삼각함수 치트 시트

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### 기본 정의 직각삼각형에서 각 $\theta$에 대하여: - **사인 (Sine):** $\sin(\theta) = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}}$ - **코사인 (Cosine):** $\cos(\theta) = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$ - **탄젠트 (Tangent):** $\tan(\theta) = \frac{\text{대변}}{\text{밑변}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ #### 역수 함수 - **코시컨트 (Cosecant):** $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$ - **시컨트 (Secant):** $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$ - **코탄젠트 (Cotangent):** $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$ ### 단위 원 반지름이 1인 원을 단위 원이라고 합니다. - 단위 원 위의 점 $P(x, y)$에 대해: - $x = \cos(\theta)$ - $y = \sin(\theta)$ - $\theta$는 양의 x축에서 반시계 방향으로 측정한 각입니다. ### 특수각의 값 | $\theta$ (라디안) | $\theta$ (도) | $\sin(\theta)$ | $\cos(\theta)$ | $\tan(\theta)$ | |-------------------|---------------|----------------|----------------|----------------| | $0$ | $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ | | $\pi/6$ | $30^\circ$ | $1/2$ | $\sqrt{3}/2$ | $1/\sqrt{3}$ | | $\pi/4$ | $45^\circ$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $1$ | | $\pi/3$ | $60^\circ$ | $\sqrt{3}/2$ | $1/2$ | $\sqrt{3}$ | | $\pi/2$ | $90^\circ$ | $1$ | $0$ | 정의되지 않음 | ### 삼각함수 항등식 #### 피타고라스 항등식 - $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ - $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$ - $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$ #### 짝수/홀수 항등식 - $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ (홀수) - $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ (짝수) - $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$ (홀수) #### 주기 항등식 - $\sin(\theta + 2\pi k) = \sin(\theta)$ - $\cos(\theta + 2\pi k) = \cos(\theta)$ - $\tan(\theta + \pi k) = \tan(\theta)$ (여기서 $k$는 정수) #### 여각 항등식 - $\sin(\pi/2 - \theta) = \cos(\theta)$ - $\cos(\pi/2 - \theta) = \sin(\theta)$ - $\tan(\pi/2 - \theta) = \cot(\theta)$ #### 덧셈과 뺄셈 공식 - $\sin(A \pm B) = \sin(A)\cos(B) \pm \cos(A)\sin(B)$ - $\cos(A \pm B) = \cos(A)\cos(B) \mp \sin(A)\sin(B)$ - $\tan(A \pm B) = \frac{\tan(A) \pm \tan(B)}{1 \mp \tan(A)\tan(B)}$ #### 이배각 공식 - $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ - $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)$ - $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}$ #### 반각 공식 - $\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \implies \sin(\theta/2) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}}$ - $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \implies \cos(\theta/2) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}}$ - $\tan(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)}$ #### 곱을 합/차로 변환하는 공식 - $\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ - $\cos(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ - $\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ - $\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ #### 합/차를 곱으로 변환하는 공식 - $\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\sin(A) - \sin(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\cos(A) + \cos(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ ### 삼각함수 그래프 #### 사인 함수 $y = \sin(x)$ - **주기:** $2\pi$ - **치역:** $[-1, 1]$ - **원점 대칭 (홀함수)** #### 코사인 함수 $y = \cos(x)$ - **주기:** $2\pi$ - **치역:** $[-1, 1]$ - **y축 대칭 (짝함수)** #### 탄젠트 함수 $y = \tan(x)$ - **주기:** $\pi$ - **치역:** $(-\infty, \infty)$ - **원점 대칭 (홀함수)** - **점근선:** $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (단, $n$은 정수) ### 사인 법칙과 코사인 법칙 #### 사인 법칙 - $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$ - 여기서 $a, b, c$는 각 $A, B, C$의 대변 길이입니다. #### 코사인 법칙 - $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ - $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$ - $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)$ ### 역삼각함수 #### 기본 정의 - $y = \arcsin(x) \iff x = \sin(y)$ - **정의역:** $[-1, 1]$ - **치역:** $[-\pi/2, \pi/2]$ - $y = \arccos(x) \iff x = \cos(y)$ - **정의역:** $[-1, 1]$ - **치역:** $[0, \pi]$ - $y = \arctan(x) \iff x = \tan(y)$ - **정의역:** $(-\infty, \infty)$ - **치역:** $(-\pi/2, \pi/2)$ #### 역삼각함수 항등식 - $\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$ - $\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2$ (for $x > 0$) ### 쌍곡선 함수 쌍곡선 함수는 지수 함수를 이용하여 정의됩니다. - **쌍곡선 사인 (Hyperbolic Sine):** $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ - **쌍곡선 코사인 (Hyperbolic Cosine):** $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ - **쌍곡선 탄젠트 (Hyperbolic Tangent):** $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ #### 역수 쌍곡선 함수 - **쌍곡선 코시컨트 (Hyperbolic Cosecant):** $\text{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$ - **쌍곡선 시컨트 (Hyperbolic Secant):** $\text{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}$ - **쌍곡선 코탄젠트 (Hyperbolic Cotangent):** $\coth(x) = \frac{1}{\tanh(x)}$ #### 쌍곡선 항등식 - $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ (피타고라스 항등식과 유사) - $1 - \tanh^2(x) = \text{sech}^2(x)$ - $\coth^2(x) - 1 = \text{csch}^2(x)$ #### 덧셈 공식 - $\sinh(x+y) = \sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y)$ - $\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y)$ ### 역쌍곡선 함수 역쌍곡선 함수는 자연 로그를 이용하여 정의됩니다. - **역쌍곡선 사인 (Area Hyperbolic Sine):** $\text{arsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ - **역쌍곡선 코사인 (Area Hyperbolic Cosine):** $\text{arccosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$, ($x \ge 1$) - **역쌍곡선 탄젠트 (Area Hyperbolic Tangent):** $\text{arctanh}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, ($-1