5. Techniques Courantes

Mise en facteur: $\ln(x^2+x) = \ln(x(x+1)) = \ln(x) + \ln(x+1)$ (pour $x>0$)
Changement de variable: Utile pour des équations de type $(\ln x)^2 + \ln x - 2 = 0$. Poser $X = \ln x$.
Utilisation des croissances comparées pour les limites.

Exercice 1: Simplification et Domaine de Définition

Soit $f(x) = \ln(x^2 - 4) - \ln(x-2)$.

Déterminer le domaine de définition $D_f$ de la fonction $f$.
Simplifier l'expression de $f(x)$ pour $x \in D_f$.
Calculer $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Correction Exercice 1

Déterminer le domaine de définition $D_f$: Pour que $f(x)$ soit définie, il faut que les arguments des fonctions $\ln$ soient strictement positifs.
- $x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0$. Cela est vrai pour $x \in ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$.
- $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
L'intersection de ces deux conditions est $x \in ]2, +\infty[$. Donc, $D_f = ]2, +\infty[$.
Simplifier l'expression de $f(x)$ pour $x \in D_f$: Pour $x \in ]2, +\infty[$, on a $x^2-4 > 0$ et $x-2 > 0$. On utilise la propriété $\ln(A) - \ln(B) = \ln(\frac{A}{B})$. $f(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 4}{x-2}\right)$ On sait que $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. $f(x) = \ln\left(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\right)$ Puisque $x \in ]2, +\infty[$, $x-2 \neq 0$, on peut simplifier par $(x-2)$. $f(x) = \ln(x+2)$ pour $x \in ]2, +\infty[$.
Calculer $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$: On utilise l'expression simplifiée $f(x) = \ln(x+2)$.
- $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \ln(x+2)$. Lorsque $x \to 2^+$, $x+2 \to 4$. Donc, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \ln(4)$.
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln(x+2)$. Lorsque $x \to +\infty$, $x+2 \to +\infty$. On sait que $\lim_{Y \to +\infty} \ln(Y) = +\infty$. Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Exercice 2: Étude de Fonction Complète

Soit $g(x) = x - 1 - \ln(x)$ définie sur $]0, +\infty[$.

Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
En déduire le tableau de variation de $g$.
Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
Montrer que pour tout $x > 0$, $\ln(x) \le x-1$.

Exercice 3: Équation et Inéquation

Résoudre l'équation $\ln(x+3) + \ln(x-1) = \ln(5)$.
Résoudre l'inéquation $(\ln x)^2 - 3 \ln x + 2 > 0$.

Exercice 4: Croissances Comparées

Calculer les limites suivantes:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x}$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x^3)$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{e^x}$

Exercice 5: Problème Contextuel

La population d'une espèce de bactéries, en milliers, est modélisée par la fonction $P(t) = 10 \ln(t+e)$ pour $t \ge 0$, où $t$ est le temps en heures.

Quelle est la population initiale (à $t=0$)?
Écrire l'expression de $P'(t)$.
Étudier les variations de $P(t)$.
Au bout de combien de temps la population atteindra-t-elle 30 milliers? (Donner la valeur exacte puis arrondie à l'heure près).

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