Геометрія 10 клас: Кути

Cheatsheet Content

### Вступ до Геометрії 10 класу Цей збірник формул та прикладів охоплює ключові теми з геометрії 10 класу, що стосуються кутів, відстаней та перпендикулярності у просторі. Він допоможе вам підготуватися до контрольної роботи. **Підручник:** О.С. Істер ### Перпендикулярність прямих і площин у просторі (17 годин) #### 1. Перпендикулярність прямих у просторі - Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює $90^\circ$. - Якщо прямі мимобіжні, то кут між ними визначається як кут між паралельними їм прямими, що перетинаються. #### 2. Перпендикулярність прямої і площини - **Означення:** Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. - **Ознака перпендикулярності прямої і площини:** Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до цієї площини. - **Теорема про три перпендикуляри:** Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки. **Приклад:** Дано куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. - Пряма $AA_1$ перпендикулярна до площини $ABCD$. - $AA_1 \perp AB$, $AA_1 \perp AD$. - За теоремою про три перпендикуляри, якщо $DH \perp AC$ (де $DH$ - проекція похилої $D_1H$ на площину $ABCD$), то $D_1H \perp AC$. ### Двогранний кут. Перпендикулярність площин #### 1. Двогранний кут - **Означення:** Двогранний кут - це фігура, утворена двома півплощинами, що мають спільну межу (ребро). - **Лінійний кут двогранного кута:** Кут між двома променями, проведеними в цих півплощинах перпендикулярно до ребра з однієї точки на ребрі. Величина лінійного кута є мірою двогранного кута. #### 2. Перпендикулярність площин - **Означення:** Дві площини називаються перпендикулярними, якщо двогранний кут між ними дорівнює $90^\circ$. - **Ознака перпендикулярності площин:** Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні. **Приклад:** У піраміді $SABC$ грань $ABC$ лежить у площині $P_1$, а грань $SBC$ - у площині $P_2$. Ребро $BC$ є спільною межею. - Щоб знайти двогранний кут при ребрі $BC$, потрібно провести $AM \perp BC$ у площині $ABC$ та $SM \perp BC$ у площині $SBC$. - Кут $AMS$ буде лінійним кутом двогранного кута при ребрі $BC$. ### Вимірювання відстаней у просторі #### 1. Відстань від точки до площини - Відстань від точки до площини - це довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину. #### 2. Відстань від прямої до площини - Якщо пряма паралельна площині, то відстань від прямої до площини - це відстань від будь-якої точки прямої до площини. #### 3. Відстань між площинами - Якщо площини паралельні, то відстань між ними - це відстань від будь-якої точки однієї площини до іншої. #### 4. Відстань між мимобіжними прямими - Відстань між мимобіжними прямими - це довжина спільного перпендикуляра цих прямих. - **Метод:** Провести через одну з прямих площину, паралельну іншій прямій. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від будь-якої точки другої прямої до цієї площини. **Приклад:** Знайти відстань від точки $A$ до площини $\alpha$. 1. Знайти проекцію $A'$ точки $A$ на площину $\alpha$. 2. Відстань дорівнює довжині відрізка $AA'$. ### Вимірювання кутів у просторі #### 1. Кут між прямими - Кут між прямими, що перетинаються, - це найменший з кутів, утворених ними. - Кут між мимобіжними прямими - це кут між однією з цих прямих і прямою, що перетинає її і паралельна іншій мимобіжній прямій. #### 2. Кут між прямою і площиною - Кут між прямою і площиною - це кут між цією прямою та її проекцією на площину. - Якщо пряма перпендикулярна до площини, кут дорівнює $90^\circ$. Якщо пряма паралельна площині або лежить у ній, кут дорівнює $0^\circ$. #### 3. Кут між площинами - Кут між площинами - це лінійний кут відповідного двогранного кута. **Приклад:** Знайти кут між діагоналлю куба $A_1C$ та площиною $ABCD$. 1. Проекція діагоналі $A_1C$ на площину $ABCD$ - це діагональ $AC$. 2. Кут між $A_1C$ та площиною $ABCD$ - це кут $\angle A_1CA$. 3. У прямокутному трикутнику $A_1AC$, $\tan(\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC}$. ### Підготовка до контрольної роботи №4 "Перпендикулярність прямих і площин у просторі" - **Повторіть:** - Означення перпендикулярності прямих, прямої та площини, площин. - Теорема про три перпендикуляри. - Означення двогранного кута та його лінійного кута. - Формули для знаходження відстаней (точка-площина, пряма-площина, між мимобіжними прямими). - Формули для знаходження кутів (між прямими, прямою-площиною, між площинами). - **Розв'яжіть задачі:** - На побудову перпендикулярів. - На обчислення відстаней. - На обчислення кутів. - Задачі з використанням теореми про три перпендикуляри.