ঞায়িত (Well-defined) যদি $S+a = S+a'$ এবং $S+b = S+b'$ হয়, তাহলে $a-a' \in S$ এবং $b-b' \in S$। (ক) যোগের সুসংজ্ঞা যদি $(a-a') \in S$ এবং $(b-b') \in S$ হয়, তাহলে: $(a+b) - (a'+b') = (a-a') + (b-b') \in S$ (যেহেতু $S$ একটি এডিটিভ সাবগ্রুপ)। সুতরাং, $S+(a+b) = S+(a'+b')$। যোগ সুসংজ্ঞায়িত। ✔ (খ) গুণের সুসংজ্ঞা যদি $(a-a') \in S$ এবং $(b-b') \in S$ হয়, এবং $S$ একটি আইডিয়াল, তাহলে: $ab - a'b' = a(b-b') + (a-a')b'$ যেহেতু $b-b' \in S$ এবং $S$ একটি আইডিয়াল, $a(b-b') \in S$। যেহেতু $a-a' \in S$ এবং $S$ একটি আইডিয়াল, $(a-a')b' \in S$। সুতরাং, $ab - a'b' \in S$। অতএব, $S+ab = S+a'b'$। গুণ সুসংজ্ঞায়িত। ✔ ধাপ ২: যোগের জন্য রিং অ্যাক্সিওম ১. সংযোগতা (Associativity) $((S+a)+(S+b))+(S+c) = S+(a+b)+c = S+a+(b+c) = (S+a)+((S+b)+(S+c))$ ২. বিনিময়তা (Commutativity) $(S+a)+(S+b) = S+(a+b) = S+(b+a) = (S+b)+(S+a)$ ৩. যোগের অভেদক (Additive Identity) $S+0$ হলো যোগের অভেদক, কারণ $(S+a)+(S+0) = S+(a+0) = S+a$ ৪. যোগের বিপরীতক (Additive Inverse) $S+(-a)$ হলো $S+a$ এর যোগের বিপরীতক, কারণ $(S+a)+(S+(-a)) = S+(a-a) = S+0$ সুতরাং, $(R/S, +)$ একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ। ধাপ ৩: গুণের জন্য রিং অ্যাক্সিওম ১. সংযোগতা (Associativity) $((S+a)(S+b))(S+c) = (S+ab)(S+c) = S+(ab)c = S+a(bc) = (S+a)((S+b)(S+c))$ ২. বন্টন সূত্র (Distributive Laws) বাম বন্টন সূত্র: $(S+a)((S+b)+(S+c)) = (S+a)(S+(b+c)) = S+a(b+c) = S+(ab+ac) = (S+ab)+(S+ac) = (S+a)(S+b) + (S+a)(S+c)$ ডান বন্টন সূত্র: $((S+a)+(S+b))(S+c) = (S+(a+b))(S+c) = S+(a+b)c = S+(ac+bc) = (S+ac)+(S+bc) = (S+a)(S+c) + (S+b)(S+c)$ সিদ্ধান্ত যেহেতু $R/S$ এর অপারেশনগুলো সুসংজ্ঞায়িত, যোগের অধীনে এটি একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ, গুণ সংযোগ সূত্র মেনে চলে এবং বন্টন সূত্র প্রযোজ্য, তাই $R/S$ একটি রিং।