Statistika Esensial

Cheatsheet Content

Uji Chi-Square (Uji Independensi) Uji Chi-Square ($ \chi^2 $) memverifikasi signifikansi hubungan antara dua variabel berskala kategorik (nominal atau ordinal) dengan mengevaluasi diskrepansi antara frekuensi yang diamati ($ f_o $) dan yang diharapkan ($ f_e $). Formulasi Hipotesis Statistik Hipotesis Nol ($ H_0 $): Postulat Independensi. Tidak ada asosiasi signifikan antara variabel. Hipotesis Alternatif ($ H_a $): Postulat Dependensi. Ada hubungan signifikan antara variabel. Perhitungan Frekuensi Ekspektasi ($ f_e $) Untuk setiap sel dalam tabel kontingensi: $$ f_e = \frac{\text{(Total Baris)} \times \text{(Total Kolom)}}{\text{Grand Total}} $$ Statistik Uji Chi-Square $$ \chi^2 = \sum \frac{(f_o - f_e)^2}{f_e} $$ Derajat Kebebasan ($ df $) $$ df = (\text{Baris} - 1)(\text{Kolom} - 1) $$ Keputusan Jika $ \chi^2_{\text{hitung}} > \chi^2_{\text{tabel}} $ pada tingkat signifikansi $ \alpha $, tolak $ H_0 $. Ini berarti ada asosiasi signifikan. Analisis Korelasi Sederhana Mengukur seberapa erat dua variabel kuantitatif (Skala Interval atau Rasio) "bergerak bersama". Visualisasi Hubungan (Scatter Plot) Korelasi Positif ($ r \approx +1 $): Garis menanjak ke kanan atas. Korelasi Negatif ($ r \approx -1 $): Garis menurun ke kanan bawah. Korelasi Nol ($ r \approx 0 $): Titik-titik menyebar acak. Interpretasi Koefisien Korelasi ($ r $) Kekuatan: Dilihat dari angkanya (makin dekat ke 1, makin kuat). Arah: Dilihat dari tandanya (Positif (+) atau Negatif (-)). Rumus Koefisien Korelasi Pearson ($ r $) $$ r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n(\sum X^2) - (\sum X)^2][n(\sum Y^2) - (\sum Y)^2]}} $$ Uji Signifikansi (Uji t) Untuk menguji apakah korelasi $ r $ signifikan secara statistik. $$ t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} $$ Derajat Kebebasan: $ df = n - 2 $ Keputusan: Jika $ |t_{\text{hitung}}| > t_{\text{tabel}} $ pada $ df $ dan $ \alpha $, tolak $ H_0 $. Ada hubungan signifikan. Catatan Kritis: Korelasi $ \neq $ Kausalitas. Korelasi hanya menunjukkan hubungan, bukan sebab-akibat. Uji Hipotesis & Uji T Satu Sampel Uji hipotesis adalah prosedur statistik untuk mengevaluasi klaim atau asumsi tentang parameter populasi menggunakan data sampel. Komponen Utama Hipotesis Hipotesis Nol ($ H_0 $): Pernyataan yang mengasumsikan tidak ada perbedaan atau hubungan. Dipertahankan sampai ada bukti kuat untuk menolaknya. Hipotesis Alternatif ($ H_a $): Pernyataan yang bertentangan dengan $ H_0 $. Kesimpulan yang ingin dibuktikan. Tingkat Signifikansi ($ \alpha $) Probabilitas menolak $ H_0 $ padahal $ H_0 $ benar (kesalahan Tipe I). Umumnya $ \alpha = 0.05 $ (5%) atau $ 0.01 $ (1%). Jenis Uji Hipotesis Berdasarkan Arahnya Uji Dua Arah (Two-Tailed Test): Peneliti hanya ingin tahu apakah ada perbedaan ($ H_0: \mu = \mu_0 $ vs $ H_a: \mu \neq \mu_0 $). Uji Satu Arah (Ekor Kanan) (Right-Tailed Test): Peneliti ingin membuktikan parameter populasi lebih besar ($ H_0: \mu \le \mu_0 $ vs $ H_a: \mu > \mu_0 $). Uji Satu Arah (Ekor Kiri) (Left-Tailed Test): Peneliti ingin membuktikan parameter populasi lebih kecil ($ H_0: \mu \ge \mu_0 $ vs $ H_a: \mu Uji T Satu Sampel Membandingkan rata-rata sampel ($ \bar{x} $) dengan rata-rata populasi yang diketahui ($ \mu_0 $) ketika standar deviasi populasi ($ \sigma $) tidak diketahui dan ukuran sampel ($ n $) kecil ($ n $$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} $$ $ \bar{x} $: Rata-rata sampel $ \mu_0 $: Rata-rata populasi yang diklaim ($ H_0 $) $ s $: Standar Deviasi Sampel $ n $: Ukuran Sampel Derajat Kebebasan ($ df $) $$ df = n - 1 $$ Nilai $ df $ ini digunakan untuk mencari nilai kritis ($ t_{\text{tabel}} $) pada Tabel Distribusi t. Rangkuman Langkah Uji Hipotesis Rumuskan Hipotesis: Tentukan $ H_0 $ dan $ H_a $ serta jenis ujinnya. Tentukan Tingkat Signifikansi: Tentukan $ \alpha $ (misalnya, 0.05). Hitung Statistik Uji: Hitung nilai $ t_{\text{hitung}} $ menggunakan rumus Uji T Satu Sampel. Tentukan Wilayah Kritis: Bandingkan $ t_{\text{hitung}} $ dengan $ t_{\text{tabel}} $ (nilai kritis) berdasarkan $ df $ dan $ \alpha $. Ambil Keputusan: Tolak $ H_0 $ jika $ t_{\text{hitung}} $ jatuh di wilayah kritis (atau jika p-value $ Pengujian Hipotesis Dua Sampel Uji t Independen (Independent Samples t-test) Membandingkan rata-rata dua kelompok subjek yang berbeda (misal: Pria vs Wanita). Asumsi utama adalah independensi dan homogenitas variansi (pooled variance). Pooled Variance ($ s_p^2 $) Estimasi variansi gabungan dari dua sampel: $$ s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} $$ Standar Deviasi Gabungan ($ s_p = \sqrt{s_p^2} $) Statistik Uji t Independen $$ t_{\text{hitung}} = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} $$ $ \bar{x}_1, \bar{x}_2 $: Rata-rata sampel kelompok 1 dan 2. $ n_1, n_2 $: Ukuran sampel kelompok 1 dan 2. Derajat Kebebasan ($ df $) $$ df = n_1 + n_2 - 2 $$ Hipotesis: $ H_0: \mu_1 = \mu_2 $ (Tidak ada perbedaan rata-rata populasi) $ H_a: \mu_1 \neq \mu_2 $ (Ada perbedaan rata-rata populasi) atau $ \mu_1 > \mu_2 $ atau $ \mu_1 Keputusan: Jika $ |t_{\text{hitung}}| > t_{\text{tabel}} $ pada $ df $ dan $ \alpha $, tolak $ H_0 $. Ada perbedaan signifikan. Uji t Berpasangan (Paired Samples t-test) Membandingkan rata-rata dari satu kelompok subjek yang diukur dua kali (misal: Pre-Post) atau dua subjek yang dipasangkan secara alami. Fokus pada perubahan atau selisih ($ D $). Data Selisih ($ D_i $) Setiap pasangan data diubah menjadi selisih: $$ D_i = x_{2i} - x_{1i} $$ Variansi Selisih ($ s_D^2 $) $$ s_D^2 = \frac{\sum (D - \bar{D})^2}{n - 1} $$ Standar Deviasi Selisih ($ s_D = \sqrt{s_D^2} $) Statistik Uji t Berpasangan $$ t_{\text{hitung}} = \frac{\bar{D} - \mu_{D_{\text{hipotesis}}}}{s_D / \sqrt{n}} $$ $ \bar{D} $: Rata-rata selisih sampel. $ \mu_{D_{\text{hipotesis}}} $: Rata-rata selisih populasi yang diklaim (biasanya 0 untuk $ H_0 $). $ n $: Jumlah pasangan data. Derajat Kebebasan ($ df $) $$ df = n - 1 $$ Hipotesis: $ H_0: \mu_D = 0 $ (Tidak ada efek/perubahan) $ H_a: \mu_D \neq 0 $ (Ada efek/perubahan) atau $ \mu_D > 0 $ atau $ \mu_D Keputusan: Jika $ |t_{\text{hitung}}| > t_{\text{tabel}} $ pada $ df $ dan $ \alpha $, tolak $ H_0 $. Ada perubahan signifikan.