Función de Onda

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1. Introducción a la Función de Onda La función de onda $\Psi(\vec{r}, t)$ describe el estado cuántico de una partícula o sistema. Es una función compleja. Su cuadrado de la magnitud, $|\Psi(\vec{r}, t)|^2$, representa la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en una posición $\vec{r}$ en el tiempo $t$. Principio de Superposición: Si $\Psi_1$ y $\Psi_2$ son soluciones, entonces $c_1\Psi_1 + c_2\Psi_2$ también lo es. 2. Ecuación de Schrödinger 2.1. Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo Describe la evolución temporal de la función de onda: $$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r}, t) = \hat{H}\Psi(\vec{r}, t)$$ $\hbar$ es la constante de Planck reducida. $\hat{H}$ es el operador Hamiltoniano, que representa la energía total del sistema. 2.2. Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo Para estados estacionarios (energía constante): $$\hat{H}\psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r})$$ $\psi(\vec{r})$ es la función de onda estacionaria (parte espacial). $E$ es la energía del estado. La solución general es $\Psi(\vec{r}, t) = \psi(\vec{r})e^{-iEt/\hbar}$. 3. Operador Hamiltoniano ($\hat{H}$) Para una partícula en un potencial $V(\vec{r}, t)$: $$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}, t)$$ $m$ es la masa de la partícula. $\nabla^2$ es el operador Laplaciano (parte de la energía cinética). $V(\vec{r}, t)$ es el operador de energía potencial. 4. Interpretación de Born La probabilidad de encontrar la partícula en un volumen $dV$ en el tiempo $t$ es $P(\vec{r}, t)dV = |\Psi(\vec{r}, t)|^2 dV$. Normalización: La probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar del espacio debe ser 1: $$\int_{\text{todo el espacio}} |\Psi(\vec{r}, t)|^2 dV = 1$$ 5. Propiedades de la Función de Onda Continuidad: $\Psi(\vec{r}, t)$ debe ser continua. Derivada Continua: $\nabla\Psi(\vec{r}, t)$ debe ser continua (excepto en puntos donde el potencial es infinito). Univaluada: $\Psi(\vec{r}, t)$ debe tener un único valor en cada punto del espacio y tiempo. Finitud: $\Psi(\vec{r}, t)$ debe ser finita en todo el espacio. Cuadrado Integrable: $\int |\Psi(\vec{r}, t)|^2 dV 6. Valores Esperados El valor esperado de un observable $\hat{A}$ (representado por un operador hermitiano) es: $$\langle \hat{A} \rangle = \int \Psi^*(\vec{r}, t) \hat{A} \Psi(\vec{r}, t) dV$$ $\Psi^*$ es el conjugado complejo de $\Psi$. Ejemplos de operadores: Posición: $\hat{r} = \vec{r}$ Momento: $\hat{p} = -i\hbar\nabla$ Energía Cinética: $\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$ 7. Estados Propios y Valores Propios Cuando un sistema está en un estado propio $\psi_n$ de un operador $\hat{A}$, la medición del observable $A$ siempre arrojará el valor propio $a_n$: $$\hat{A}\psi_n = a_n\psi_n$$ Para el Hamiltoniano, los estados propios son los estados estacionarios y los valores propios son las energías $E_n$. Los estados propios de operadores hermitianos son ortogonales: $$\int \psi_m^*(\vec{r})\psi_n(\vec{r}) dV = 0 \quad \text{si } m \neq n$$ Si están normalizados, son ortonormales: $\int \psi_m^*\psi_n dV = \delta_{mn}$. 8. Partícula Libre (1D) Potencial $V(x) = 0$. Ecuación de Schrödinger: $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi$. Solución: $\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$, donde $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$. No puede ser normalizada, representa un flujo de probabilidad. 9. Partícula en una Caja (Pozo Infinito, 1D) $V(x) = 0$ para $0 Funciones de onda: $\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$, para $n=1, 2, 3, ...$. Energías cuantizadas: $E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$. La probabilidad es cero en las paredes y fuera de la caja.