Funções Essenciais

Cheatsheet Content

### Introdução às Funções Essenciais Este cheatsheet abrange as principais funções matemáticas estudadas no ensino superior, fornecendo definições, propriedades, gráficos e exemplos de cada uma. O objetivo é ser um guia completo e conciso para revisão e consulta rápida. As funções são relações entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto (domínio) corresponde a exatamente um elemento do segundo conjunto (contradomínio). Elas são a base para a modelagem de fenômenos em diversas áreas da ciência e engenharia. ### Função Linear Uma função linear é da forma $f(x) = ax + b$, onde $a$ e $b$ são constantes reais e $a \neq 0$. - **Inclinação (Coeficiente Angular - $a$):** Determina a inclinação da reta. Se $a > 0$, a função é crescente; se $a #### Casos Especiais - **Função Identidade:** $f(x) = x$. Inclinação $a=1$, interseção $b=0$. - **Função Constante:** $f(x) = c$. Embora não seja estritamente linear (pois $a=0$), seu gráfico é uma reta horizontal. ### Função Quadrática Uma função quadrática é da forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, onde $a, b, c$ são constantes reais e $a \neq 0$. - **Parábola:** O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. - Se $a > 0$, a parábola abre para cima (concavidade voltada para cima). - Se $a 0$, $Im = [y_V, \infty)$. - Se $a 0$) ou máximo (se $a 0$: Duas raízes reais distintas. - $\Delta = 0$: Uma raiz real (ou duas raízes reais iguais). - $\Delta #### Forma Fatorada Se a função quadrática tiver raízes $x_1$ e $x_2$, ela pode ser escrita como $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. ### Função Modular Uma função modular envolve o valor absoluto de uma expressão. A função mais básica é $f(x) = |x|$. - **Definição de Módulo:** $$|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0 \\ -x, & \text{se } x #### Funções Modulares Mais Complexas Para $f(x) = |ax + b|$ ou $f(x) = |ax^2 + bx + c|$, o gráfico é obtido refletindo a parte negativa da função original em relação ao eixo x. - **Exemplo:** $f(x) = |x-2|$ - Se $x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$, então $f(x) = x-2$. - Se $x-2 ### Função Exponencial Uma função exponencial é da forma $f(x) = a^x$, onde $a$ é a base ($a > 0$ e $a \neq 1$) e $x$ é o expoente. - **Base $a$:** - Se $a > 1$, a função é crescente. - Se $0 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. - $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ - $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$ - $(a^x)^y = a^{xy}$ - $(ab)^x = a^x b^x$ - **Domínio:** $D = \mathbb{R}$. - **Imagem:** $Im = (0, \infty)$ (todos os números reais positivos). - **Assíntota Horizontal:** O eixo x ($y=0$) é uma assíntota horizontal. #### Gráfico #### Número de Euler ($e$) A base mais importante para funções exponenciais é o número de Euler, $e \approx 2.71828$. $f(x) = e^x$ é a função exponencial natural. - **Aplicações:** Crescimento populacional, decaimento radioativo, juros compostos. ### Função Logarítmica A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Se $y = a^x$, então $x = \log_a y$. Portanto, $f(x) = \log_a x$, onde $a$ é a base ($a > 0$ e $a \neq 1$). - **Definição:** $\log_a x = y \iff a^y = x$. - **Base $a$:** - Se $a > 1$, a função é crescente. - Se $0 #### Logaritmos Especiais - **Logaritmo Natural (ln):** Base $e$. $\ln x = \log_e x$. - **Logaritmo Decimal (log):** Base 10. $\log x = \log_{10} x$. #### Relação Exponencial-Logarítmica - $a^{\log_a x} = x$ - $\log_a (a^x) = x$ ### Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são baseadas nas relações entre os lados de um triângulo retângulo e os ângulos. São periódicas. #### 1. Seno ($f(x) = \sin x$) - **Definição:** Em um triângulo retângulo, seno é a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa. No círculo trigonométrico, é a coordenada y do ponto. - **Domínio:** $D = \mathbb{R}$. - **Imagem:** $Im = [-1, 1]$. - **Período:** $2\pi$. - **Raízes:** $x = n\pi$, para $n \in \mathbb{Z}$. - **Simetria:** Função ímpar ($\sin(-x) = -\sin x$). #### 2. Cosseno ($f(x) = \cos x$) - **Definição:** Em um triângulo retângulo, cosseno é a razão entre o lado adjacente ao ângulo e a hipotenusa. No círculo trigonométrico, é a coordenada x do ponto. - **Domínio:** $D = \mathbb{R}$. - **Imagem:** $Im = [-1, 1]$. - **Período:** $2\pi$. - **Raízes:** $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, para $n \in \mathbb{Z}$. - **Simetria:** Função par ($\cos(-x) = \cos x$). #### 3. Tangente ($f(x) = \tan x$) - **Definição:** $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. - **Domínio:** $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}\}$. - **Imagem:** $Im = \mathbb{R}$. - **Período:** $\pi$. - **Raízes:** $x = n\pi$, para $n \in \mathbb{Z}$. - **Simetria:** Função ímpar ($\tan(-x) = -\tan x$). - **Assíntotas Verticais:** $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. #### Gráficos #### 4. Cotangente ($f(x) = \cot x$) - **Definição:** $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$. - **Domínio:** $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}\}$. - **Imagem:** $Im = \mathbb{R}$. - **Período:** $\pi$. - **Assíntotas Verticais:** $x = n\pi$. #### 5. Secante ($f(x) = \sec x$) - **Definição:** $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. - **Domínio:** $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}\}$. - **Imagem:** $Im = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. - **Período:** $2\pi$. - **Assíntotas Verticais:** $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$. #### 6. Cossecante ($f(x) = \csc x$) - **Definição:** $\csc x = \frac{1}{\sin x}$. - **Domínio:** $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}\}$. - **Imagem:** $Im = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. - **Período:** $2\pi$. - **Assíntotas Verticais:** $x = n\pi$. #### Identidades Trigonométricas Fundamentais 1. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 2. $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ 3. $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ #### Fórmulas de Adição e Subtração - $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ - $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ - $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ #### Fórmulas do Ângulo Duplo - $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ - $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ - $\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$ #### Funções Trigonométricas Inversas (Arco Funções) - **Arcoseno ($\arcsin x$ ou $\sin^{-1} x$):** - Domínio: $[-1, 1]$ - Imagem: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ - **Arcocosseno ($\arccos x$ ou $\cos^{-1} x$):** - Domínio: $[-1, 1]$ - Imagem: $[0, \pi]$ - **Arcotangente ($\arctan x$ ou $\tan^{-1} x$):** - Domínio: $\mathbb{R}$ - Imagem: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ #### Formas Complexas das Funções Trigonométricas (Fórmula de Euler) A fórmula de Euler estabelece uma conexão fundamental entre as funções trigonométricas e a exponencial complexa: $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$ A partir dela, podemos derivar: - **Seno:** $\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$ - **Cosseno:** $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ - **Tangente:** $\tan x = \frac{1}{i} \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}$ Estas formas são essenciais em análise de Fourier e engenharia elétrica. ### Funções Hiperbólicas As funções hiperbólicas são análogas às funções trigonométricas circulares, mas são definidas em termos da hipérbole unitária $x^2 - y^2 = 1$ e da exponencial. #### 1. Seno Hiperbólico ($\sinh x$) - **Definição:** $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ - **Domínio:** $D = \mathbb{R}$ - **Imagem:** $Im = \mathbb{R}$ - **Simetria:** Função ímpar ($\sinh(-x) = -\sinh x$). #### 2. Cosseno Hiperbólico ($\cosh x$) - **Definição:** $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ - **Domínio:** $D = \mathbb{R}$ - **Imagem:** $Im = [1, \infty)$ - **Simetria:** Função par ($\cosh(-x) = \cosh x$). #### 3. Tangente Hiperbólica ($\tanh x$) - **Definição:** $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ - **Domínio:** $D = \mathbb{R}$ - **Imagem:** $Im = (-1, 1)$ - **Simetria:** Função ímpar ($\tanh(-x) = -\tanh x$). - **Assíntotas Horizontais:** $y=1$ e $y=-1$. #### Gráficos #### 4. Cotangente Hiperbólica ($\coth x$) - **Definição:** $\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{1}{\tanh x}$ - **Domínio:** $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ - **Imagem:** $Im = (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ - **Assíntotas Horizontais:** $y=1$ e $y=-1$. - **Assíntota Vertical:** $x=0$. #### 5. Secante Hiperbólica ($\text{sech } x$) - **Definição:** $\text{sech } x = \frac{1}{\cosh x}$ - **Domínio:** $D = \mathbb{R}$ - **Imagem:** $Im = (0, 1]$ #### 6. Cossecante Hiperbólica ($\text{csch } x$) - **Definição:** $\text{csch } x = \frac{1}{\sinh x}$ - **Domínio:** $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ - **Imagem:** $Im = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ #### Identidades Hiperbólicas Fundamentais 1. $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ 2. $1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$ 3. $\coth^2 x - 1 = \text{csch}^2 x$ #### Relação com as Funções Trigonométricas As funções hiperbólicas podem ser expressas usando argumentos imaginários das funções trigonométricas: - $\sinh x = -i \sin(ix)$ - $\cosh x = \cos(ix)$ - $\tanh x = -i \tan(ix)$ ### Funções Compostas A composição de funções ocorre quando a saída de uma função se torna a entrada de outra função. Seja $f$ e $g$ duas funções. A função composta de $f$ com $g$, denotada por $(f \circ g)(x)$, é definida como $f(g(x))$. - **Ordem Importante:** $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$ em geral. - **Domínio da Composta:** O domínio de $(f \circ g)(x)$ consiste em todos os valores de $x$ no domínio de $g$ tais que $g(x)$ está no domínio de $f$. $D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$. #### Exemplo Se $f(x) = x^2$ e $g(x) = x+1$: - $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$. - $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$. #### Propriedades - **Associatividade:** $(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$. - **Função Inversa:** Se $f$ tem uma função inversa $f^{-1}$, então $(f \circ f^{-1})(x) = x$ e $(f^{-1} \circ f)(x) = x$. - A função identidade é o elemento neutro para a composição. #### Aplicações Composição de funções é fundamental em cálculo (regra da cadeia para derivadas), modelagem de sistemas complexos e programação. ### Funções Inversas Uma função $f$ tem uma função inversa, denotada por $f^{-1}$, se e somente se $f$ é uma **função bijetora** (injetora e sobrejetora). - **Função Injetora (Um-a-um):** Cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio. Graficamente, passa no Teste da Linha Horizontal (qualquer linha horizontal intercepta o gráfico no máximo uma vez). - **Função Sobrejetora:** Todo elemento no contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. #### Propriedades - Se $(a, b)$ é um ponto no gráfico de $f$, então $(b, a)$ é um ponto no gráfico de $f^{-1}$. - O domínio de $f$ é a imagem de $f^{-1}$, e a imagem de $f$ é o domínio de $f^{-1}$. - $(f \circ f^{-1})(x) = x$ para todo $x$ no domínio de $f^{-1}$. - $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ para todo $x$ no domínio de $f$. - O gráfico de $f^{-1}$ é um reflexo do gráfico de $f$ sobre a linha $y=x$. #### Como Encontrar a Função Inversa 1. Verifique se a função é bijetora (ou restrinja o domínio para torná-la bijetora). 2. Substitua $f(x)$ por $y$. 3. Troque $x$ por $y$ e $y$ por $x$. 4. Resolva a nova equação para $y$. 5. Substitua $y$ por $f^{-1}(x)$. #### Exemplo Se $f(x) = 2x + 3$: 1. $y = 2x + 3$ 2. $x = 2y + 3$ 3. $x - 3 = 2y$ 4. $y = \frac{x-3}{2}$ 5. $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ #### Exemplos Notáveis - As funções logarítmicas são as inversas das funções exponenciais. - As funções trigonométricas inversas (arcosseno, arcocosseno, etc.) são as inversas das funções trigonométricas (com domínios restritos). ### Transformações de Funções As transformações permitem obter o gráfico de uma nova função a partir de uma função básica, sem precisar plotar pontos. #### 1. Translações (Deslocamentos) - **Vertical:** - $f(x) + c$: Desloca o gráfico de $f(x)$ $c$ unidades para cima. - $f(x) - c$: Desloca o gráfico de $f(x)$ $c$ unidades para baixo. - **Horizontal:** - $f(x + c)$: Desloca o gráfico de $f(x)$ $c$ unidades para a esquerda. - $f(x - c)$: Desloca o gráfico de $f(x)$ $c$ unidades para a direita. #### 2. Reflexões - **Eixo x:** $-f(x)$: Reflete o gráfico de $f(x)$ em torno do eixo x. - **Eixo y:** $f(-x)$: Reflete o gráfico de $f(x)$ em torno do eixo y. - **Origem:** $-f(-x)$: Reflete o gráfico em torno da origem (equivalente a duas reflexões). - **Linha $y=x$:** $f^{-1}(x)$: Reflete o gráfico em torno da linha $y=x$. #### 3. Dilatações e Contrações (Escalonamento) - **Vertical:** - $c \cdot f(x)$, com $c > 1$: Estica o gráfico verticalmente por um fator de $c$. - $c \cdot f(x)$, com $0 1$: Comprime o gráfico horizontalmente por um fator de $1/c$. - $f(c \cdot x)$, com $0 ### Funções Definidas por Partes Uma função definida por partes (ou seccionada) é aquela que é definida por múltiplas expressões, cada uma aplicada a um subdomínio diferente. - **Exemplo:** A própria função modular é uma função por partes. $$f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0 \\ -x, & \text{se } x #### Funções de Teto e Piso - **Função Piso ($\lfloor x \rfloor$):** Retorna o maior inteiro menor ou igual a $x$. - Ex: $\lfloor 3.7 \rfloor = 3$, $\lfloor -2.3 \rfloor = -3$. - **Função Teto ($\lceil x \rceil$):** Retorna o menor inteiro maior ou igual a $x$. - Ex: $\lceil 3.7 \rceil = 4$, $\lceil -2.3 \rceil = -2$. São exemplos clássicos de funções por partes com descontinuidades de salto. ### Operações com Funções Dadas duas funções $f(x)$ e $g(x)$, podemos realizar as seguintes operações: #### 1. Soma $(f+g)(x)$ - **Definição:** $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ - **Domínio:** $D_{f+g} = D_f \cap D_g$ (interseção dos domínios de $f$ e $g$). #### 2. Subtração $(f-g)(x)$ - **Definição:** $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$ - **Domínio:** $D_{f-g} = D_f \cap D_g$. #### 3. Multiplicação $(f \cdot g)(x)$ - **Definição:** $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ - **Domínio:** $D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$. #### 4. Divisão $(\frac{f}{g})(x)$ - **Definição:** $(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ - **Domínio:** $D_{\frac{f}{g}} = \{x \in D_f \cap D_g \mid g(x) \neq 0\}$. #### Exemplo Se $f(x) = x^2$ e $g(x) = x-1$: - $(f+g)(x) = x^2 + x - 1$ - $(f-g)(x) = x^2 - (x-1) = x^2 - x + 1$ - $(f \cdot g)(x) = x^2(x-1) = x^3 - x^2$ - $(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}$, com $x \neq 1$. ### Funções Polinomiais Uma função polinomial é uma função da forma $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, onde $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ são constantes reais (coeficientes) e $n$ é um inteiro não negativo chamado grau do polinômio ($a_n \neq 0$). - **Grau:** O maior expoente de $x$ com coeficiente não nulo. - **Termo Dominante:** $a_n x^n$. - **Termo Constante:** $a_0$. #### Tipos Específicos - **Grau 0:** Função constante ($P(x) = a_0$). - **Grau 1:** Função linear ($P(x) = a_1 x + a_0$). - **Grau 2:** Função quadrática ($P(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$). - **Grau 3:** Função cúbica ($P(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$). #### Propriedades - **Domínio:** $D = \mathbb{R}$. - **Continuidade:** Todas as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. - **Suavidade:** São infinitamente diferenciáveis. - **Comportamento de Extrema:** O comportamento de $P(x)$ quando $x \to \pm \infty$ é determinado pelo termo dominante $a_n x^n$. - Se $n$ é par, $P(x) \to \infty$ se $a_n > 0$, ou $P(x) \to -\infty$ se $a_n 0$ e $x \to \infty$, e $P(x) \to -\infty$ se $a_n > 0$ e $x \to -\infty$. - **Número de Raízes:** Um polinômio de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes reais. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, ele tem exatamente $n$ raízes complexas (contando multiplicidade). #### Raízes de Polinômios - **Teorema do Fator:** Se $x=c$ é uma raiz de $P(x)$, então $(x-c)$ é um fator de $P(x)$. - **Teorema do Resto:** Se um polinômio $P(x)$ é dividido por $(x-c)$, o resto é $P(c)$. - **Divisão Polinomial:** Pode-se usar divisão longa ou a regra de Ruffini para dividir polinômios. ### Funções Racionais Uma função racional é uma função que pode ser escrita como a razão de dois polinômios, $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, onde $P(x)$ e $Q(x)$ são polinômios e $Q(x) \neq 0$. - **Domínio:** $D = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$. - **Descontinuidades:** Ocorrem nos zeros do denominador $Q(x)$. - **Assíntotas Verticais:** Se $Q(x) = 0$ em $x=c$ e $P(c) \neq 0$, então há uma assíntota vertical em $x=c$. - **Furos (Buracos):** Se $Q(x) = 0$ em $x=c$ e $P(c) = 0$, e $(x-c)$ é um fator comum de $P(x)$ e $Q(x)$, então há um furo no gráfico em $x=c$. #### Assíntotas Horizontais O comportamento de $f(x)$ quando $x \to \pm \infty$ é determinado pelo grau dos polinômios $P(x)$ (grau $n$) e $Q(x)$ (grau $m$). - Se $n m$: Não há assíntota horizontal. Pode haver uma **assíntota oblíqua** (se $n = m+1$) ou nenhuma assíntota linear (se $n > m+1$). #### Assíntotas Oblíquas (Inclinadas) Ocorrem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador ($n = m+1$). A equação da assíntota oblíqua é o quociente da divisão de $P(x)$ por $Q(x)$, ignorando o resto. #### Exemplo $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ - Domínio: $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$. - Assíntota Vertical: $x=2$. - Assíntota Oblíqua: Dividindo $x^2 - 1$ por $x - 2$: $(x^2 - 1) = (x-2)(x+2) + 3$. Então $f(x) = x+2 + \frac{3}{x-2}$. A assíntota oblíqua é $y = x+2$. ### Conclusão e Resumo Este cheatsheet forneceu uma visão geral completa das funções essenciais em matemática: linear, quadrática, modular, exponencial, logarítmica, trigonométricas (incluindo as inversas e formas complexas), hiperbólicas, compostas, inversas, transformações de funções, funções por partes, polinomiais e racionais. Dominar estas funções é crucial para o sucesso em cursos de cálculo, álgebra linear, equações diferenciais e várias disciplinas científicas e de engenharia. Cada tipo de função possui características únicas de domínio, imagem, simetria e comportamento gráfico, que são fundamentais para a análise e resolução de problemas. Lembre-se de praticar a identificação de cada tipo de função, a determinação de suas propriedades chave (domínio, imagem, raízes, assíntotas) e a construção de seus gráficos. A compreensão profunda desses conceitos é a base para tópicos mais avançados.