Espaces Préhilbertiens & Hilbert

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Espaces Préhilbertiens et de Hilbert Définitions Clés Espace Vectoriel Réel/Complexe $E$: Ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire. Produit Scalaire: Application $\langle \cdot, \cdot \rangle: E \times E \to \mathbb{K}$ (où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) qui satisfait: Linéarité à gauche: $\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$ Symétrie (réel) / Symétrie conjuguée (complexe): $\langle y, x \rangle = \overline{\langle x, y \rangle}$ Définie positive: $\langle x, x \rangle \ge 0$ et $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0$ Espace Préhilbertien: Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Norme Induite: $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$. Distance Induite: $d(x, y) = \|x - y\|$. Espace de Hilbert: Un espace préhilbertien qui est complet pour la norme induite (toute suite de Cauchy converge dans l'espace). Inégalités Fondamentales Inégalité de Cauchy-Schwarz: $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$. Égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont linéairement dépendants. Inégalité Triangulaire: $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$. Identité du Parallélogramme: $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$. Orthogonalité Vecteurs Orthogonaux: $x \perp y \iff \langle x, y \rangle = 0$. Théorème de Pythagore: Si $x \perp y$, alors $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$. Sous-espace Orthogonal: Soit $S \subset E$, $S^\perp = \{y \in E \mid \langle x, y \rangle = 0 \text{ pour tout } x \in S\}$. $S^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel fermé. Base orthonormée (BON): Une base $\{e_i\}_{i \in I}$ telle que $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ (symbole de Kronecker). Projection Orthogonale: Si $M$ est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Hilbert $H$, pour tout $x \in H$, il existe un unique $P_M x \in M$ tel que $x - P_M x \in M^\perp$. $P_M x$ est la meilleure approximation de $x$ dans $M$. Exercice Corrigé Enoncé de l'Exercice Considérons l'espace vectoriel $E = C([0, 1])$ des fonctions continues sur $[0, 1]$ à valeurs réelles, muni du produit scalaire défini par: $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t) dt$. Montrer que $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est un espace préhilbertien. Calculer la norme de la fonction $f(t) = t$. L'espace $E$ est-il un espace de Hilbert? Justifier. Correction 1. Montrer que $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est un espace préhilbertien. Linéarité à gauche: Soient $f, g, h \in E$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. $\langle \alpha f + \beta g, h \rangle = \int_0^1 (\alpha f(t) + \beta g(t))h(t) dt$ $= \int_0^1 (\alpha f(t)h(t) + \beta g(t)h(t)) dt$ $= \alpha \int_0^1 f(t)h(t) dt + \beta \int_0^1 g(t)h(t) dt$ $= \alpha \langle f, h \rangle + \beta \langle g, h \rangle$. La linéarité est vérifiée. Symétrie: Soient $f, g \in E$. $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t) dt = \int_0^1 g(t)f(t) dt = \langle g, f \rangle$. La symétrie est vérifiée. Définie positive: Soit $f \in E$. $\langle f, f \rangle = \int_0^1 f(t)^2 dt$. Puisque $f(t)^2 \ge 0$ pour tout $t \in [0, 1]$ et $f$ est continue, $\int_0^1 f(t)^2 dt \ge 0$. De plus, $\int_0^1 f(t)^2 dt = 0 \iff f(t)^2 = 0$ pour tout $t \in [0, 1]$ (par continuité de $f(t)^2$ et non-négativité). Ceci implique $f(t) = 0$ pour tout $t \in [0, 1]$, donc $f$ est la fonction nulle. La propriété définie positive est vérifiée. Conclusion: $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est bien un espace préhilbertien. 2. Calculer la norme de la fonction $f(t) = t$. La norme est donnée par $\|f\| = \sqrt{\langle f, f \rangle}$. Pour $f(t) = t$: $\|f\|^2 = \langle f, f \rangle = \int_0^1 t \cdot t dt = \int_0^1 t^2 dt$ $= \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$. Donc, $\|f\| = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. 3. L'espace $E$ est-il un espace de Hilbert? Justifier. Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet. Pour montrer qu'il n'est pas un espace de Hilbert, il suffit de trouver une suite de Cauchy dans $E$ qui ne converge pas vers une fonction de $E$ (c'est-à-dire une fonction continue). Considérons la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par: $f_n(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \le t \le 1/2 - 1/n \\ nt - n/2 + 1 & \text{si } 1/2 - 1/n Pour $n$ suffisamment grand (par exemple $n > 2$), $f_n(t)$ est une fonction continue sur $[0, 1]$. Cette suite est une suite de Cauchy dans $E$. La limite ponctuelle de cette suite est la fonction $f(t)$ définie par: $f(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \le t \le 1/2 \\ 1 & \text{si } 1/2 Cette fonction $f(t)$ n'est pas continue en $t = 1/2$. Par conséquent, $f \notin C([0, 1])$. De plus, on peut montrer que $\|f_n - f\| \to 0$ lorsque $n \to \infty$, où $f$ est la fonction discontinue. Puisque la limite de la suite de Cauchy n'appartient pas à $E$, l'espace $E = C([0, 1])$ n'est pas complet pour la norme induite par le produit scalaire donné. Conclusion: $(C([0, 1]), \langle \cdot, \cdot \rangle)$ n'est pas un espace de Hilbert. Note: L'espace de Hilbert qui contient $C([0,1])$ muni de ce produit scalaire est $L^2([0,1])$. Théorèmes Importants Théorème de Riesz (représentation des formes linéaires): Soit $H$ un espace de Hilbert. Pour toute forme linéaire continue $L: H \to \mathbb{K}$, il existe un unique $y \in H$ tel que $L(x) = \langle x, y \rangle$ pour tout $x \in H$. De plus, $\|L\| = \|y\|$. Théorème de Projection (sur un convexe fermé): Soit $K$ un sous-ensemble convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert $H$. Pour tout $x \in H$, il existe un unique $y_0 \in K$ tel que $\|x - y_0\| = \inf_{y \in K} \|x - y\|$. De plus, $y_0$ est caractérisé par $\operatorname{Re}\langle x - y_0, y - y_0 \rangle \le 0$ pour tout $y \in K$. Bases de Hilbert: Dans un espace de Hilbert séparable, il existe toujours une base orthonormée (dénombrable). Tout élément $x$ peut s'écrire $x = \sum_{n=1}^\infty \langle x, e_n \rangle e_n$.