Mouvement particule chargée

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### Résumé du Cours : Mouvement d'une Particule Chargée dans un Champ Électrique Uniforme Le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme est un sujet fondamental en physique. Il décrit comment une particule (comme un électron ou un proton) se déplace lorsqu'elle est soumise à une force électrique constante. #### 1. Champ Électrique Uniforme Un champ électrique $\vec{E}$ est dit uniforme si sa direction et son intensité sont constantes en tout point de l'espace. Il est souvent créé entre deux plaques conductrices parallèles chargées. #### 2. Force Électrique Une particule de charge $q$ placée dans un champ électrique $\vec{E}$ subit une force électrique $\vec{F}_e$: $$\vec{F}_e = q\vec{E}$$ - Si $q > 0$, $\vec{F}_e$ est dans la même direction que $\vec{E}$. - Si $q ### Exercice 1 : Mouvement Rectiligne Accéléré (Facile) Un électron (charge $q = -e = -1.6 \times 10^{-19}$ C, masse $m = 9.1 \times 10^{-31}$ kg) pénètre en A avec une vitesse initiale nulle ($\vec{v}_0 = \vec{0}$) dans un champ électrique uniforme $\vec{E}$ dirigé vers le haut, d'intensité $E = 500$ V/m. La distance entre les plaques est $d = 5$ cm. On néglige le poids de l'électron. 1. Représenter le vecteur champ électrique $\vec{E}$, la force électrique $\vec{F}_e$ agissant sur l'électron et le vecteur accélération $\vec{a}$. 2. Déterminer la nature du mouvement de l'électron. 3. Calculer l'accélération de l'électron. 4. Quelle est la vitesse de l'électron lorsqu'il atteint la plaque supérieure (point B) ? 5. Combien de temps met l'électron pour atteindre la plaque supérieure ? **Solution :** 1. **Représentation des vecteurs :** - $\vec{E}$ est dirigé vers le haut (donné). - Comme $q = -e ### Exercice 2 : Déviation d'un Faisceau (Moyen) Un proton (charge $q = e = 1.6 \times 10^{-19}$ C, masse $m = 1.67 \times 10^{-27}$ kg) pénètre en O avec une vitesse horizontale $\vec{v}_0$ d'intensité $v_0 = 2 \times 10^5$ m/s dans un champ électrique uniforme $\vec{E}$ dirigé vers le haut, d'intensité $E = 100$ V/m. Le champ s'étend sur une longueur $L = 10$ cm. On néglige le poids du proton. 1. Déterminer les équations horaires du mouvement du proton. 2. Établir l'équation de la trajectoire $y(x)$ du proton à l'intérieur du champ. 3. Calculer les coordonnées du point de sortie S du champ. 4. Déterminer la vitesse $\vec{v}_S$ du proton au point S. **Solution :** 1. **Équations horaires du mouvement :** - Repère (O, x, y) avec O le point d'entrée, Ox horizontal (sens de $\vec{v}_0$), Oy vertical (sens de $\vec{E}$). - Force électrique : $\vec{F}_e = q\vec{E}$. Comme $q > 0$ et $\vec{E}$ est selon Oy, $\vec{F}_e$ est aussi selon Oy. - Accélération : $\vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}$. L'accélération est donc uniquement selon Oy : $a_x = 0$, $a_y = \frac{qE}{m}$. - $a_y = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 100}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 9.58 \times 10^9$ m/s². - Conditions initiales ($t=0$, en O) : - Position : $x_0 = 0$, $y_0 = 0$. - Vitesse : $v_{0x} = v_0 = 2 \times 10^5$ m/s, $v_{0y} = 0$. - Équations de vitesse par intégration de l'accélération : - $v_x(t) = v_{0x} + a_x t = v_0 = 2 \times 10^5$ m/s - $v_y(t) = v_{0y} + a_y t = a_y t = 9.58 \times 10^9 t$ m/s - Équations de position par intégration de la vitesse : - $x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2}a_x t^2 = v_0 t = 2 \times 10^5 t$ m - $y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2}a_y t^2 = \frac{1}{2}a_y t^2 = \frac{1}{2}(9.58 \times 10^9) t^2 = 4.79 \times 10^9 t^2$ m 2. **Équation de la trajectoire $y(x)$ :** - De $x(t) = v_0 t$, on tire $t = \frac{x}{v_0}$. - On substitue $t$ dans l'équation de $y(t)$ : - $y(x) = \frac{1}{2}a_y \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{a_y}{2v_0^2} x^2$ - $y(x) = \frac{9.58 \times 10^9}{2 \times (2 \times 10^5)^2} x^2 = \frac{9.58 \times 10^9}{8 \times 10^{10}} x^2 = 0.11975 x^2$ - C'est l'équation d'une parabole. 3. **Coordonnées du point de sortie S :** - Le proton sort du champ lorsque $x = L = 10$ cm $= 0.1$ m. - Temps de sortie $t_S = \frac{L}{v_0} = \frac{0.1}{2 \times 10^5} = 5 \times 10^{-7}$ s. - Coordonnée $y_S = \frac{1}{2}a_y t_S^2 = 4.79 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-7})^2 = 4.79 \times 10^9 \times 2.5 \times 10^{-13} = 1.1975 \times 10^{-3}$ m. - $y_S \approx 1.2$ mm. - Coordonnées de S : $(0.1 \text{ m}, 1.2 \times 10^{-3} \text{ m})$. 4. **Vitesse $\vec{v}_S$ au point S :** - $v_{Sx} = v_0 = 2 \times 10^5$ m/s - $v_{Sy} = a_y t_S = 9.58 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-7} = 4.79 \times 10^3$ m/s - L'intensité de la vitesse en S est $v_S = \sqrt{v_{Sx}^2 + v_{Sy}^2} = \sqrt{(2 \times 10^5)^2 + (4.79 \times 10^3)^2} \approx 2 \times 10^5$ m/s. - La composante verticale est faible par rapport à l'horizontale. ### Exercice 3 : Déviation avec Vitesse Initiale Oblique (Moyen/Difficile) Un ion He$^{2+}$ (charge $q = +2e$, masse $m = 6.64 \times 10^{-27}$ kg) pénètre en O avec une vitesse $\vec{v}_0$ d'intensité $v_0 = 10^4$ m/s, faisant un angle $\alpha = 30^\circ$ avec l'axe horizontal Ox. Il entre dans un champ électrique uniforme $\vec{E}$ dirigé vers le bas, d'intensité $E = 200$ V/m. Le champ s'étend sur une longueur $L = 5$ cm. On néglige le poids de l'ion. 1. Déterminer les composantes de la vitesse initiale $v_{0x}$ et $v_{0y}$. 2. Établir les équations horaires du mouvement. 3. Déterminer l'équation de la trajectoire de l'ion. 4. Calculer la déflexion verticale de l'ion à la sortie du champ (point S). 5. Quelle est la vitesse de l'ion à la sortie du champ ? **Solution :** 1. **Composantes de la vitesse initiale :** - $v_{0x} = v_0 \cos\alpha = 10^4 \cos(30^\circ) = 10^4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66 \times 10^3$ m/s - $v_{0y} = v_0 \sin\alpha = 10^4 \sin(30^\circ) = 10^4 \times \frac{1}{2} = 5 \times 10^3$ m/s 2. **Équations horaires du mouvement :** - Repère (O, x, y) avec O le point d'entrée, Ox horizontal, Oy vertical vers le haut. - Champ $\vec{E}$ dirigé vers le bas. - Force électrique : $\vec{F}_e = q\vec{E}$. Comme $q > 0$ et $\vec{E}$ est vers le bas, $\vec{F}_e$ est aussi vers le bas. - Accélération : $\vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}$. L'accélération est donc uniquement selon Oy, mais vers le bas (donc négative si Oy est vers le haut) : $a_x = 0$, $a_y = -\frac{qE}{m}$. - $a_y = -\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 200}{6.64 \times 10^{-27}} \approx -9.64 \times 10^9$ m/s². - Conditions initiales ($t=0$, en O) : - Position : $x_0 = 0$, $y_0 = 0$. - Vitesse : $v_{0x} = 8.66 \times 10^3$ m/s, $v_{0y} = 5 \times 10^3$ m/s. - Équations de vitesse : - $v_x(t) = v_{0x} = 8.66 \times 10^3$ m/s - $v_y(t) = v_{0y} + a_y t = 5 \times 10^3 - 9.64 \times 10^9 t$ m/s - Équations de position : - $x(t) = v_{0x} t = 8.66 \times 10^3 t$ m - $y(t) = v_{0y} t + \frac{1}{2}a_y t^2 = 5 \times 10^3 t - \frac{1}{2}(9.64 \times 10^9) t^2 = 5 \times 10^3 t - 4.82 \times 10^9 t^2$ m 3. **Équation de la trajectoire $y(x)$ :** - De $x(t) = v_{0x} t$, on tire $t = \frac{x}{v_{0x}}$. - $y(x) = v_{0y} \frac{x}{v_{0x}} + \frac{1}{2}a_y \left(\frac{x}{v_{0x}}\right)^2 = \left(\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\right)x + \left(\frac{a_y}{2v_{0x}^2}\right)x^2$ - $y(x) = \left(\frac{5 \times 10^3}{8.66 \times 10^3}\right)x - \left(\frac{9.64 \times 10^9}{2 \times (8.66 \times 10^3)^2}\right)x^2$ - $y(x) \approx 0.577 x - 6.42 \times 10^4 x^2$ 4. **Déflexion verticale à la sortie du champ (point S) :** - Le proton sort lorsque $x = L = 5$ cm $= 0.05$ m. - Temps de sortie $t_S = \frac{L}{v_{0x}} = \frac{0.05}{8.66 \times 10^3} \approx 5.77 \times 10^{-6}$ s. - Déflexion $y_S = 5 \times 10^3 (5.77 \times 10^{-6}) - 4.82 \times 10^9 (5.77 \times 10^{-6})^2$ - $y_S = 0.02885 - 0.00160 = 0.02725$ m $\approx 2.73$ cm. 5. **Vitesse de l'ion à la sortie du champ :** - $v_{Sx} = v_{0x} = 8.66 \times 10^3$ m/s - $v_{Sy} = 5 \times 10^3 - 9.64 \times 10^9 (5.77 \times 10^{-6}) = 5 \times 10^3 - 5.56 \times 10^4 = -5.06 \times 10^4$ m/s - L'intensité de la vitesse : $v_S = \sqrt{v_{Sx}^2 + v_{Sy}^2} = \sqrt{(8.66 \times 10^3)^2 + (-5.06 \times 10^4)^2} \approx 5.13 \times 10^4$ m/s. ### Exercice 4 : Filtrage de Vitesse (Niveau BAC) Un électron est injecté en O avec une vitesse $\vec{v}_0$ horizontale, d'intensité inconnue $v_0$. Il pénètre dans un champ électrique uniforme $\vec{E}$ créé par des plaques de longueur $L = 10$ cm, séparées par une distance $d = 2$ cm. Le champ $\vec{E}$ est dirigé vers le haut, d'intensité $E = 10^3$ V/m. L'électron doit ressortir du champ par un petit orifice situé en S, tel que $x_S = L$ et $y_S = d/2$. On néglige le poids de l'électron. 1. Établir les équations horaires du mouvement de l'électron. 2. Déterminer l'équation de la trajectoire $y(x)$. 3. Calculer la valeur de la vitesse $v_0$ pour que l'électron passe par l'orifice S. 4. Quelle est la vitesse de l'électron à la sortie S ? **Données :** $m_e = 9.1 \times 10^{-31}$ kg, $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C. **Solution :** 1. **Équations horaires du mouvement :** - Repère (O, x, y) avec O le point d'entrée, Ox horizontal (sens de $\vec{v}_0$), Oy vertical vers le haut. - Champ $\vec{E}$ dirigé vers le haut. - Force électrique : $\vec{F}_e = q\vec{E}$. Comme $q = -e ### Exercice 5 : Écran de Détection (Niveau BAC Approfondi) Un faisceau de protons (charge $q = e$, masse $m = 1.67 \times 10^{-27}$ kg) est injecté en O avec une vitesse $\vec{v}_0$ horizontale d'intensité $v_0 = 5 \times 10^5$ m/s. Il traverse un condensateur plan de longueur $L = 5$ cm, où règne un champ électrique uniforme $\vec{E}$ dirigé vers le bas, d'intensité $E = 200$ V/m. Après avoir quitté le condensateur en S, les protons parcourent une distance $D = 20$ cm avant de frapper un écran fluorescent vertical. On néglige le poids des protons. 1. Établir l'équation de la trajectoire des protons à l'intérieur du condensateur. 2. Déterminer les coordonnées du point de sortie S. 3. Calculer les composantes de la vitesse $\vec{v}_S$ des protons au point S. 4. Déterminer l'équation de la trajectoire des protons après la sortie du condensateur (entre S et l'écran). 5. Calculer la déflexion totale $Y$ des protons sur l'écran par rapport à l'axe Ox. **Solution :** 1. **Trajectoire à l'intérieur du condensateur (O à S) :** - Repère (O, x, y) avec O le point d'entrée, Ox horizontal (sens de $\vec{v}_0$), Oy vertical vers le bas. - Champ $\vec{E}$ dirigé vers le bas. - Force électrique : $\vec{F}_e = q\vec{E}$. Comme $q > 0$ et $\vec{E}$ est vers le bas, $\vec{F}_e$ est vers le bas. - Accélération : $\vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}$. L'accélération est uniquement selon Oy : $a_x = 0$, $a_y = \frac{qE}{m}$. - $a_y = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 200}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 1.92 \times 10^{10}$ m/s². - Conditions initiales ($t=0$, en O) : $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $v_{0x} = v_0 = 5 \times 10^5$ m/s, $v_{0y} = 0$. - Équations horaires : - $x(t) = v_0 t$ - $y(t) = \frac{1}{2}a_y t^2$ - Équation de la trajectoire : $y(x) = \frac{a_y}{2v_0^2} x^2$. - $y(x) = \frac{1.92 \times 10^{10}}{2 \times (5 \times 10^5)^2} x^2 = \frac{1.92 \times 10^{10}}{5 \times 10^{11}} x^2 = 0.0384 x^2$. 2. **Coordonnées du point de sortie S :** - Le proton sort lorsque $x_S = L = 0.05$ m. - $y_S = 0.0384 \times (0.05)^2 = 0.0384 \times 0.0025 = 9.6 \times 10^{-5}$ m. - Coordonnées de S : $(0.05 \text{ m}, 9.6 \times 10^{-5} \text{ m})$. 3. **Vitesse $\vec{v}_S$ au point S :** - Temps de sortie $t_S = \frac{L}{v_0} = \frac{0.05}{5 \times 10^5} = 10^{-7}$ s. - $v_{Sx} = v_0 = 5 \times 10^5$ m/s. - $v_{Sy} = a_y t_S = 1.92 \times 10^{10} \times 10^{-7} = 1.92 \times 10^3$ m/s. - L'angle $\theta_S$ que fait $\vec{v}_S$ avec l'horizontale est $\tan(\theta_S) = \frac{v_{Sy}}{v_{Sx}} = \frac{1.92 \times 10^3}{5 \times 10^5} = 3.84 \times 10^{-3}$. - $\theta_S \approx 0.22^\circ$. 4. **Trajectoire après la sortie du condensateur (S à l'écran) :** - Après S, le champ électrique n'agit plus. La particule n'est soumise à aucune force (on néglige le poids). - Le mouvement est donc rectiligne uniforme à partir de S. - L'équation de la droite passant par S et ayant la pente $\tan(\theta_S)$ est : - $y'(x') = \tan(\theta_S) x'$, où $x'$ est la distance horizontale parcourue *après* S. - Ou en utilisant les coordonnées absolues : $y(x) - y_S = \frac{v_{Sy}}{v_{Sx}} (x - x_S)$. - $y(x) = y_S + \frac{v_{Sy}}{v_{Sx}} (x - x_S) = 9.6 \times 10^{-5} + 3.84 \times 10^{-3} (x - 0.05)$. 5. **Déflexion totale $Y$ sur l'écran :** - L'écran est situé à une distance $D = 20$ cm $= 0.2$ m *après* la sortie du condensateur. - La coordonnée $x$ de l'écran est $x_{écran} = L + D = 0.05 + 0.2 = 0.25$ m. - La déflexion totale $Y$ est $y(x_{écran})$ : - $Y = 9.6 \times 10^{-5} + 3.84 \times 10^{-3} (0.25 - 0.05)$ - $Y = 9.6 \times 10^{-5} + 3.84 \times 10^{-3} \times 0.2$ - $Y = 9.6 \times 10^{-5} + 7.68 \times 10^{-4}$ - $Y = 0.000096 + 0.000768 = 0.000864$ m $\approx 0.86$ mm. - **Alternative plus rapide pour la déflexion hors champ:** La trajectoire hors champ est une droite tangente à la parabole en S. On peut prolonger cette tangente jusqu'à l'écran. - La déflexion verticale due au champ est $y_S = 9.6 \times 10^{-5}$ m. - La déflexion additionnelle après le champ est $\Delta y_{écran} = v_{Sy} \times t_{après\_champ}$. - Le temps après le champ est $t_{après\_champ} = \frac{D}{v_{Sx}} = \frac{0.2}{5 \times 10^5} = 4 \times 10^{-7}$ s. - $\Delta y_{écran} = 1.92 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-7} = 7.68 \times 10^{-4}$ m. - Déflexion totale $Y = y_S + \Delta y_{écran} = 9.6 \times 10^{-5} + 7.68 \times 10^{-4} = 8.64 \times 10^{-4}$ m.