Logarithme Népérien (ln) - Terminale

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1. Définition et Propriétés Fondamentales Définition: La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur l'intervalle $(0, +\infty)$ qui s'annule en $1$. Autrement dit, $\ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt$ pour $x > 0$. Elle est définie sur $]0, +\infty[$. Relation avec l'exponentielle: $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $e^x$. Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$. Valeurs particulières: $\ln(1) = 0$ $\ln(e) = 1$ Propriétés algébriques (pour $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$): $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ $\ln(a^n) = n \ln(a)$ $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)$ $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ 2. Étude de la Fonction $\ln(x)$ Domaine de définition: $D_{\ln} = ]0, +\infty[$. Dérivée: Pour $x > 0$, $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$. Sens de variation: Comme $\frac{1}{x} > 0$ pour $x > 0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. Limites aux bornes: $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ (L'axe des ordonnées est une asymptote verticale). $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ Croissances comparées: La fonction $\ln$ croît moins vite que toute puissance de $x$ à l'infini. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$. (Très important !) $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$. (Très important !) Tangente en $x=1$: L'équation de la tangente à la courbe de $\ln(x)$ en $x=1$ est $y = x-1$. 3. Fonction Composée $\ln(u(x))$ Domaine de définition: La fonction $x \mapsto \ln(u(x))$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ telles que $u(x) > 0$. Dérivée: Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $\ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est: $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ 4. Résolution d'Équations et Inéquations Équations: $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$) $\ln(A) = k \iff A = e^k$ (avec $A > 0$) Inéquations: (Attention au sens de l'inégalité car $\ln$ est croissante) $\ln(A) 0$) $\ln(A) > \ln(B) \iff A > B$ (avec $A, B > 0$) $\ln(A) 0$) $\ln(A) > k \iff A > e^k$ (avec $A > 0$) Méthode: Déterminer l'ensemble de définition de l'équation/inéquation. Appliquer les propriétés de $\ln$ pour simplifier. Passer à la fonction exponentielle si nécessaire. Résoudre et vérifier que les solutions sont dans l'ensemble de définition. 5. Techniques Courantes Mise en facteur: $\ln(x^2+x) = \ln(x(x+1)) = \ln(x) + \ln(x+1)$ (pour $x>0$) Changement de variable: Utile pour des équations de type $(\ln x)^2 + \ln x - 2 = 0$. Poser $X = \ln x$. Utilisation des croissances comparées pour les limites. Exercice 1: Simplification et Domaine de Définition Soit $f(x) = \ln(x^2 - 4) - \ln(x-2)$. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de la fonction $f$. Simplifier l'expression de $f(x)$ pour $x \in D_f$. Calculer $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Correction Exercice 1 Déterminer le domaine de définition $D_f$: Pour que $f(x)$ soit définie, il faut que les arguments des fonctions $\ln$ soient strictement positifs. $x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0$. Cela est vrai pour $x \in ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$. $x - 2 > 0 \implies x > 2$. L'intersection de ces deux conditions est $x \in ]2, +\infty[$. Donc, $D_f = ]2, +\infty[$. Simplifier l'expression de $f(x)$ pour $x \in D_f$: Pour $x \in ]2, +\infty[$, on a $x^2-4 > 0$ et $x-2 > 0$. On utilise la propriété $\ln(A) - \ln(B) = \ln(\frac{A}{B})$. $f(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 4}{x-2}\right)$ On sait que $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. $f(x) = \ln\left(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\right)$ Puisque $x \in ]2, +\infty[$, $x-2 \neq 0$, on peut simplifier par $(x-2)$. $f(x) = \ln(x+2)$ pour $x \in ]2, +\infty[$. Calculer $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$: On utilise l'expression simplifiée $f(x) = \ln(x+2)$. $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \ln(x+2)$. Lorsque $x \to 2^+$, $x+2 \to 4$. Donc, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \ln(4)$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln(x+2)$. Lorsque $x \to +\infty$, $x+2 \to +\infty$. On sait que $\lim_{Y \to +\infty} \ln(Y) = +\infty$. Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Exercice 2: Étude de Fonction Complète Soit $g(x) = x - 1 - \ln(x)$ définie sur $]0, +\infty[$. Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. En déduire le tableau de variation de $g$. Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition. Montrer que pour tout $x > 0$, $\ln(x) \le x-1$. Exercice 3: Équation et Inéquation Résoudre l'équation $\ln(x+3) + \ln(x-1) = \ln(5)$. Résoudre l'inéquation $(\ln x)^2 - 3 \ln x + 2 > 0$. Exercice 4: Croissances Comparées Calculer les limites suivantes: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x}$ $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x^3)$ $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{e^x}$ Exercice 5: Problème Contextuel La population d'une espèce de bactéries, en milliers, est modélisée par la fonction $P(t) = 10 \ln(t+e)$ pour $t \ge 0$, où $t$ est le temps en heures. Quelle est la population initiale (à $t=0$)? Écrire l'expression de $P'(t)$. Étudier les variations de $P(t)$. Au bout de combien de temps la population atteindra-t-elle 30 milliers? (Donner la valeur exacte puis arrondie à l'heure près).