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Résolution d'Équations du Second Degré en C

Une équation du second degré est de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, où $a, b, c$ sont des coefficients réels et $a \neq 0$.

Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine la nature des solutions.

1. Structure Générale du Programme C

#include <stdio.h>
#include <math.h> // Pour sqrt()

int main() {
  double a, b, c;
  double delta;

  // 1. Lire les coefficients
  printf("Entrez le coefficient a: ");
  scanf("%lf", &a);
  printf("Entrez le coefficient b: ");
  scanf("%lf", &b);
  printf("Entrez le coefficient c: ");
  scanf("%lf", &c);

  // 2. Traiter les cas spéciaux (a = 0)
  if (a == 0) {
    // ... (voir section 2)
  } else {
    // 3. Calculer le discriminant
    delta = b*b - 4*a*c;

    // 4. Traiter les cas de delta
    if (delta > 0) {
      // ... (voir section 3.1)
    } else if (delta == 0) {
      // ... (voir section 3.2)
    } else { // delta < 0
      // ... (voir section 3.3)
    }
  }

  return 0;
}

2. Cas Spécial : $a = 0$ (Équation Linéaire)

Si $a = 0$, l'équation devient $bx + c = 0$.

Si $b = 0$:
- Si $c = 0$: Infinité de solutions ($0 = 0$).
- Si $c \neq 0$: Pas de solution ($c = 0$, impossible).
Si $b \neq 0$: Une solution unique $x = -c/b$.

Code pour $a = 0$:

  if (a == 0) {
    if (b == 0) {
      if (c == 0) {
        printf("L'équation est 0 = 0. Infinité de solutions.\n");
      } else {
        printf("L'équation est %lf = 0. Pas de solution.\n", c);
      }
    } else {
      double x = -c / b;
      printf("C'est une équation linéaire. Solution unique: x = %lf\n", x);
    }
  }

3. Cas Général : $a \neq 0$ (Discriminant $\Delta$)

3.1. $\Delta > 0$: Deux solutions réelles distinctes

Les solutions sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Code pour $\Delta > 0$:

    if (delta > 0) {
      double x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a);
      double x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2 * a);
      printf("Deux solutions réelles distinctes:\n");
      printf("x1 = %lf\n", x1);
      printf("x2 = %lf\n", x2);
    }

3.2. $\Delta = 0$: Une solution réelle double (racine double)

La solution est $x = \frac{-b}{2a}$.

Code pour $\Delta = 0$:

    else if (delta == 0) {
      double x = -b / (2 * a);
      printf("Une solution réelle double:\n");
      printf("x = %lf\n", x);
    }

3.3. $\Delta < 0$: Deux solutions complexes conjuguées

Les solutions sont $x_1 = \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Où $i$ est l'unité imaginaire ($\sqrt{-1}$).

Code pour $\Delta < 0$:

    else { // delta < 0
      double reel = -b / (2 * a);
      double imaginaire = sqrt(-delta) / (2 * a);
      printf("Deux solutions complexes conjuguées:\n");
      printf("x1 = %lf - %lfi\n", reel, imaginaire);
      printf("x2 = %lf + %lfi\n", reel, imaginaire);
    }

4. Exemple d'Utilisation

$x^2 - 5x + 6 = 0 \implies a=1, b=-5, c=6$. $\Delta = 1 > 0$. $x_1=2, x_2=3$.
$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies a=1, b=-4, c=4$. $\Delta = 0$. $x=2$.
$x^2 + x + 1 = 0 \implies a=1, b=1, c=1$. $\Delta = -3 < 0$. $x_1 = -0.5 - 0.866i, x_2 = -0.5 + 0.866i$.
$2x + 4 = 0 \implies a=0, b=2, c=4$. $x=-2$.
$0x + 5 = 0 \implies a=0, b=0, c=5$. Pas de solution.
$0x + 0 = 0 \imp