Analisi Complessa & Trasformat

Cheatsheet Content

### Introduzione Questo cheatsheet è basato sulle dispense del corso di "Introduzione all'analisi complessa" e "La trasformazione di Fourier e la trasformazione di Laplace" del A.A. 2025/2026, Docente: Claudia Anedda. Contiene le definizioni e le formule essenziali per la risoluzione degli esercizi. ### I Numeri Complessi #### Il campo dei numeri complessi L'insieme $\mathbb{R}^2 = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{R}\}$ con le operazioni di somma e prodotto: - Somma: $(x,y) + (x', y') = (x+x', y+y')$ - Prodotto: $(x,y) \cdot (x', y') = (xx'-yy', xy'+yx')$ L'unità immaginaria $i$ è definita come la coppia $(0,1)$, con la proprietà $i^2 = -1$. Un numero complesso $z = (x,y)$ può essere scritto in **forma cartesiana o algebrica**: $z = x + iy$. - **Parte reale:** $\text{Re}(z) = x$ - **Parte immaginaria:** $\text{Im}(z) = y$ #### Proprietà e operazioni tra numeri complessi - **Divisione:** Se $z = x+iy$ e $z' = x'+iy' \neq 0$, allora $$ \frac{z}{z'} = \frac{x+iy}{x'+iy'} = \frac{(x+iy)(x'-iy')}{(x'+iy')(x'-iy')} = \frac{xx'+yy'}{x'^2+y'^2} + i\frac{x'y-xy'}{x'^2+y'^2} $$ - **Complesso coniugato:** $\bar{z} = x - iy$. - $\text{Re}(z) = \frac{z+\bar{z}}{2}$ - $\text{Im}(z) = \frac{z-\bar{z}}{2i}$ - $\overline{z+w} = \bar{z}+\bar{w}$ - $\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$ - $\overline{z/w} = \bar{z}/\bar{w}$ - **Modulo o valore assoluto:** $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$. - $z\bar{z} = |z|^2$ - $|z| \ge 0$, $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$ - $|\bar{z}| = |z|$ - $-|z| \le \text{Re}(z) \le |z|$, $-|z| \le \text{Im}(z) \le |z|$ - $|zw| = |z||w|$ - $|z/w| = |z|/|w|$ - **Disuguaglianza triangolare:** $|z+w| \le |z|+|w|$ - $|z-w| \ge ||z|-|w||$ - Generalizzazione: $\left|\sum_{i=1}^n z_i\right| \le \sum_{i=1}^n |z_i|$ - **Radici di equazioni polinomiali:** Se $z_0$ è una radice di $a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0 = 0$ con coefficienti reali, allora $\bar{z_0}$ è anche una radice. #### Il piano di Gauss I numeri complessi possono essere rappresentati come punti nel piano cartesiano, detto **piano complesso** o **piano di Gauss**. L'ascissa è la parte reale e l'ordinata è la parte immaginaria. - Il modulo $|z|$ è la distanza euclidea del punto $(x,y)$ dall'origine $(0,0)$. - $|z-w|$ rappresenta la distanza tra i punti $z$ e $w$. - Somma e differenza si possono visualizzare con la regola del parallelogramma. #### Forma trigonometrica di un numero complesso Un numero complesso $z$ può essere rappresentato in **coordinate polari** $(p, \theta)$: - $p = |z|$ (raggio polare o modulo) - $\theta = \text{arg}(z)$ (angolo polare o argomento) Relazioni tra coordinate cartesiane e polari: - $x = \rho \cos\theta$, $y = \rho \sin\theta$ - $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$, $\theta = \arctan(y/x)$ (con attenzione ai quadranti) La **forma trigonometrica** di $z$ è: $z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$. - **Prodotto:** $zw = \rho r (\cos(\theta+\phi) + i\sin(\theta+\phi))$ (prodotto dei moduli, somma degli argomenti) - **Quoziente:** $z/w = (\rho/r)(\cos(\theta-\phi) + i\sin(\theta-\phi))$ (quoziente dei moduli, differenza degli argomenti) - **Potenze (Formula di De Moivre):** $z^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$ - **Radici n-esime:** Se $w = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, le $n$ radici $z_k$ di $w$ sono: - $\rho_k = r^{1/n}$ - $\theta_k = \frac{\phi+2k\pi}{n}$ per $k=0, 1, \dots, n-1$ #### Forma esponenziale di un numero complesso - **Formula di Eulero:** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ - La **forma esponenziale** o **rappresentazione polare** di $z$ è: $z = \rho e^{i\theta}$. - **Proprietà dell'esponenziale:** $e^{z+w} = e^z e^w$ - L'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo $2\pi i$. - **Seno e Coseno complessi:** - $\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ - $\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ - **Seno e Coseno iperbolici complessi:** - $\sinh z = \frac{e^z-e^{-z}}{2}$ - $\cosh z = \frac{e^z+e^{-z}}{2}$ - **Relazioni tra funzioni trigonometriche e iperboliche:** - $\cos z = \cosh(iz)$ - $\sin z = -i\sinh(iz)$ - $\cosh z = \cos(iz)$ - $\sinh z = -i\sin(iz)$ #### La rappresentazione sferica Il **piano complesso esteso** $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ è rappresentabile come la **sfera di Riemann**. - Punti finiti $z = x+iy$ corrispondono a $(x_1, x_2, x_3)$ sulla sfera $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ tramite la proiezione stereografica. - Il punto all'infinito $\infty$ corrisponde al polo nord $(0,0,1)$. ### Funzioni Complesse #### Funzioni complesse di variabile complessa Una funzione $f: U \to \mathbb{C}$ con $U \subseteq \mathbb{C}$ aperto può essere scritta come $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$, dove $u=\text{Re}(f(z))$ e $v=\text{Im}(f(z))$ sono funzioni reali di due variabili reali. - **Dominio:** un insieme aperto e connesso. #### Limiti di funzioni complesse - **Definizione:** $\lim_{z \to z_0} f(z) = l$ se $\forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon) > 0$ tale che $0 0$ tale che $|f(z)| \le M$ in $U$. - **Continuità:** $f$ è continua in $z_0$ se $\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$. - **Limiti all'infinito:** $\lim_{z \to \infty} f(z) = l$ se $\forall \epsilon > 0 \exists N(\epsilon) > 0$ tale che $|z| > N \Rightarrow |f(z)-l| 0 \exists \delta(K) > 0$ tale che $0 K$. - $\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$ se $\forall K > 0 \exists N(K) > 0$ tale che $|z| > N \Rightarrow |f(z)| > K$. #### Funzioni olomorfe - **Derivata complessa:** $f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$. - **Funzione olomorfa:** $f$ è olomorfa in $U$ se ha derivata complessa in ogni punto $z \in U$. - **Regole di derivazione:** Le stesse della derivazione reale (somma, prodotto, quoziente, composizione, funzione inversa). - Le funzioni olomorfe sono continue. #### La condizione di Cauchy-Riemann Una funzione $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ è differenziabile in $z_0$ se e solo se è differenziabile come funzione vettoriale $F(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$ e valgono le **condizioni di Cauchy-Riemann (C-R)**: - $u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0)$ - $u_y(x_0,y_0) = -v_x(x_0,y_0)$ - La derivata complessa $f'(z)$ può essere scritta come: - $f'(z) = u_x + iv_x$ - $f'(z) = v_y - iu_y$ - $f'(z) = u_x - iu_y$ - $f'(z) = -iv_x + v_y$ - **Operatori di Cauchy-Riemann (Wirtinger derivatives):** - $\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}\right)$ - $\frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right)$ - $f$ è olomorfa se e solo se $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$. - Se $f = u+iv$ è olomorfa, la matrice Jacobiana di $F(x,y)$ ha determinante $|f'(z)|^2$. - **Teorema 2.5:** Se $f$ è olomorfa in un dominio $D$ e una tra $u, v, |f|$ è costante su $D$, allora $f$ è costante su $D$. Se $f'(z)=0$ su $D$, allora $f$ è costante. #### Proprietà delle funzioni analitiche - **Principio di identità:** Se due funzioni olomorfe $f$ e $g$ coincidono su un insieme con un punto di accumulazione nel dominio, allora $f=g$ in tutto il dominio. - **Funzione analitica:** $f$ è analitica in $z_0$ se è sviluppabile in serie di potenze in un intorno di $z_0$. - **Teorema 2.24:** Una funzione $f$ è analitica in $U$ se e solo se è olomorfa in $U$. - **Zeri di una funzione olomorfa:** Se $f$ è olomorfa e non identicamente nulla, i suoi zeri sono isolati. - **Ordine di uno zero:** $z_0$ è uno zero di ordine $n$ se $f(z_0)=f'(z_0)=\dots=f^{(n-1)}(z_0)=0$ e $f^{(n)}(z_0) \neq 0$. - **Prolungamento analitico:** Una funzione analitica $f$ può essere estesa a un dominio più grande $V \supset U$ in modo unico. ### La Trasformazione di Fourier #### Definizione di Trasformata di Fourier - **Integrale a valore principale (Cauchy):** $\text{V.P.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x)dx$. - **Trasformata di Fourier:** Per $f \in L^1(\mathbb{R})$, la trasformata di Fourier di $f$ è $\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}[f(t)](\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt$. - **Proprietà:** - Se $f$ è reale e pari, $\hat{f}$ è reale e pari. - Se $f$ è reale e dispari, $\hat{f}$ è immaginaria pura e dispari. - $\mathcal{F}$ è un operatore lineare continuo da $L^1(\mathbb{R})$ a $L^{\infty}(\mathbb{R})$. - **Lemma di Riemann-Lebesgue:** Se $f \in L^1(\mathbb{R})$, allora $\lim_{|\omega| \to \infty} \hat{f}(\omega) = 0$. #### Proprietà della Trasformata di Fourier - **Riscalamento:** $\mathcal{F}[f(at)](\omega) = \frac{1}{|a|} \hat{f}(\omega/a)$ per $a \neq 0$. - **Coniugio:** $\mathcal{F}[\bar{f}(t)](\omega) = \overline{\hat{f}(-\omega)}$. - **Traslazione nel tempo:** $\mathcal{F}[f(t-a)](\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-i\omega a}$. - **Traslazione nella frequenza (Modulazione):** $\mathcal{F}[f(t)e^{iat}](\omega) = \hat{f}(\omega-a)$. - **Derivata della trasformata:** $\mathcal{F}[t^n f(t)](\omega) = i^n \frac{d^n}{d\omega^n} \hat{f}(\omega)$. - **Trasformata della derivata:** $\mathcal{F}[f^{(n)}(t)](\omega) = (i\omega)^n \hat{f}(\omega)$. - **Formula di inversione (o anti-trasformata):** Se $f, \hat{f} \in L^1(\mathbb{R})$, allora $f(t) = \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(\omega)](t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\omega)e^{i\omega t} d\omega$. - **Formula di dualità (simmetria o reciprocità):** $\mathcal{F}[\hat{f}(t)](\omega) = 2\pi f(-\omega)$. - **Teorema di Plancherel:** $\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{f}(\omega)|^2 d\omega$. - **Convoluzione:** $\mathcal{F}[(f*g)(t)](\omega) = \hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)$. #### Serie di Fourier Per una funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $T$-periodica e continua a tratti: - **Serie di Fourier (forma reale):** $f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}t\right)\right)$ - $a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) dt$ - $b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) dt$ - **Serie di Fourier (forma complessa):** $f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty \gamma_n e^{i \frac{2\pi n}{T}t}$ - $\gamma_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i \frac{2\pi n}{T}t} dt$ - **Frequenza fondamentale o pulsazione:** $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$. ### La Trasformazione di Laplace #### Definizione di Trasformata di Laplace - **Trasformata di Laplace:** Per $f: [0, \infty) \to \mathbb{C}$, la trasformata di Laplace è $\mathcal{L}[f(t)](s) = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt$. - **Ascissa di convergenza:** $\sigma[f] = \inf\{\text{Re}(s) : \int_{0}^{\infty} |f(t)e^{-st}| dt \sigma[f]$. - **Proprietà:** $\lim_{\text{Re}(s) \to +\infty} F(s) = 0$. - **Ordine esponenziale:** $f$ è di ordine esponenziale $a$ se $\exists M > 0$ tale che $|f(t)| \le Me^{at}$. #### Proprietà della Trasformata di Laplace - **Linearità:** $\mathcal{L}[af(t)+bg(t)](s) = aF(s)+bG(s)$. - **Riscalamento:** $\mathcal{L}[f(at)](s) = \frac{1}{a} F(s/a)$ per $a > 0$. - **Traslazione:** $\mathcal{L}[f(t-a)H(t-a)](s) = e^{-as}F(s)$ per $a > 0$. - **Modulazione:** $\mathcal{L}[e^{at}f(t)](s) = F(s-a)$. - **Derivata della trasformata:** $\mathcal{L}[t^n f(t)](s) = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)$. - **Trasformata della derivata:** $\mathcal{L}[f^{(n)}(t)](s) = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - \dots - f^{(n-1)}(0)$. - **Trasformata dell'integrale:** $\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau) d\tau\right](s) = \frac{1}{s}F(s)$. - **Convoluzione:** $\mathcal{L}[(f*g)(t)](s) = F(s)G(s)$. #### Inversione della Trasformata di Laplace - **Formula di inversione (Riemann-Fourier):** $f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)](t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{R \to \infty} \int_{a-iR}^{a+iR} e^{st}F(s) ds$ per $a > \sigma[f]$. - **Antitrasformate notevoli:** - $\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right](t) = H(t)$ (funzione di Heaviside o gradino unitario). - $\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right](t) = e^{at}H(t)$. - $\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{n!}{s^{n+1}}\right](t) = t^n H(t)$. - $\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right](t) = \sin(\omega t)H(t)$. - $\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+\omega^2}\right](t) = \cos(\omega t)H(t)$. - $\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\omega}{s^2-\omega^2}\right](t) = \sinh(\omega t)H(t)$. - $\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s}{s^2-\omega^2}\right](t) = \cosh(\omega t)H(t)$. - **Formula di espansione di Heaviside:** Per $F(s) = P(s)/Q(s)$ con $Q(s)$ avente radici semplici $s_k$: - $\mathcal{L}^{-1}[F(s)](t) = \sum_{k=1}^N \frac{P(s_k)}{Q'(s_k)} e^{s_k t}$. - Per radici multiple, se $s_k$ è una radice di molteplicità $m_k$: - $\mathcal{L}^{-1}[F(s)](t) = \sum_{k=1}^N \frac{1}{(m_k-1)!} \lim_{s \to s_k} \frac{d^{m_k-1}}{ds^{m_k-1}} [(s-s_k)^{m_k} F(s) e^{st}]$. ### Serie di Potenze e di Laurent #### Serie di Potenze - **Serie numerica complessa:** $\sum_{k=0}^\infty a_k$. - **Serie di potenze complessa:** $\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$. - **Raggio di convergenza:** $R$. Converge assolutamente per $|z-z_0| R$. - **Coefficienti:** $a_k = \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$. - **Funzioni elementari in serie di potenze:** - $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ - $\sin z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ - $\cos z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}$ - $\sinh z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ - $\cosh z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}$ - $\log(1-z) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+1}}{n+1}$ per $|z| #### Serie di Laurent - **Corona circolare:** $C_{r,R}(z_0) = \{z \in \mathbb{C} : r ### Singolarità e Residui #### Classificazione delle singolarità isolate Una singolarità $z_0$ è **isolata** se $f$ è olomorfa in un intorno bucato di $z_0$ ma non in $z_0$. - **Singolarità eliminabile (o removibile):** $\lim_{z \to z_0} f(z) = L #### Teorema dei Residui - **Residuo:** Il coefficiente $a_{-1}$ della serie di Laurent di $f$ in $z_0$ è detto residuo di $f$ in $z_0$, indicato $\text{Res}(f; z_0)$. - **Teorema dei Residui:** $\oint_\gamma f(z) dz = 2\pi i \sum_{j=1}^k \text{Res}(f; z_j)$, dove $z_j$ sono le singolarità all'interno di $\gamma$. - **Calcolo dei residui:** - **Polo semplice:** $\text{Res}(f; z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$. - Se $f(z) = g(z)/h(z)$ con $g(z_0) \neq 0$, $h(z_0)=0$ e $h'(z_0) \neq 0$: $\text{Res}(f; z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$. - **Polo di ordine $m$:** $\text{Res}(f; z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)]$. - **Residuo all'infinito:** $\text{Res}(f; \infty) = - \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(z) dz$, dove $\gamma$ è percorsa in senso orario. Oppure $\text{Res}(f; \infty) = -\text{Res}\left(\frac{1}{\xi^2} f\left(\frac{1}{\xi}\right); 0\right)$. - **Teorema della somma dei residui:** $\sum_{j=1}^n \text{Res}(f; z_j) + \text{Res}(f; \infty) = 0$. #### Calcolo di integrali con il metodo dei residui - Integrali del tipo $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} dx$: - Se $\deg Q \ge \deg P + 2$, allora $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} dx = 2\pi i \sum_{\text{Im}(z_k)>0} \text{Res}\left(\frac{P(z)}{Q(z)}; z_k\right)$. - Integrali del tipo $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{i\lambda x} dx$: - **Lemma di Jordan:** Se $\lim_{R \to \infty} \sup_{|z|=R, \text{Im}(z) \ge 0} |f(z)| = 0$, allora $\lim_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(z)e^{i\lambda z} dz = 0$ per $\lambda > 0$, dove $\gamma_R$ è la semicirconferenza superiore. - $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{i\lambda x} dx = 2\pi i \sum_{\text{Im}(z_k)>0} \text{Res}(f(z)e^{i\lambda z}; z_k)$ per $\lambda > 0$. - Per $\lambda ### Teoremi di Cauchy #### Formula Integrale di Cauchy - **Teorema 2.19 (Formula Integrale di Cauchy):** Se $f$ è olomorfa in un dominio $U$ e $\gamma$ è una curva di Jordan contenuta in $U$ che racchiude $z_0$, allora $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} dz$. - **Derivate di ordine superiore:** $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz$. - **Disuguaglianze di Cauchy:** $|f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n! M(R)}{R^n}$, dove $M(R) = \max_{|z-z_0|=R} |f(z)|$. - **Teorema di Liouville:** Una funzione intera (olomorfa su tutto $\mathbb{C}$) e limitata è costante. #### Teorema di Morera - **Teorema 2.13 (di Morera):** Se $f$ è continua in un dominio $D$ e $\oint_\gamma f(z) dz = 0$ per ogni curva chiusa $\gamma$ in $D$, allora $f$ è olomorfa in $D$. #### Teorema di Rouché - **Teorema 2.44 (di Rouché):** Se $f,g$ sono olomorfe in un dominio $D$ e $|g(z)|