Hibbeler 역학 요약

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### 1. 기본 원리 - **뉴턴의 제1법칙:** 정지한 물체는 계속 정지하고, 움직이는 물체는 등속도 운동을 한다 (합력이 0일 때). - **뉴턴의 제2법칙:** $F = ma$ (힘은 질량과 가속도의 곱과 같다). - **뉴턴의 제3법칙:** 모든 작용에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 존재한다. - **중력의 법칙:** $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ (두 질량체 사이의 중력). 지구 표면에서는 $W = mg$. ### 2. 힘 벡터 #### 2.1 스칼라와 벡터 - **스칼라:** 크기만 가진 물리량 (질량, 부피, 길이). - **벡터:** 크기와 방향을 가진 물리량 (힘, 속도, 가속도). #### 2.2 벡터 연산 - **벡터 덧셈 (평행사변형 법칙):** 두 벡터의 합은 평행사변형의 대각선으로 표현된다. - **성분 벡터:** $\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} + F_z \hat{k}$ - **크기:** $|\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$ - **단위 벡터:** $\vec{u}_F = \frac{\vec{F}}{|\vec{F}|}$ - **점곱 (스칼라곱):** $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$ - 두 벡터 사이의 각도: $\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}$ - 한 벡터의 다른 벡터 방향 성분: $A_B = \vec{A} \cdot \vec{u}_B$ - **외적 (벡터곱):** $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}$ - 크기: $|\vec{C}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta$ - 방향: 오른손 법칙 ### 3. 입자의 평형 - **자유물체도 (FBD):** 모든 외부 힘을 표시한 그림. - **평형 방정식:** $\sum \vec{F} = 0$ - 2D: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ - 3D: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum F_z = 0$ ### 4. 힘 시스템 합력 - **모멘트 (토크):** $M_O = rF\sin\theta = |\vec{r} \times \vec{F}|$ - 스칼라 공식 (2D): $M_O = Fd$ (d는 수직 거리) - 벡터 공식 (3D): $\vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F}$ - 축에 대한 모멘트: $M_{OL} = \vec{u}_L \cdot (\vec{r} \times \vec{F})$ - **짝힘 (Couple):** 크기가 같고 방향이 반대이며 평행한 두 힘. 합력은 0이지만 모멘트를 발생시킨다. - 짝힘 모멘트: $M = Fd$ (d는 두 힘 사이의 수직 거리) - **힘-짝힘 시스템:** 모든 힘과 모멘트를 한 점으로 합산하여 하나의 합력과 하나의 합 모멘트로 표현. - 합력: $\vec{F}_R = \sum \vec{F}$ - 합 모멘트: $\vec{M}_R = \sum \vec{M}_O + \sum (\vec{r} \times \vec{F})$ ### 5. 강체의 평형 - **평형 방정식:** - $\sum \vec{F} = 0$ (합력이 0) - $\sum \vec{M}_O = 0$ (어떤 점 O에 대한 합 모멘트가 0) - **2D 평형:** - $\sum F_x = 0$ - $\sum F_y = 0$ - $\sum M_O = 0$ - **3D 평형:** - $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum F_z = 0$ - $\sum M_x = 0$, $\sum M_y = 0$, $\sum M_z = 0$ ### 6. 질량 중심 & 도심 - **질량 중심 (CM):** 물체의 질량이 집중된 가상의 점. - $\bar{x} = \frac{\sum \tilde{x} m}{\sum m}$, $\bar{y} = \frac{\sum \tilde{y} m}{\sum m}$, $\bar{z} = \frac{\sum \tilde{z} m}{\sum m}$ - **도심 (Centroid):** 면적 또는 부피의 기하학적 중심. 균일한 밀도의 물체에서는 질량 중심과 일치. - 면적: $\bar{x} = \frac{\sum \tilde{x} A}{\sum A}$, $\bar{y} = \frac{\sum \tilde{y} A}{\sum A}$ - 부피: $\bar{x} = \frac{\sum \tilde{x} V}{\sum V}$, $\bar{y} = \frac{\sum \tilde{y} V}{\sum V}$, $\bar{z} = \frac{\sum \tilde{z} V}{\sum V}$ - **포텐셜 에너지 방법:** 평형 위치는 시스템의 포텐셜 에너지가 최소인 지점. ### 7. 관성 모멘트 - **면적 관성 모멘트 (Area Moment of Inertia):** - $I_x = \int y^2 dA$ - $I_y = \int x^2 dA$ - $J_O = \int r^2 dA = I_x + I_y$ (극 관성 모멘트) - **평행축 정리:** $I = I_{CM} + Ad^2$ - $I_{CM}$은 도심축에 대한 관성 모멘트. - $d$는 평행한 두 축 사이의 거리. - **질량 관성 모멘트 (Mass Moment of Inertia):** - $I = \int r^2 dm$ - 평행축 정리: $I = I_{CM} + Md^2$ ### 8. 입자의 운동학 #### 8.1 직선 운동 - **속도:** $v = \frac{ds}{dt}$ - **가속도:** $a = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ - **등가속도 운동 공식:** - $v = v_0 + at$ - $s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} at^2$ - $v^2 = v_0^2 + 2a(s - s_0)$ #### 8.2 곡선 운동 - **직각 좌표계:** - $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ - $\vec{v} = \dot{x}\hat{i} + \dot{y}\hat{j} + \dot{z}\hat{k}$ - $\vec{a} = \ddot{x}\hat{i} + \ddot{y}\hat{j} + \ddot{z}\hat{k}$ - **정상-접선 좌표계:** - $\vec{v} = v\vec{u}_t$ - $\vec{a} = a_t \vec{u}_t + a_n \vec{u}_n = \dot{v}\vec{u}_t + \frac{v^2}{\rho}\vec{u}_n$ - $a_t$: 접선 가속도 (속도 크기 변화) - $a_n$: 법선 가속도 (속도 방향 변화, 곡률 반경 $\rho$) - **원통 좌표계:** - $\vec{r} = r\vec{u}_r + z\vec{u}_z$ - $\vec{v} = \dot{r}\vec{u}_r + r\dot{\theta}\vec{u}_\theta + \dot{z}\vec{u}_z$ - $\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\vec{u}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\vec{u}_\theta + \ddot{z}\vec{u}_z$ ### 9. 입자의 운동학 #### 9.1 뉴턴의 제2법칙 - $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ - **직각 좌표계:** $\sum F_x = ma_x$, $\sum F_y = ma_y$, $\sum F_z = ma_z$ - **정상-접선 좌표계:** $\sum F_t = ma_t$, $\sum F_n = ma_n$ - **원통 좌표계:** $\sum F_r = ma_r$, $\sum F_\theta = ma_\theta$, $\sum F_z = ma_z$ #### 9.2 일과 에너지 - **일 (Work):** $U_{1-2} = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{s_1}^{s_2} F \cos\theta ds$ - **운동 에너지:** $T = \frac{1}{2} mv^2$ - **일-에너지 원리:** $T_1 + U_{1-2} = T_2$ - **보존력:** 중력 $U_g = -W(y-y_0)$, 용수철 힘 $U_e = -\frac{1}{2} k(s^2 - s_0^2)$ - **보존력 시스템:** $T_1 + V_1 = T_2 + V_2$ (역학적 에너지 보존) - $V = V_g + V_e$ (포텐셜 에너지) #### 9.3 운동량과 충격량 - **선형 운동량:** $\vec{L} = m\vec{v}$ - **선형 충격량:** $\vec{I} = \int \vec{F} dt$ - **선형 충격량-운동량 원리:** $m\vec{v}_1 + \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = m\vec{v}_2$ - **각운동량:** $\vec{H}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$ - **각충격량-운동량 원리:** $(\vec{H}_O)_1 + \int_{t_1}^{t_2} \vec{M}_O dt = (\vec{H}_O)_2$ - **충돌:** - **반발계수 (Coefficient of Restitution):** $e = \frac{(v_B)_2 - (v_A)_2}{(v_A)_1 - (v_B)_1}$ - **중심 충돌:** 충돌선과 무게 중심이 일치. - **경사 충돌:** 충돌선과 무게 중심이 일치하지 않음. ### 10. 강체의 운동학 #### 10.1 평면 운동 (2D) - **강체의 종류:** - **병진 운동 (Translation):** 모든 점이 동일한 속도와 가속도를 가짐. - $\vec{v}_B = \vec{v}_A$ - $\vec{a}_B = \vec{a}_A$ - **고정축 회전 (Rotation about a fixed axis):** - $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ - $\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$ - 스칼라: $v = \omega r$, $a_t = \alpha r$, $a_n = \omega^2 r$ - **일반 평면 운동 (General Plane Motion):** 병진과 회전의 조합. - **상대 속도:** $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{r}_{B/A}$ - **상대 가속도:** $\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \vec{r}_{B/A} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_{B/A})$ - **순간 중심 (Instantaneous Center, IC):** 강체 평면 운동에서 순간적으로 속도가 0인 점. - $\vec{v}_{IC} = 0$ - $\vec{v}_P = \vec{\omega} \times \vec{r}_{P/IC}$ ### 11. 강체의 운동학 #### 11.1 평면 운동 (2D) - **운동 방정식:** - $\sum F_x = m(\bar{a}_x)$ - $\sum F_y = m(\bar{a}_y)$ - $\sum M_G = I_G \alpha$ (G는 질량 중심) - 또는 $\sum M_P = I_P \alpha$ (P는 고정축 또는 순간 중심) #### 11.2 일과 에너지 - **운동 에너지 (평면 운동):** $T = \frac{1}{2} m \bar{v}^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2$ - 고정축 회전: $T = \frac{1}{2} I_O \omega^2$ - **일-에너지 원리:** $T_1 + U_{1-2} = T_2$ - **보존력 시스템:** $T_1 + V_1 = T_2 + V_2$ #### 11.3 운동량과 충격량 - **선형 운동량-충격량:** $m(\vec{\bar{v}})_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = m(\vec{\bar{v}})_2$ - **각운동량-충격량:** $(I_G \omega)_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} M_G dt = (I_G \omega)_2$ - 고정축 회전: $(I_O \omega)_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} M_O dt = (I_O \omega)_2$ - **충돌:** 보존 법칙 적용 (운동량, 각운동량). 반발계수 $e$.