Analisi Matematica I

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### Modulo 1: Funzioni Reali di Variabile Reale (Ripasso) - **Definizione e classificazione delle funzioni.** - **Dominio di una funzione:** L'insieme di tutti i valori di input per i quali la funzione è definita. - Esempio: Il dominio di $f(x) = \sqrt{x-2}$ è $x \ge 2$. - Esempio: Il dominio di $f(x) = 1/x$ è $x \ne 0$. #### Esempi di esercizi 1. **Dominio:** Trovare il dominio delle seguenti funzioni: a. $f(x) = \frac{x+1}{x^2-4}$ b. $f(x) = \sqrt{9-x^2}$ c. $f(x) = \log(x^2+1)$ *Soluzioni:* a. $x^2-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 2$. Dominio: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$. b. $9-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 9 \Rightarrow -3 \le x \le 3$. Dominio: $[-3, 3]$. c. $x^2+1 > 0$, che è sempre vero per ogni $x \in \mathbb{R}$. Dominio: $\mathbb{R}$. ### Modulo 2: Introduzione all'Analisi - **Il segno di una funzione e le intersezioni con gli assi cartesiani.** - **Segno:** Studiare per quali valori di $x$ la funzione è positiva, negativa o nulla. - **Intersezioni:** - Asse $y$: $f(0)$ (se $0$ appartiene al dominio). - Asse $x$: $f(x) = 0$. - **Rappresentazione nel piano cartesiano delle regioni dove giace il grafico della funzione e degli elementi trovati.** - **Prime proprietà delle funzioni.** - **Immagine, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione.** - **Funzioni crescenti e funzioni decrescenti.** - Una funzione $f$ è crescente se per $x_1 f(x_2)$. - **Funzioni pari e funzioni dispari.** - $f$ è pari se $f(-x) = f(x)$ (simmetrica rispetto all'asse $y$). - $f$ è dispari se $f(-x) = -f(x)$ (simmetrica rispetto all'origine). #### Esempi di esercizi 1. **Segno e intersezioni:** Studiare il segno e trovare le intersezioni con gli assi di $f(x) = x^2-x-2$. *Soluzione:* - Intersezioni asse $y$: $f(0) = -2 \Rightarrow (0, -2)$. - Intersezioni asse $x$: $x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2, x=-1$. Punti: $(2,0), (-1,0)$. - Segno: $x^2-x-2 > 0$ per $x 2$. $f(x) ### Modulo 3: Limiti di Funzioni Reali di Variabile Reale - **Esempi introduttivi al concetto di limite.** - **Limite finito quando $x$ tende a un valore finito.** - Esempio: $\lim_{x \to 2} (x+1) = 3$. - **Limite finito quando $x$ tende a infinito.** - Esempio: $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. - **Limite infinito quando $x$ tende a un valore finito.** - Esempio: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$. - **Limite infinito quando $x$ tende a infinito.** - Esempio: $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$. - **Esempi introduttivi al concetto di limite destro e limite sinistro.** - $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ e $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$. - **Limiti e asintoti.** - **Asintoto verticale:** Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$, allora $x=x_0$ è un asintoto verticale. - **Asintoto orizzontale:** Se $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (finito), allora $y=L$ è un asintoto orizzontale. - **Le funzioni continue e l'algebra dei limiti.** - **Continuità in un punto:** Una funzione $f$ è continua in $x_0$ se $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. - **Continuità in un intervallo.** - **Limiti delle funzioni elementari.** - **L'algebra dei limiti:** Regole per il limite di somme, prodotti, quozienti, composizioni di funzioni. - **Regole di calcolo nel caso in cui i due limiti siano finiti.** - **Regole di calcolo nel caso in cui uno dei due limiti sia infinito.** - **Forme di indecisione di funzioni algebriche.** - **Limiti di funzioni polinomiali.** - **Forme di indecisione del tipo $+\infty - \infty$.** - Esempio: $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - x)$. Si raccoglie il termine di grado massimo: $\lim_{x \to +\infty} x^2(1 - 1/x) = +\infty \cdot (1-0) = +\infty$. - **Limiti di funzioni razionali fratte.** - **Forma di indecisione del tipo $\frac{\infty}{\infty}$.** - Esempio: $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+3x}{x^2-1}$. Si dividono numeratore e denominatore per $x^2$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{2+3/x}{1-1/x^2} = \frac{2+0}{1-0} = 2$. - **Forma di indecisione del tipo $\frac{0}{0}$.** - Esempio: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$. Si fattorizza il numeratore: $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$. #### Esempi di esercizi 1. **Calcolo limiti:** Calcolare i seguenti limiti: a. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$ b. $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3-x+1}{x^3+2x^2}$ c. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ (limite notevole) d. $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1}$ *Soluzioni:* a. Forma $\frac{0}{0}$. $\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$. b. Forma $\frac{\infty}{\infty}$. Divido per $x^3$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3-1/x^2+1/x^3}{1+2/x} = \frac{3-0+0}{1+0} = 3$. c. Limite notevole, risultato $1$. d. Il denominatore tende a $0$ da valori negativi ($x-1 ### Modulo 4: Continuità - **Funzioni continue.** - **Continuità in un punto.** - **Funzioni continue.** - **Comportamento delle funzioni continue rispetto alle operazioni tra funzioni.** - **Riconoscimento grafico di funzioni continue e di punti di discontinuità di 1ª, 2ª o 3ª specie.** - **Discontinuità di 1ª specie (a salto):** Esistono finiti i limiti destro e sinistro, ma sono diversi. - **Discontinuità di 2ª specie:** Almeno uno dei limiti destro o sinistro è infinito o non esiste. - **Discontinuità di 3ª specie (eliminabile):** Esiste il limite finito, ma la funzione non è definita nel punto o assume un valore diverso. - **Gli asintoti di una funzione: asintoto verticale, asintoto orizzontale, asintoto obliquo.** - **Asintoto obliquo:** Se $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = m \ne 0$ e $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = q$, allora $y=mx+q$ è un asintoto obliquo. - **Il grafico probabile di una funzione.** #### Esempi di esercizi 1. **Classificazione discontinuità:** Classificare i punti di discontinuità per $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ e $g(x) = \frac{1}{x^2}$. *Soluzioni:* - Per $f(x)$: Dominio $x \ne 1$. $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$. Poiché il limite esiste finito ma la funzione non è definita in $x=1$, è una discontinuità di 3ª specie (eliminabile). - Per $g(x)$: Dominio $x \ne 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$. Poiché il limite è infinito, è una discontinuità di 2ª specie. 2. **Asintoto obliquo:** Trovare gli asintoti obliqui di $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$. *Soluzione:* - Asintoto verticale: $x=0$. - $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} (1+\frac{1}{x^2}) = 1$. Quindi $m=1$. - $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2+1}{x} - x) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2+1-x^2}{x}) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$. Quindi $q=0$. - L'asintoto obliquo è $y=x$. ### Modulo 5: La Derivata - **Il concetto di derivata.** - **Il problema della retta tangente.** - **La derivata in un punto.** - **Definizione:** $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. - **La funzione derivata e le derivate successive.** - **Continuità e derivabilità.** - Se una funzione è derivabile in un punto, allora è continua in quel punto. Il viceversa non è sempre vero (es. $|x|$ in $x=0$). - **Derivata destra e derivata sinistra.** - **Derivate delle funzioni elementari.** - **Derivata della funzione costante:** $D[c] = 0$. - **Derivata della funzione identica:** $D[x] = 1$. - **Derivata della funzione potenza a esponente intero positivo:** $D[x^n] = nx^{n-1}$. - **Derivata della funzione potenza a esponente reale:** $D[x^\alpha] = \alpha x^{\alpha-1}$. - **Algebra delle derivate.** - **La linearità della derivata:** $D[af(x) \pm bg(x)] = aD[f(x)] \pm bD[g(x)]$. - **La derivata del prodotto di due funzioni:** $D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. - **La derivata del quoziente di due funzioni:** $D[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$. - **Derivata della funzione reciproca:** $D[1/f(x)] = -f'(x)/[f(x)]^2$. - **La derivata della funzione composta (applicata ai casi di potenza).** - **Regola della catena:** $D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. - Esempio: $D[(x^2+1)^3] = 3(x^2+1)^2 \cdot (2x) = 6x(x^2+1)^2$. - **La classificazione dei punti in cui una funzione non è derivabile (punto angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale).** - **Punto angoloso:** Le derivate destra e sinistra esistono finite ma sono diverse. - **Cuspide:** Una delle derivate destra o sinistra è infinita e l'altra è finita, o entrambe infinite ma di segno opposto. - **Flesso a tangente verticale:** Le derivate destra e sinistra sono entrambe infinite e concordi. - **Applicazioni geometriche del concetto di derivata.** - **Equazione della retta tangente e della retta normale a una curva.** - Retta tangente in $(x_0, f(x_0))$: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. - Retta normale in $(x_0, f(x_0))$: $y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ (se $f'(x_0) \ne 0$). #### Esempi di esercizi 1. **Calcolo derivate:** Calcolare la derivata delle seguenti funzioni: a. $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ b. $f(x) = (3x+1)e^x$ c. $f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2}$ d. $f(x) = \cos(x^3)$ *Soluzioni:* a. $f'(x) = 4x^3 - 4x$. b. $f'(x) = D[3x+1]e^x + (3x+1)D[e^x] = 3e^x + (3x+1)e^x = e^x(3+3x+1) = e^x(3x+4)$. c. $f'(x) = \frac{D[\sin(x)]x^2 - \sin(x)D[x^2]}{(x^2)^2} = \frac{\cos(x)x^2 - \sin(x)(2x)}{x^4} = \frac{x\cos(x) - 2\sin(x)}{x^3}$. d. $f'(x) = -\sin(x^3) \cdot D[x^3] = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3)$. 2. **Retta tangente:** Trovare l'equazione della retta tangente alla curva $y = x^3 - 3x$ nel punto $x=2$. *Soluzione:* - $f(2) = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2$. Il punto è $(2,2)$. - $f'(x) = 3x^2 - 3$. - $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$. - Equazione della tangente: $y - 2 = 9(x - 2) \Rightarrow y = 9x - 18 + 2 \Rightarrow y = 9x - 16$. ### Modulo 6: Problemi sulle Funzioni e Derivabili - **Punti di massimo e di minimo relativi e assoluti.** - **Massimo/Minimo relativo (locale):** Punti in cui la funzione cambia la sua monotonia. Si trovano annullando la derivata prima ($f'(x)=0$). - **Massimo/Minimo assoluto:** Il valore più grande/piccolo che la funzione assume nel suo dominio (o in un intervallo). - **Funzioni crescenti e decrescenti e criteri per l'analisi dei punti stazionari.** - Se $f'(x) > 0$, la funzione è crescente. - Se $f'(x) 0$, la funzione è convessa (concavità verso l'alto). - Se $f''(x) 0$ per $x 0$ per $x > 2$ (crescente) - In $x=0$ c'è un massimo relativo: $f(0)=0$. - In $x=2$ c'è un minimo relativo: $f(2) = 2^3 - 3(2^2) = 8 - 12 = -4$. 2. **Flessi e concavità:** Trovare i punti di flesso e gli intervalli di concavità/convessità per $f(x) = x^4 - 4x^3$. *Soluzione:* - $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$. - $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$. - Punti candidati al flesso: $12x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$. - Segno di $f''(x)$: - $f''(x) > 0$ per $x 0$ per $x > 2$ (convessa) - In $x=0$ c'è un flesso: $f(0)=0$. - In $x=2$ c'è un flesso: $f(2) = 2^4 - 4(2^3) = 16 - 32 = -16$. ### Modulo 7: Lo Studio Completo di Funzione - **Schema generale per lo studio del grafico di una funzione.** 1. **Dominio:** Determinare l'insieme di definizione della funzione. 2. **Simmetrie:** Verificare se la funzione è pari o dispari. 3. **Intersezioni con gli assi:** Trovare i punti in cui il grafico interseca l'asse $x$ (ponendo $f(x)=0$) e l'asse $y$ (calcolando $f(0)$). 4. **Segno della funzione:** Determinare gli intervalli in cui $f(x) > 0$ (funzione positiva) e $f(x) 0$ per $x > 1$. - $f(x) > 0$ per $x > 1$. - $f(x) 0$ per $x 0$ per $x > 2$ (crescente). - Massimo relativo in $x=0$: $f(0)=0$. Punto $(0,0)$. - Minimo relativo in $x=2$: $f(2)=\frac{2^2}{2-1} = 4$. Punto $(2,4)$. 8. **Derivata seconda:** - $f''(x) = D\left[\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\right] = \frac{D[x^2-2x](x-1)^2 - (x^2-2x)D[(x-1)^2]}{((x-1)^2)^2}$ - $f''(x) = \frac{(2x-2)(x-1)^2 - (x^2-2x)2(x-1)}{(x-1)^4}$ - $f''(x) = \frac{(2x-2)(x-1) - 2(x^2-2x)}{(x-1)^3} = \frac{2(x-1)^2 - 2x^2+4x}{(x-1)^3}$ - $f''(x) = \frac{2(x^2-2x+1) - 2x^2+4x}{(x-1)^3} = \frac{2x^2-4x+2-2x^2+4x}{(x-1)^3} = \frac{2}{(x-1)^3}$. 9. **Flessi e concavità:** - $f''(x) = 0 \Rightarrow 2=0$ (impossibile). Non ci sono punti di flesso. - Segno di $f''(x)$: Dipende dal segno di $(x-1)^3$. - $f''(x) 0$ per $x > 1$ (convessa). 10. **Grafico probabile:** - [Immagina un grafico con asintoto verticale $x=1$, asintoto obliquo $y=x+1$, massimo relativo in $(0,0)$ e minimo relativo in $(2,4)$, concava per $x 1$].