Normes sur R^n

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Espace Vectoriel Normé $R^n$ Pour $n \in N^*$, $R^n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_k \in R \text{ pour tout } 1 \le k \le n\}$. Opérations: Addition: $x + y = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n)$ Multiplication scalaire: $\lambda x = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$ pour $\lambda \in R$ Définition d'une Norme Une norme sur $R^n$ est une application $\| \cdot \| : R^n \to R : x \mapsto \|x\|$ telle que: $\|x\| > 0$ pour tout $x \ne 0 \in R^n$ (et $\|0\| = 0$). $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$ pour tout $x \in R^n$ et tout $\lambda \in R$. $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$ pour tout $x, y \in R^n$ (inégalité triangulaire). Conséquence de l'inégalité triangulaire: $|\|x\| - \|y\|| \le \|x - y\|$ pour tout $x, y \in R^n$. Exemples de Normes Norme 1 (Manhattan): $\|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k|$ Inégalité triangulaire: $|a+b| \le |a| + |b|$. Norme Infini (Maximum): $\|x\|_\infty = \max_{1 \le k \le n} |x_k|$ Inégalité triangulaire: $\|x + y\|_\infty = |x_j + y_j| \le |x_j| + |y_j| \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty$. Norme 2 (Euclidienne): $\|x\|_2 = \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)^{1/2}$ Représente la "longueur" usuelle. Dépend du produit scalaire usuel $ \langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k y_k $. Inégalité de Cauchy-Schwarz: $|\langle x, y \rangle| \le \|x\|_2 \|y\|_2$. Preuve: $\|x + \lambda y\|_2^2 = \|x\|_2^2 + \lambda^2 \|y\|_2^2 + 2\lambda \langle x, y \rangle \ge 0$. Le discriminant de ce polynôme du second degré en $\lambda$ doit être $\le 0$, d'où $4\langle x, y \rangle^2 - 4\|x\|_2^2 \|y\|_2^2 \le 0$. Inégalité triangulaire: $\|x + y\|_2^2 = \|x\|_2^2 + \|y\|_2^2 + 2\langle x, y \rangle \le \|x\|_2^2 + \|y\|_2^2 + 2\|x\|_2\|y\|_2 = (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2$. Norme p: $\|x\|_p = \left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}$ pour $1 \le p Convergence des Suites dans $R^n$ Une suite $(x_k)_{k \ge 1} \subset R^n$ converge vers $x \in R^n$ pour la norme $\| \cdot \|$ si: $\forall \epsilon > 0, \exists M \in R : k > M \Rightarrow \|x_k - x\| Unicité de la limite: Si $x$ et $x'$ sont des limites de $(x_k)$, alors $\|x - x'\| \le \|x - x_k\| + \|x' - x_k\|$. En passant à la limite, $\|x - x'\| = 0 \Rightarrow x = x'$. Convergence avec la norme $\| \cdot \|_\infty$: $x_k \to x$ si et seulement si chaque composante $x_k^j \to x^j$ pour $1 \le j \le n$. Si $x_k \to x$ (pour $\| \cdot \|_\infty$), alors $\max_{1 \le j \le n} |x_k^j - x^j| Si $x_k^j \to x^j$ pour chaque $j$, alors pour tout $\epsilon > 0$, $\exists M_j : k \ge M_j \Rightarrow |x_k^j - x^j| Suites Bornées dans $R^n$ Une suite $(x_k)_{k \ge 1} \subset R^n$ est bornée pour la norme $\| \cdot \|$ s'il existe $M \in R$ tel que $\|x_k\| \le M$ pour tout $k \ge 1$. Bornitude avec la norme $\| \cdot \|_\infty$: $(x_k)_{k \ge 1}$ est bornée si et seulement si chacune des suites de composantes $(x_k^j)_{k \ge 1}$ est bornée pour $1 \le j \le n$. Normes Équivalentes Deux normes $\| \cdot \|_a$ et $\| \cdot \|_b$ sont équivalentes s'il existe $M_1, M_2 > 0$ tels que: $\|x\|_a \le M_1\|x\|_b \quad \text{et} \quad \|x\|_b \le M_2\|x\|_a \quad \text{pour tout } x \in R^n$. Exemple d'équivalence: Les normes $\| \cdot \|_1$ et $\| \cdot \|_\infty$ sont équivalentes. $\|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k| \le \sum_{k=1}^n \max_{1 \le j \le n} |x_j| = n\|x\|_\infty$. (Donc $M_1 = n$) $\|x\|_\infty = \max_{1 \le j \le n} |x_j| \le \sum_{k=1}^n |x_k| = \|x\|_1$. (Donc $M_2 = 1$) Conséquence de l'équivalence: Si deux normes sont équivalentes, la notion de convergence ou de bornitude d'une suite est indépendante du choix de ces normes. Preuve (bornée): Si $(x_k)$ est bornée pour $\| \cdot \|_a$, alors $\|x_k\|_a \le R$. Donc $\|x_k\|_b \le M_2 \|x_k\|_a \le M_2 R$. Preuve (convergente): Si $x_k \to x$ pour $\| \cdot \|_a$, alors $\|x_k - x\|_a Théorème de Bolzano-Weierstrass Une sous-suite de $(x_k)_{k \ge 1}$ est de la forme $(x_{f(j)})_{j \ge 1}$ où $f : N^* \to N^*$ est strictement croissante. Théorème: Toute suite bornée dans $R^n$ (pour la norme $\| \cdot \|_\infty$) admet une sous-suite convergente (pour la norme $\| \cdot \|_\infty$). Preuve (esquisse): Par le cas $n=1$, chaque composante $(x_k^j)_k$ est bornée et admet une sous-suite convergente. On extrait itérativement $n$ sous-suites pour que toutes les composantes convergent. Toutes les Normes sur $R^n$ sont Équivalentes Théorème: Toutes les normes sur $R^n$ sont équivalentes. Il suffit de montrer que toute norme $\| \cdot \|$ est équivalente à $\| \cdot \|_\infty$. Partie 1: $\|x\| \le M_1\|x\|_\infty$. Soit $x = \sum_{k=1}^n x_k e_k$, où $(e_k)$ est la base canonique. $\|x\| = \left\|\sum_{k=1}^n x_k e_k\right\| \le \sum_{k=1}^n |x_k| \|e_k\| \le \left(\sum_{k=1}^n \|e_k\|\right) \max_{1 \le j \le n} |x_j| = C_1 \|x\|_\infty$. On pose $M_1 = C_1 = \sum_{k=1}^n \|e_k\|$. Partie 2: $\|x\|_\infty \le M_2\|x\|$. Ceci revient à montrer que $m = \inf_{x \in R^n, x \ne 0} \frac{\|x\|}{\|x\|_\infty} = \inf_{\|y\|_\infty=1} \|y\| > 0$. S'il existait une suite $(y_k)$ telle que $\|y_k\|_\infty = 1$ et $\|y_k\| \to 0$. La suite $(y_k)$ est bornée pour $\| \cdot \|_\infty$. Par Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite $(y_{f(j)})$ qui converge vers un certain $y$ pour $\| \cdot \|_\infty$. Comme $\|y_{f(j)}\|_\infty = 1$ pour tout $j$, on a $\|y\|_\infty = 1$, donc $y \ne 0$. D'autre part, comme $\|y_{f(j)}\| \to 0$, et par la partie 1, $|\|y_{f(j)}\| - \|y\|| \le \|y_{f(j)} - y\| \le M_1 \|y_{f(j)} - y\|_\infty \to 0$. Donc $\|y\| = 0$. Ceci est une contradiction car $\|y\|_\infty = 1 \Rightarrow y \ne 0$, mais $\|y\| = 0$ implique $y=0$. Donc $m > 0$, et $M_2 = 1/m$. Conclusion: En dimension finie $R^n$, les concepts de convergence et de bornitude sont indépendants de la norme choisie. Une suite converge si et seulement si toutes ses composantes convergent.