F Tema 1 Fundamentos de Óptica

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### Principios de Óptica Geométrica #### Definiciones Básicas - **Luz:** Se propaga en línea recta, representada por Rayos. - **Objeto:** Emite (o reemite) luz en todas direcciones. - **Imagen:** Se forma donde los rayos del objeto convergen. #### Superficies Esféricas - **Medio dieléctrico:** Luz sin pérdidas. Índice de refracción $n$. - $n_{aire} = 1$ - $n_{agua} = 1.33$ - $n_{vidrio} = 1.45 – 1.6$ - $n_{polim} = 1.42 – 1.55$ - **Medio absorbente:** Absorbe toda la luz. - **Medio reflectivo:** Los rayos se reflejan. Ángulo reflejado = ángulo incidente ($\theta_i = \theta_r$). - **Ley de Snell:** $n_i \sin \theta_i = n_t \sin \theta_t$ #### Lentes Delgadas (Aproximación) - **Lentes convergentes:** Foco imagen $f' > 0$. - **Lentes divergentes:** Foco imagen $f' 0$: Objeto virtual - $s' > 0$: Imagen real - $s' 1$: Aumento (Magnificación) - $|M| ### Aplicaciones de Óptica Geométrica #### Ojo Humano - **Miopía:** Imagen se forma antes de la retina. Corrección con lente divergente. - **Hipermetropía:** Imagen se forma después de la retina. Corrección con lente convergente. - **Punto próximo:** $z_0 = 15$ cm (distancia mínima para enfocar). #### Cámaras - **Desplazamiento:** Varía $f_s$, $H$ y $H'$. #### Expansor de Haz - **Aumento lateral:** $A_L = \frac{x_2}{x_1} = \frac{f_2}{f_1}$ #### Telescopio - **Aumento Visual:** $A_V = \frac{x_{con}}{x_{sin}} = \frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{f_2}{f_1}$ #### Microscopio - **Aumento Visual:** $A_V = \frac{x_{con}}{x_{sin}} = \frac{d \cdot z_0}{f_1 \cdot f_2}$ ### Ecuación de Ondas #### Ecuaciones de Maxwell en el vacío - $\nabla \times \vec{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ - $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ - $\nabla \cdot \vec{E} = 0$ - $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ - **Ecuación de ondas:** - $\nabla^2 \vec{E} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$ - $\nabla^2 \vec{B} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$ - **Velocidad de la luz:** $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$ - **Vector de Poynting (Energía):** $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ #### Aproximaciones de la Ecuación de Ondas - **Onda armónica (monocromática):** $\vec{E}(\vec{r},t) = \text{Re}[\vec{E}'(\vec{r})e^{i\omega t}]$ - **Ecuación de Helmholtz espacial:** $\nabla^2 \vec{E}'(\vec{r}) + \frac{\omega^2}{c^2}\vec{E}'(\vec{r}) = 0$ #### Soluciones de la Ecuación de Ondas - **Relación:** $\frac{\omega}{k} = c$ - **Intensidad:** $I = ||\vec{E}'||^2 = E_0^2$ - **Irradiancia (energía):** $\langle S \rangle = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} ||\vec{E}'||^2 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} E_0^2$ - **Onda esférica:** $\vec{E}(\vec{r}, t) = \hat{p}(\vec{r}) \frac{E_0}{||\vec{r}||} e^{i(\omega t - k||\vec{r}||)}$ - **Onda plana:** $\vec{E}(\vec{r}, t) = \hat{p} E_0 e^{i(\omega t - kz)}$ - **Rayo:** $\vec{k} \parallel \vec{S}$ #### Haz Gaussiano - **Cintura del haz:** $w_0 = \frac{\lambda}{\pi \sin \alpha}$ - **Apertura numérica:** $NA = \sin \alpha$ - **Rango de Rayleigh:** $z_R = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$ - **Radio del haz:** $w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{z}{z_R}\right)^2}$ - **Radio de curvatura:** $R(z) = z + \frac{z_R^2}{z}$ - **Aumento lateral (al atravesar una lente):** $A_L = \frac{s'}{s} = \frac{w_0'}{w_0}$ ### Polarización #### Estados de Luz - **Vector unitario de polarización:** $|\hat{p}_x|^2 + |\hat{p}_y|^2 = 1$ - **Componentes de campo eléctrico:** - $E_x = |\hat{p}_x|E_0 \cos(\omega t - kz + \delta_x)$ - $E_y = |\hat{p}_y|E_0 \cos(\omega t - kz + \delta_y)$ #### Elipse de Polarización - **Desfase:** $\delta = \delta_y - \delta_x$, $0^\circ \le \delta ### Medios Materiales Homogéneos e Isótropos #### Ecuaciones de Maxwell en Medios Materiales - **Corriente de desplazamiento:** $\vec{D} = \epsilon_0 \epsilon_r \vec{E} = \epsilon \vec{E}$ - **Campo magnético:** $\vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H} = \mu \vec{H}$ - **Ley de Ohm:** $\vec{j} = \sigma \vec{E}$ - **Medio conductor:** $\sigma \neq 0$ - **Medio dieléctrico:** $\sigma = 0$ #### Ondas Armónicas - **Constante dieléctrica generalizada:** $\epsilon_{gen} = \epsilon - i \frac{\sigma}{\omega}$ - **Medio dispersivo:** $\epsilon_{gen}(\omega)$ - **Medio no dispersivo:** $\epsilon_{gen}(\omega) = \epsilon_{gen}$ #### Onda Plana Inhomogénea - **Vector de ondas complejo:** $\vec{k}_c = \vec{k} - i\vec{a}$ - Si $\vec{k}_c \parallel \vec{E}'$ y $\vec{k}_c \parallel \vec{H}'$, es un **Solo campo eléctrico**. #### Índice de Refracción - **Índice de refracción complejo:** $n_c = n - i\kappa$ - $n$: Índice de refracción - $\kappa$: Índice de absorción - **En medios dieléctricos ópticos ($\mu_r=1$):** $n_c^2 = \epsilon_r$ - **Relación con $\epsilon_{gen}$ y $\mu_{gen}$:** $n_c^2 = \frac{\mu_{gen}\epsilon_{gen}}{\mu_0\epsilon_0}$ #### Tipos de Medios - **Medio transparente:** $\epsilon_{gen} \in \mathbb{R}$, $\sigma=0$, $\kappa=0$. - **Medio absorbente:** $\epsilon_{gen} \in \mathbb{C}$, $\sigma \neq 0$, $\kappa \neq 0$. - $\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}' e^{-\vec{a} \cdot \vec{r}} e^{i(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$ #### Interfaces entre dos Medios Transparentes - **Coeficientes de Fresnel:** - $E_r^\perp = r^\perp E_i^\perp = \frac{n_i \cos \theta_i - n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i + n_t \cos \theta_t} E_i^\perp$ - $E_r^\parallel = r^\parallel E_i^\parallel = \frac{n_t \cos \theta_i - n_i \cos \theta_t}{n_t \cos \theta_i + n_i \cos \theta_t} E_i^\parallel$ - $E_t^\perp = t^\perp E_i^\perp = \frac{2n_i \cos \theta_i}{n_i \cos \theta_i + n_t \cos \theta_t} E_i^\perp$ - $E_t^\parallel = t^\parallel E_i^\parallel = \frac{2n_i \cos \theta_i}{n_t \cos \theta_i + n_i \cos \theta_t} E_i^\parallel$ - **Conservación de la energía:** $R+T=1$ - $R = |r|^2$ - $T = \frac{n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i} |t|^2$ - **Ángulo de Brewster:** $\tan \theta_B = \frac{n_t}{n_i}$ (para $r^\parallel = 0$) - **Ángulo máximo (para $n_t ### Medios Materiales Anisótropos #### Birrefringencia - **Material uniáxico:** $n_\beta = n_\gamma = n_o$ (índice ordinario), $n_\alpha = n_e$ (índice extraordinario). - **Material biáxico:** $n_\alpha \neq n_\beta \neq n_\gamma$. - **Ecuación del elipsoide de índices:** $\frac{E_x^2}{n_x^2} + \frac{E_y^2}{n_y^2} + \frac{E_z^2}{n_z^2} = 1$ - **Doble refracción:** Separación de un rayo incidente en dos rayos (ordinario y extraordinario). - **Retardadores:** Dispositivos que introducen una diferencia de fase $\Delta = k(n_e - n_o)d$. #### Dicroísmo - **Material uniáxico:** $\kappa_\beta = \kappa_\gamma = \kappa_o$ (índice de absorción ordinario), $\kappa_\alpha = \kappa_e$ (índice de absorción extraordinario). - **Material biáxico:** $\kappa_\alpha \neq \kappa_\beta \neq \kappa_\gamma$. - **Fabricación de polarizadores:** Se aprovecha la absorción selectiva. - $t_{min} = e^{-\kappa_e k d}$ - $t_{max} = e^{-\kappa_o k d}$ ### Propagación de la Luz #### Máscaras - **Definición:** Elemento óptico cuyo grosor es despreciable. - **Transmisión:** $\vec{E} = t(x,y) \vec{E}_{inc}$ donde $t(x,y) = |t(x,y)|e^{i\Phi(x,y)}$. #### Propagación de la Luz - **Número de Fresnel:** $N_F = \frac{|x_{max}y_{max}|}{\lambda Z}$ - **Rayleigh-Sommerfield:** Aproximación para propagación. - **Campo cercano (Fresnel):** $N_F > 1$. - **Campo lejano (Fraunhofer):** $N_F \ll 1$. #### Medida de la Anchura de Objetos Pequeños (Difracción) - **Rendija rectangular:** $I = I_0 \left[ \frac{\sin(ka \sin \Psi)}{ka \sin \Psi} \right]^2$ - **Rendija circular:** $I = I_0 \left[ \frac{J_1(kax/f')}{kax/f'} \right]^2$ - **Principio de Babinet:** El patrón de difracción de una abertura y un obstáculo es idéntico (salvo en $x \approx 0$). ### Interferencia y Difracción #### Interferencia - **Interferencia (polarización):** $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$ - **Interferencia (amplitud):** $E = E_1 + E_2$ - **Ondas incoherentes:** $I = I_1 + I_2$ #### Interferómetro de Michelson y Mach-Zehnder - **Camino óptico:** $\Delta = nd$ - **Intensidad de interferencia:** $I^{con}(\vec{r}_i) = \frac{I_0}{4} [1 + \cos(k\Delta_A - k\Delta_B)]$ - **Aplicaciones:** Medida del grosor, fase e índice de refracción. #### Red de Difracción - **Interferencia constructiva:** $kd = 2\pi N$ - **Ángulo de difracción:** $\sin \theta_N = \frac{N\lambda}{P}$ - $P$: Periodo de la red - $N$: Orden de difracción