Equazioni Diofantee

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### Discussione su Equazioni Diofantee #### 1. Problema Principale Dimostrare che l'equazione diofantea $x^2 + x + 1 = 7^y$ non ha soluzioni intere per $y > 3$. ##### 1.1. Contesto e Preliminari - Il problema deriva dagli esercizi sui capitoli delle equazioni di Pell. - Si cercano soluzioni intere $x, y$ con $y > 3$. ### Approccio con Interi di Eisenstein #### 2.1. Trasformazione dell'Equazione - Si lavora nell'anello degli interi di Eisenstein $\mathbb{Z}[\omega]$, dove $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ (una radice cubica dell'unità). - Proprietà di $\omega$: $\omega^2 + \omega + 1 = 0$, $\omega\bar{\omega} = 1$, $\omega + \bar{\omega} = -1$. - L'equazione $x^2 + x + 1 = 7^y$ può essere riscritta come: - $(x - \omega)(x - \bar{\omega}) = 7^y$ - Il numero 7 può essere fattorizzato in $\mathbb{Z}[\omega]$: - $7 = (2 - \omega)(2 - \bar{\omega})$ - Sostituendo, l'equazione diventa: - $(x - \omega)(x - \bar{\omega}) = ((2 - \omega)(2 - \bar{\omega}))^y = (2 - \omega)^y (2 - \bar{\omega})^y$ #### 2.2. Fattorizzazione Unica e Unità - **Divisibilità:** - Sia $d = \text{gcd}(x - \omega, x - \bar{\omega})$. - $d$ divide la loro differenza: $(x - \omega) - (x - \bar{\omega}) = \bar{\omega} - \omega = -i\sqrt{3}$. - La norma di $d$, $N(d)$, deve dividere $N(-i\sqrt{3}) = (-i\sqrt{3})(i\sqrt{3}) = 3$. - Inoltre, $d$ divide $7^y$, quindi $N(d)$ divide $N(7^y) = 7^{2y}$. - Poiché $\text{gcd}(3, 7^{2y}) = 1$, ne consegue che $N(d) = 1$. - Questo significa che $d$ è un'unità (cioè, $x - \omega$ e $x - \bar{\omega}$ sono coprimi). - **Fattori primi di 7:** Si noti che $7 = (-2 - 3\omega)(1 + 3\omega)$ sono fattori primi in $\mathbb{Z}[\omega]$ con norma 7. - Poiché $x - \omega$ e $x - \bar{\omega}$ sono coprimi, si può scrivere: - $x - \omega = \epsilon_1 (-2 - 3\omega)^y$ - $x - \bar{\omega} = \epsilon_2 (1 + 3\omega)^y$ dove $\epsilon_1, \epsilon_2$ sono unità e $\epsilon_1\epsilon_2 = 1$. #### 2.3. Ricorrenze Lineari (Approccio Batominovski) - Dall'uguaglianza $(x - \omega)(x - \bar{\omega}) = (2 - \omega)^y (2 - \bar{\omega})^y$, e assumendo $7 \nmid (x - \omega)$, per la fattorizzazione unica in $\mathbb{Z}[\omega]$: - $x - \omega = u(2 - \omega)^y$, dove $u$ è un'unità ($\pm 1, \pm\omega, \pm\bar{\omega}$). - Il suo complesso coniugato è $x - \bar{\omega} = \bar{u}(2 - \bar{\omega})^y$. - Sottraendo le due espressioni: - $(x - \omega) - (x - \bar{\omega}) = u(2 - \omega)^y - \bar{u}(2 - \bar{\omega})^y$ - $\bar{\omega} - \omega = u(2 - \omega)^y - \bar{u}(2 - \bar{\omega})^y$ - $-i\sqrt{3} = u(2 - \omega)^y - \bar{u}(2 - \bar{\omega})^y$ - Definiamo una sequenza $a_n(u) = \frac{u(2-\omega)^n - \bar{u}(2-\bar{\omega})^n}{i\sqrt{3}}$. - L'equazione originale si riduce a trovare $y$ tale che $a_y(u) = -1$. - Questa sequenza soddisfa la relazione di ricorrenza: $a_n(u) = 5a_{n-1}(u) - 7a_{n-2}(u)$. - **Soluzioni:** Si trovano solo per $n = 0, 1, 3$ valori per cui $a_n(u) = \pm 1$. - Poiché $a_n(-u) = -a_n(u)$, è sufficiente considerare $u \in \{1, \omega, \bar{\omega}\}$. - **Esempi di sequenze:** - Per un certo $u$: $1, 2, 3, 1, -16, 87, -323, \dots$ - Per un altro $u$: $0, 1, 5, 18, 55, 149, 360, \dots$ - Per un terzo $u$: $1, 3, 8, 19, 39, 62, 37, \dots$ - **Relazione modulo 18:** $a_n \equiv a_{n-3} \pmod{18}$. Questo permette di scartare molti termini. - Il problema si riduce a trovare i valori '1' nelle sequenze di ricorrenza lineare della forma $a_n = 20a_{n-1} - 343a_{n-2}$. - $1, 1, 323, -6803, \dots$ - $1, 55, 757, -3725, \dots$ - $1, 19, 37, -5777, \dots$ #### 2.4. Teorema Binomiale e Metodo p-adico (Mercio/Batominovski) - Ogni sequenza è una combinazione lineare delle sequenze di coefficienti di $(2 - \omega)^{3n} = (1 - 18\omega)^n = (10 - 9\sqrt{-3})^n$. - **Esempi di queste sequenze:** - $1, 10, 143, -6290, \dots$ - $0, 9, 180, -513, \dots$ - Usando il teorema binomiale, si possono espandere termini come $(1 + 9(1 - \sqrt{-3}))^n = 1 + 9n(1 - \sqrt{-3}) + \frac{81n(n-1)}{2}(1 - \sqrt{-3})^2 + \dots$ - **Metodo di Skolem (p-adico):** In $\mathbb{Z}_3[\sqrt{-3}]$, la valutazione $v_3(\frac{9^k}{k!}) > \frac{3k}{2} \to \infty$. - Ciò permette di riordinare la sommatoria e mostra che ogni sequenza di coefficienti può essere estesa come una funzione $\mathbb{Z}_3 \to \mathbb{Z}_3$, che è una serie di potenze in $n$. - **Biiezione/Iniettività:** - Se una serie di potenze $a_0 + a_1n + a_2n^2 + \dots$ ha $|a_1|_3 > |a_2|_3, |a_3|_3, \dots$, è una biiezione da $\mathbb{Z}_3$ a $a_0 + a_1\mathbb{Z}_3$. - I coefficienti $a_1$ modulo 81 nelle tre sequenze sono non-zero ($9 - 9 = 0$, $9 - 9(-5) = 54 \neq 0$, $9 - 9(-1) = 18 \neq 0$). - Questo implica che per le ultime due sequenze l'iniettività garantisce che la prima occorrenza di '1' sia l'unica. - Per la prima sequenza, si mostra che ha un singolo zero a $\mathbb{Z}_3$, indicando che i due valori di 1 già noti sono gli unici. #### 2.5. Espansione Binomiale e Coefficiente di $\omega$ (Lowther/Dong) - Il problema si riduce a dimostrare che se $a + b\omega = \epsilon(1 + 3\omega)^y$, il coefficiente $b$ non può mai essere 1 per $y > 3$. - Sia $(1 + 3\omega)^y = A + B\omega$. - $A = 1 + 3y\binom{y-1}{1} + \dots$ - $B = 3\binom{y}{1} + \dots$ - L'obiettivo è dimostrare che per $y > 3$, il valore di $B$ (o il coefficiente di $\omega$ una volta moltiplicato per l'unità $\epsilon$) non può essere $\pm 1$. Questo compito è considerato "abbastanza semplice per $y > 3$". ### Approccio con Valutazione p-adica (Mercio) - Sia $v_7(n)$ la valutazione p-adica di $n$ (la più grande potenza di 7 che divide $n$). - Si usa la proprietà: $v_7(x^2 + x + 1) = v_7(x^3 - 1) - v_7(x - 1) = y$. - Se $y > 3$, allora $x$ deve essere un numero grande (es., $x \ge 7^{y-1}$). - In questo caso, $x^2 + x + 1$ diventerebbe troppo grande per essere solo una potenza di 7 e dovrebbe avere altri fattori primi. - Il problema si riconduce a trovare gli elementi di ordine tre nel gruppo ciclico $G = (\mathbb{Z}/(7\mathbb{Z}))^*$. ### Teoria Generale dell'Approssimazione Diofantea (Jack D'Aurizio) - **Problema Generale:** Per un polinomio quadratico razionale $Q(x) \in \mathbb{Q}[X]$ e un insieme finito di primi $P$, cercare soluzioni intere a $Q(x) \in P^*$ (cioè, $Q(x)$ è un intero i cui fattori primi sono tutti in $P$). - **Soluzioni Finite:** Esiste un numero finito di soluzioni per questa classe di equazioni, e sono effettivamente calcolabili. - **Caso Specifico:** Per $Q(x) = x^2 + x + 1$ e $P = \{7\}$, le soluzioni note $x \in \{-19, -3, -1, 0, 2, 18\}$ danno $Q(x) \in \{1, 7, 7^3\}$. - **Completamento del Quadrato:** Si può riscrivere $Q(x)$ completando il quadrato: - $a^{-1}(L(x)^2 - b) \in P^*$ per un polinomio $L(x)$ di grado 1 e interi $a, b$. - Questo può essere scritto come $L(x)^2 - b = a u^2 v$, dove $u \in P^*$ e $v$ è un elemento senza quadrati di $P^*$. - **Riformulazione:** $(L(x) + u\sqrt{av})(L(x) - u\sqrt{av}) = b$. - **Approssimazione Razionale:** Da ciò si ottiene la disuguaglianza $0 0$ calcolabili effettivamente tali che $|\xi - \frac{w}{u}| > Cu^{-2+\kappa}$ per tutti gli interi $u, w$ con $u \in P^*$. - **Limite Superiore:** Confrontando le due disuguaglianze, si ottiene un limite superiore calcolabile per $u$: $u \le (\frac{|b|}{C\sqrt{av}})^{1/\kappa}$. - **Conclusione:** Questo implica che ci sono solo un numero finito di soluzioni, che possono essere calcolate.