Formulario de Oscilaciones

Cheatsheet Content

### Movimiento Armónico Simple (MAS) #### Ecuaciones Fundamentales - **Posición:** $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ - **Velocidad:** $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ - **Aceleración:** $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$ #### Parámetros - **Amplitud (A):** Máxima distancia desde la posición de equilibrio. - **Frecuencia angular ($\omega$):** $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ (para masa-resorte) o $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ (para péndulo simple). Unidades: rad/s. - **Frecuencia (f):** $f = \frac{\omega}{2\pi}$. Unidades: Hz. - **Período (T):** $T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}$. Unidades: s. - **Fase inicial ($\phi$):** Determinado por las condiciones iniciales ($x_0, v_0$). #### Energía en el MAS - **Energía Cinética (K):** $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \phi)$ - **Energía Potencial Elástica (U):** $U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$ - **Energía Mecánica Total (E):** $E = K + U = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2$ (Conservada) ### Sistemas Oscilantes Comunes #### 1. Masa-Resorte Horizontal - **Fuerza restauradora:** $F = -kx$ (Ley de Hooke) - **Frecuencia angular:** $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ - **Período:** $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ #### 2. Péndulo Simple - **Para ángulos pequeños ($\theta ### Oscilaciones Amortiguadas - **Ecuación de movimiento:** $m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0$ - Donde $b$ es la constante de amortiguamiento. #### Solución General - **Frecuencia angular amortiguada:** $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2} = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ - Donde $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (frecuencia natural) y $\gamma = \frac{b}{2m}$ (factor de amortiguamiento). #### Tipos de Amortiguamiento 1. **Subamortiguado ($\gamma \omega_0$):** - $x(t) = e^{-\gamma t} (C_1 e^{\sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} t} + C_2 e^{-\sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} t})$ - Retorna al equilibrio lentamente sin oscilar (más lento que el crítico). ### Oscilaciones Forzadas y Resonancia - **Ecuación de movimiento:** $m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega_f t)$ - Donde $F_0$ es la amplitud de la fuerza impulsora y $\omega_f$ es la frecuencia de la fuerza impulsora. #### Solución en Estado Estacionario - **Amplitud:** $A(\omega_f) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega_f^2)^2 + (2\gamma \omega_f)^2}}$ - **Fase:** $\tan \delta = \frac{2\gamma \omega_f}{\omega_0^2 - \omega_f^2}$ #### Resonancia - Ocurre cuando la amplitud de las oscilaciones forzadas es máxima. - **Frecuencia de resonancia ($\omega_{res}$):** - Para amplitud máxima (de desplazamiento): $\omega_{res} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ - Si el amortiguamiento es pequeño ($\gamma \ll \omega_0$), entonces $\omega_{res} \approx \omega_0$. - La amplitud en resonancia puede ser muy grande si el amortiguamiento es pequeño.