Wis LE1-2 Differentieren

Cheatsheet Content

### Differentiëren: Introductie Differentiëren wordt gebruikt om inzicht te krijgen in hoe snel iets toe- of afneemt en hoe die verandering zelf verandert. Het is een krachtig instrument in de wiskunde met vele praktische toepassingen, vooral in de milieuwetenschappen. ### Gemiddelde Snelheid en Helling - De **gemiddelde snelheid** of **gemiddelde helling** van een functie $f(x)$ tussen twee punten $(x_A, f(x_A))$ en $(x_B, f(x_B))$ wordt gegeven door het differentiequotiënt: $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_B) - f(x_A)}{x_B - x_A} $$ - Voor lineaire functies $f(x) = ax + b$ is de helling constant en gelijk aan $a$. ### Momentane Snelheid en Differentiaalquotiënt - De **momentane snelheid** of de helling op een specifiek punt wordt bepaald door het differentiaalquotiënt wanneer de afstand tussen de twee punten infinitesimaal klein wordt (limiet): $$ \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ - Dit wordt de **afgeleide functie** $f'(x)$ genoemd. ### De Machtsregel - Voor functies van de vorm $f(x) = x^n$, geldt de afgeleide: $$ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$ - Deze regel is geldig voor alle reële waarden van $n$, inclusief negatieve en gebroken exponenten. ### Differentieerregels voor Combinaties van Functies - **Somregel:** Als $s(x) = f(x) + g(x)$, dan is $s'(x) = f'(x) + g'(x)$. - **Constante factorregel:** Als $g(x) = c \cdot f(x)$, dan is $g'(x) = c \cdot f'(x)$. - **Productregel:** Als $p(x) = f(x) \cdot g(x)$, dan is $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$. - **Quotiëntregel:** Als $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, dan is $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$. - **Kettingregel:** Als $k(x) = g(f(x))$, dan is $k'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$. Dit kan ook genoteerd worden als $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ waarbij $u = f(x)$. ### Stappenplan voor Analyse van Functies (Stijgen/Dalen, Extrema, Buigpunten) Volg deze stappen om het gedrag van een functie $f(x)$ te analyseren: #### 1. Bepaal Stijgen en Dalen - **Stap 1a:** Bereken de eerste afgeleide $f'(x)$. - **Stap 1b:** Los $f'(x) = 0$ op om de kritieke punten te vinden. - **Stap 1c:** Maak een tekenschema van $f'(x)$ door waarden te testen in de intervallen tussen de kritieke punten. - Als $f'(x) > 0$, dan is de functie stijgend. - Als $f'(x) 0$, dan is er een **lokaal minimum** bij $x_0$. - Als $f''(x_0) 0$, dan is de functie convex (hol). - Als $f''(x) 0$ (stijgend). - Voor $x > 0$, $f'(x) 0$ (convex). - Voor $-\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}$, $f''(x) > 0$ (convex). - Conclusie: Buigpunten bij $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ en $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. ### Differentieerbaarheid - Een functie is **differentieerbaar** in een punt als de afgeleide in dat punt bestaat. - Sommige functies, zoals $|x|$ of $\sqrt{x}$ in $x=0$, zijn niet overal differentieerbaar. ### Logaritmen: Introductie - Logaritmen en exponentiële functies zijn inverse functies. - Als $f(x) = g^x$, dan is de inverse functie $l(y) = \log_g(y)$. - $\log_g(x)$ is de exponent $y$ waarvoor geldt $g^y = x$. ### Eigenschappen van Logaritmen - **Productregel:** $\log_g(a) + \log_g(b) = \log_g(ab)$ - **Quotiëntregel:** $\log_g(a) - \log_g(b) = \log_g\left(\frac{a}{b}\right)$ - **Machtsregel:** $\log_g(a^n) = n \cdot \log_g(a)$ - **Basisveranderingsregel:** $\log_g(a) = \frac{\log_p(a)}{\log_p(g)}$ - **Inverse eigenschappen:** $g^{\log_g(x)} = x$ en $\log_g(g^x) = x$. ### Grafieken van Logaritmische Functies - De grafiek van $f(x) = g^x$ en $l(x) = \log_g(x)$ zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de lijn $y=x$. - Voor $g > 1$: exponentiële functies zijn stijgend, logaritmische functies zijn stijgend. - Voor $0 ### Logaritmische Schaalverdelingen - Logaritmische schalen worden gebruikt om grootheden weer te geven die een zeer groot bereik hebben (bijv. Richter schaal voor aardbevingen, pH-waarde). - **Enkellogaritmische schaal:** één as heeft een logaritmische schaal. - **Dubbellogaritmische schaal:** beide assen hebben een logaritmische schaal. Een functie die op een dubbellogaritmische schaal een rechte lijn vormt, heeft de vorm $y = c \cdot x^a$. ### Exponentiële Groei en het Getal $e$ - De afgeleide van $f(x) = g^x$ is $f'(x) = f'(0) \cdot g^x$. - Het getal $e \approx 2.71828$ is de unieke basis waarvoor $f'(0) = 1$. - Voor $f(x) = e^x$ geldt $f'(x) = e^x$. - Een exponentiële groeifunctie $f(t) = b \cdot g^t$ kan ook geschreven worden als $f(t) = b \cdot e^{ct}$, waarbij $c = \ln(g)$. - De afgeleide van $f(t) = b \cdot e^{ct}$ is $f'(t) = c \cdot b \cdot e^{ct} = c \cdot f(t)$. ### Natuurlijke Logaritme (ln) - De natuurlijke logaritme is de logaritme met grondtal $e$: $\ln(x) = \log_e(x)$. - Voor $f(x) = \ln(x)$ geldt $f'(x) = \frac{1}{x}$. - Voor $f(x) = \log_g(x)$ geldt $f'(x) = \frac{1}{\ln(g) \cdot x}$. ### Berekeningen met de Afgeleiden van $e^x$ en $\ln(x)$ - De eerder genoemde differentieerregels (som-, product-, quotiënt- en kettingregel) zijn ook van toepassing op functies met $e^x$ en $\ln(x)$. - Voorbeelden: - $f(x) = e^{ax} \implies f'(x) = a \cdot e^{ax}$ (via kettingregel). - $f(x) = \ln(ax) \implies f'(x) = \frac{1}{x}$.