Économie Publique et Finance

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### Introduction à l'Économie Publique L'économie publique étudie l'intervention de l'État dans l'économie, en se concentrant sur l'allocation des ressources, la redistribution des revenus et la stabilisation macroéconomique. #### Concepts Clés - **Biens Publics:** Non-rivaux et non-exclusifs (ex: défense nationale, éclairage public). - **Externalités:** Effets des actions d'un agent économique sur le bien-être d'un autre, sans compensation (ex: pollution, vaccination). - **Asymétries d'information:** Une partie a plus d'informations que l'autre (ex: sélection adverse, aléa moral). - **Monopoles Naturels:** Industries où les coûts fixes sont si élevés qu'une seule entreprise peut produire de manière efficace. ### Critères de Décision en Univers Certain Ces critères évaluent les projets d'investissement sans considérer le risque, mais en distinguant les méthodes sans et avec actualisation. #### I. Sans Actualisation (Ignorance de la valeur temporelle de l'argent) ##### 1. Taux Moyen de Rentabilité (TMR) - **Définition:** Ratio évaluant la rentabilité d'un investissement en rapportant le revenu annuel moyen (RAM) au montant moyen des capitaux investis (MMI). - **Formule:** $$ \text{TMR} = \frac{\text{Revenu Annuel Moyen (RAM)}}{\text{Montant Moyen de l'Investissement (MMI)}} $$ - **Calcul du MMI:** - Amortissement linéaire: $$ \text{MMI} = \frac{\text{Capital initialement investi}}{2} $$ - Amortissement non linéaire: Moyenne des valeurs en début de période sur la durée de vie. - **Calcul du RAM:** Moyenne des résultats nets (RNt) sur la durée de vie du projet. $$ \text{RAM} = \frac{\sum_{t=1}^n \text{RN}_t}{n} $$ - **Calcul du Résultat Net (RNt):** 1. **Excédent Brut d'Exploitation (EBEt):** Chiffre d'affaires (CAt) - Charges d'exploitation (CEt) 2. **Revenu d'Exploitation (REt):** EBEt - Dotations aux amortissements (Dt) 3. **Revenu Courant Avant Impôt (RCAIt):** REt - Frais financiers (FFt) 4. **Impôt sur les Bénéfices (IBt):** Taux d'imposition × RCAIt 5. **Résultat Net (RNt):** RCAIt - IBt - **Règle de Décision:** - **Éligibilité:** TMR > seuil fixé. - **Classement:** Choisir le projet avec le TMR le plus élevé. - **Avantages:** Simplicité. - **Limites:** Ne tient pas compte de l'échéancier des flux, ne convient pas pour comparer des projets de durées de vie très différentes. ##### 2. Délai de Récupération Simple (DRS) - **Définition:** Nombre d'années nécessaires pour que les encaissements cumulés compensent l'investissement initial. - **Principe:** Basé sur les flux nets de trésorerie (FNT) cumulés (sans actualisation). - **FNTO:** Io - ΔBFR + RCAIO - IBO + DO - **FNTt (t>0):** - ΔBFRt + RCAIt - IBt + Dt - **Règle de Décision:** - **Éligibilité:** DRS 0 (Projet rentable). - **Classement:** Choisir le projet avec la VAN la plus élevée. - **Avantages:** Critère fondamental, maximise la valeur de l'entreprise. - **Limites:** Ne permet pas toujours de comparer des projets de montants initiaux très différents. ##### 2. Indice de Profitabilité (IP) - **Définition:** Ratio mesurant la rentabilité par unité de capital investi. - **Formule:** $$ \text{IP} = \frac{\sum_{t=1}^n \frac{\text{FNT}_t}{(1+a)^t}}{I_0} $$ - **Règle de Décision:** - **Éligibilité:** IP > 1 (Projet rentable). - **Classement:** Choisir le projet avec l'IP le plus élevé. - **Avantages:** Utile en cas de restriction de capital. - **Limites:** La VAN est généralement préférable si pas de restriction de capital. ##### 3. Taux de Rentabilité Interne (TRI) - **Définition:** Taux d'actualisation qui annule la VAN d'un projet. - **Formule:** $$ \text{VAN} = -I_0 + \sum_{t=1}^n \frac{\text{FNT}_t}{(1+\text{TRI})^t} = 0 $$ - **Règle de Décision:** - **Éligibilité:** TRI > Taux d'actualisation retenu (Projet rentable). - **Classement:** Choisir le projet avec le TRI le plus grand. - **Avantages:** Facilement interprétable en pourcentage. - **Limites:** Peut avoir plusieurs solutions ou aucune, difficile à calculer manuellement. ##### 4. Délai de Récupération Actualisé (DRA) - **Définition:** Moment où les flux actualisés positifs compensent les flux actualisés négatifs. - **Principe:** Similaire au DRS, mais avec des FNT actualisés. - **Règle de Décision:** - **Éligibilité:** DRA ### Critères de Décision en Univers Risqué et Incertain Ce chapitre intègre le risque et l'incertitude dans l'analyse de rentabilité, en considérant plusieurs scénarios d'évolution. #### I. Modélisation et Mesure du Risque - **Scénarios:** Jeux cohérents d'hypothèses sur les variables motrices du projet. - **Univers Risqué:** Probabilité objective associée à chaque scénario. - **Univers Incertain:** Pas de probabilités objectives associées. - **Hypothèse Simplificatrice:** Le risque ne pèse que sur les FNT pendant la période d'exploitation. $I_0$, la durée de vie et le taux d'actualisation sont connus avec certitude. - **Matrice des FNT prévisionnels:** Estime les FNT annuels ($FNT_{t,j}$) pour chaque état du monde ($S_j$). ##### Mesure du Risque - **Espérance (E):** Moyenne pondérée des FNT ou des performances par leurs probabilités. $$ E(\text{FNT}_t) = \sum_{j} p_j \text{FNT}_{t,j} $$ - **Variance (Var):** Mesure la dispersion des FNT autour de l'espérance. $$ \text{Var}(\text{FNT}_t) = \sum_{j} p_j (\text{FNT}_{t,j} - m)^2 \quad \text{où } m = E(\text{FNT}_t) $$ - **Écart type ($\sigma$):** Racine carrée de la variance, représente la volatilité. $$ \sigma(\text{FNT}_t) = \sqrt{\text{Var}(\text{FNT}_t)} $$ Un projet est plus risqué si son écart type est plus élevé. #### II. Critères de Rentabilité Économique en Univers Risqué Ces critères prennent en compte le rendement (espérance) et le risque (variance/écart type). ##### Critères basés sur la matrice des performances (B) 1. **Critère de Pascal:** Maximiser l'espérance $E(B_i)$. En cas d'égalité, choisir le projet avec la variance $Var(B_i)$ la plus faible. 2. **Critère de Markowitz:** Calculer $M_i = E(B_i) - \lambda\sigma(B_i)$, où $\lambda$ est un coefficient d'aversion au risque. Choisir le projet qui maximise $M_i$. 3. **Critère de Bernoulli:** Calculer $B_i = \sum_j p_j \ln(B_j)$. Choisir le projet qui maximise $B_i$. #### III. Critères en Univers Incertain (Non Probabilisable) Pas de probabilités objectives associées aux scénarios. ##### Critères basés sur la matrice des performances (B) 1. **Critère de Laplace:** Maximiser la moyenne des performances pour chaque projet (hypothèse d'équiprobabilité des scénarios). 2. **Critère de Bernoulli (en incertain):** Maximiser la moyenne du logarithme népérien des performances (hypothèse d'équiprobabilité). 3. **Critère de Wald (ou Maximin):** Maximiser la performance la plus faible (choix pessimiste/prudent). 4. **Critère du Maximax:** Maximiser la plus grande performance (choix optimiste). 5. **Critère de Hurwicz:** Maximiser une combinaison pondérée de la meilleure et de la plus mauvaise performance. $$ \text{Critère Hurwicz} = \alpha \times \text{Min Performance} + (1-\alpha) \times \text{Max Performance} $$ Où $\alpha$ est le degré de pessimisme ($0 \le \alpha \le 1$). 6. **Critère de Savage (ou Minimax Regret):** Minimiser le regret maximal. Construire une matrice des regrets (différence entre la meilleure performance possible pour un scénario donné et la performance obtenue) et choisir le projet qui minimise le regret maximal. ### Exercice 1: Analyse de Rentabilité sans Actualisation (Corrigé) **Données:** Deux projets A et B, durée de vie 3 ans, amortissement linéaire, taux d'imposition 30%, taux d'intérêt emprunt 5% sur 3 ans. - Projet A: Investissement initial 10 000€ - Projet B: Investissement initial 8 000€ | Année | CA (€) Projet A | CE (€) Projet A | CA (€) Projet B | CE (€) Projet B | |-------|-----------------|-----------------|-----------------|-----------------| | 0 | - | - | - | - | | 1 | 6000 | 2000 | 5000 | 1500 | | 2 | 8000 | 3000 | 7000 | 2500 | | 3 | 10000 | 4000 | 9000 | 3500 | **1. Tableaux d'amortissements financiers** - **Annuité (a):** $a = V_0 \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} = V_0 \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}$ - Projet A ($V_0=10000€, i=0.05, n=3$): $a_A = 10000 \frac{0.05}{1-(1.05)^{-3}} \approx 3672.09€$ - Projet B ($V_0=8000€, i=0.05, n=3$): $a_B = 8000 \frac{0.05}{1-(1.05)^{-3}} \approx 2937.67€$ **Tableau d'amortissement Projet A:** | Année | Capital restant dû (début) | Intérêts ($V_{p-1} \times i$) | Annuité | Amortissement ($a-f$) | Capital restant dû (fin) | |-------|----------------------------|-------------------------------|---------|-------------------------|--------------------------| | 0 | 10000 | - | - | - | 10000 | | 1 | 10000 | 500.00 | 3672.09 | 3172.09 | 6827.91 | | 2 | 6827.91 | 341.40 | 3672.09 | 3330.69 | 3497.22 | | 3 | 3497.22 | 174.86 | 3672.09 | 3497.23 | -0.01 | **Tableau d'amortissement Projet B:** | Année | Capital restant dû (début) | Intérêts ($V_{p-1} \times i$) | Annuité | Amortissement ($a-f$) | Capital restant dû (fin) | |-------|----------------------------|-------------------------------|---------|-------------------------|--------------------------| | 0 | 8000 | - | - | - | 8000 | | 1 | 8000 | 400.00 | 2937.67 | 2537.67 | 5462.33 | | 2 | 5462.33 | 273.12 | 2937.67 | 2664.55 | 2797.78 | | 3 | 2797.78 | 139.89 | 2937.67 | 2797.78 | 0.00 | **2. Calcul des FNT pour chaque projet** - **Dotation aux amortissements (linéaire):** $D_t = \frac{\text{Investissement initial}}{\text{Durée de vie}}$ - Projet A: $D_A = \frac{10000}{3} \approx 3333.33€$ - Projet B: $D_B = \frac{8000}{3} \approx 2666.67€$ **Tableau de Calcul des FNT - Projet A:** | Année | CA | CE | EBE | D | RE | FF | RCAI | IB (0.3) | RN | FNT (RN+D-$ \Delta $BFR) | FNT cumulé | |-------|----|----|-----|---|----|----|------|----------|----|--------------------------|------------| | 0 | | | | | | | | | | -10500 | -10500 | | 1 | 6000 | 2000 | 4000 | 3333.33 | 666.67 | 500 | 166.67 | 50.00 | 116.67 | 116.67 + 3333.33 = 3450 | -7050 | | 2 | 8000 | 3000 | 5000 | 3333.33 | 1666.67 | 341.40 | 1325.27 | 397.58 | 927.69 | 927.69 + 3333.33 = 4261.02 | -2788.98 | | 3 | 10000 | 4000 | 6000 | 3333.33 | 2666.67 | 174.86 | 2491.81 | 747.54 | 1744.27 | 1744.27 + 3333.33 = 5077.6 | 2288.62 | **Tableau de Calcul des FNT - Projet B:** | Année | CA | CE | EBE | D | RE | FF | RCAI | IB (0.3) | RN | FNT (RN+D-$ \Delta $BFR) | FNT cumulé | |-------|----|----|-----|---|----|----|------|----------|----|--------------------------|------------| | 0 | | | | | | | | | | -8400 | -8400 | | 1 | 5000 | 1500 | 3500 | 2666.67 | 833.33 | 400 | 433.33 | 130.00 | 303.33 | 303.33 + 2666.67 = 2970 | -5430 | | 2 | 7000 | 2500 | 4500 | 2666.67 | 1833.33 | 273.12 | 1560.21 | 468.06 | 1092.15 | 1092.15 + 2666.67 = 3758.82 | -1671.18 | | 3 | 9000 | 3500 | 5500 | 2666.67 | 2833.33 | 139.89 | 2693.44 | 808.03 | 1885.41 | 1885.41 + 2666.67 = 4552.08 | 2880.9 | **3. Calcul du RAM et MMI** - **RAM:** - Projet A: $\text{RAM}_A = \frac{116.67 + 927.69 + 1744.27}{3} = \frac{2788.63}{3} \approx 929.54€$ - Projet B: $\text{RAM}_B = \frac{303.33 + 1092.15 + 1885.41}{3} = \frac{3280.89}{3} \approx 1093.63€$ - **MMI (amortissement linéaire):** - Projet A: $\text{MMI}_A = \frac{10000}{2} = 5000€$ - Projet B: $\text{MMI}_B = \frac{8000}{2} = 4000€$ **4. Calcul du TMR et décision** - Projet A: $\text{TMR}_A = \frac{929.54}{5000} \times 100 \approx 18.59\%$ - Projet B: $\text{TMR}_B = \frac{1093.63}{4000} \times 100 \approx 27.34\%$ - **Décision:** Le Projet B (27.34%) est plus rentable que le Projet A (18.59%). On choisirait le Projet B. **5. Calcul du Délai de Récupération Simple (DRS) et décision** - **Projet A:** - FNT cumulés: -10500, -7050, -2788.98, 2288.62 - Le cumul devient positif entre l'année 2 et 3. - $\text{DRS}_A = 2 \text{ ans} + \frac{2788.98}{5077.6} \times 12 \text{ mois} \approx 2 \text{ ans et } 6.6 \text{ mois}$ - **Projet B:** - FNT cumulés: -8400, -5430, -1671.18, 2880.9 - Le cumul devient positif entre l'année 2 et 3. - $\text{DRS}_B = 2 \text{ ans} + \frac{1671.18}{4552.08} \times 12 \text{ mois} \approx 2 \text{ ans et } 4.4 \text{ mois}$ - **Décision:** Le Projet B (2 ans 4.4 mois) a un délai de récupération plus court que le Projet A (2 ans 6.6 mois). On choisirait le Projet B. **Conclusion Exercice 1:** Selon les critères TMR et DRS Simples, le Projet B est préférable. ### Exercice 2: Analyse de Rentabilité avec Actualisation (Corrigé) **Reprenons les données de l'Exercice 1.** Taux d'actualisation $a = 8\%$. **1. Calcul des FNT Nouveaux** - FNT Nouveau = FNT Ancien + FF - **Projet A:** | Année | FNT Ancien | FF | FNT Nouveau | |-------|------------|---------|-------------| | 0 | -10500 | 0 | -10500 | | 1 | 3450 | 500 | 3950 | | 2 | 4261.02 | 341.40 | 4602.42 | | 3 | 5077.6 | 174.86 | 5252.46 | - **Projet B:** | Année | FNT Ancien | FF | FNT Nouveau | |-------|------------|---------|-------------| | 0 | -8400 | 0 | -8400 | | 1 | 2970 | 400 | 3370 | | 2 | 3758.82 | 273.12 | 4031.94 | | 3 | 4552.08 | 139.89 | 4691.97 | **2. Calcul de la VAN et décision** - $\text{VAN} = -I_0 + \sum_{t=1}^n \frac{\text{FNT Nouveau}_t}{(1+a)^t}$ - **Projet A:** $$ \text{VAN}_A = -10500 + \frac{3950}{(1.08)^1} + \frac{4602.42}{(1.08)^2} + \frac{5252.46}{(1.08)^3} $$ $$ \text{VAN}_A = -10500 + 3657.41 + 3945.79 + 4169.60 \approx 1272.80€ $$ - **Projet B:** $$ \text{VAN}_B = -8400 + \frac{3370}{(1.08)^1} + \frac{4031.94}{(1.08)^2} + \frac{4691.97}{(1.08)^3} $$ $$ \text{VAN}_B = -8400 + 3120.37 + 3456.91 + 3724.89 \approx 1902.17€ $$ - **Décision:** Les deux projets sont rentables (VAN > 0). Le Projet B (1902.17€) a une VAN plus élevée que le Projet A (1272.80€). On choisirait le Projet B. **3. Calcul de l'IP et décision** - $\text{IP} = \frac{\sum_{t=1}^n \frac{\text{FNT Nouveau}_t}{(1+a)^t}}{I_0}$ - **Projet A:** $\text{IP}_A = \frac{3657.41 + 3945.79 + 4169.60}{10500} = \frac{11772.80}{10500} \approx 1.12$ - **Projet B:** $\text{IP}_B = \frac{3120.37 + 3456.91 + 3724.89}{8400} = \frac{10302.17}{8400} \approx 1.23$ - **Décision:** Les deux projets sont rentables (IP > 1). Le Projet B (1.23) a un IP plus élevé que le Projet A (1.12). On choisirait le Projet B. **4. Calcul du Délai de Récupération Actualisé (DRA) et décision** - **Projet A:** - FNT Nouveaux Actualisés et Cumulés: | Année | FNT Nouveau | FNT Actualisé ($FNT/(1.08)^t$) | FNT Actualisé Cumulé | |-------|-------------|---------------------------------|----------------------| | 0 | -10500 | -10500 | -10500 | | 1 | 3950 | 3657.41 | -6842.59 | | 2 | 4602.42 | 3945.79 | -2896.80 | | 3 | 5252.46 | 4169.60 | 1272.80 | - Le cumul devient positif entre l'année 2 et 3. - $\text{DRA}_A = 2 \text{ ans} + \frac{2896.80}{4169.60} \times 12 \text{ mois} \approx 2 \text{ ans et } 8.3 \text{ mois}$ - **Projet B:** - FNT Nouveaux Actualisés et Cumulés: | Année | FNT Nouveau | FNT Actualisé ($FNT/(1.08)^t$) | FNT Actualisé Cumulé | |-------|-------------|---------------------------------|----------------------| | 0 | -8400 | -8400 | -8400 | | 1 | 3370 | 3120.37 | -5279.63 | | 2 | 4031.94 | 3456.91 | -1822.72 | | 3 | 4691.97 | 3724.89 | 1902.17 | - Le cumul devient positif entre l'année 2 et 3. - $\text{DRA}_B = 2 \text{ ans} + \frac{1822.72}{3724.89} \times 12 \text{ mois} \approx 2 \text{ ans et } 5.9 \text{ mois}$ - **Décision:** Le Projet B (2 ans 5.9 mois) a un délai de récupération actualisé plus court que le Projet A (2 ans 8.3 mois). On choisirait le Projet B. **Conclusion Exercice 2:** Selon tous les critères actualisés (VAN, IP, DRA), le Projet B est préférable. ### Exercice 3: Financement d'un Bien Public **Contexte:** Économie avec deux consommateurs (1 et 2), fonctions d'utilité $U_1(z,x_1) = \frac{1}{3}\ln(z) + \frac{1}{3}\ln(x_1)$ et $U_2(z,x_2) = \frac{1}{2}\ln(z) + \frac{1}{2}\ln(x_2)$. $z$ est la quantité de bien public, $x_i$ la quantité de bien privé. Revenu $R$ identique pour tous. Technologie de production du bien public unitaire ($z=M=g_1+g_2$). **1. Allocation socialement optimale (Planificateur Social)** - **Fonction de bien-être social:** $W(z, x_1, x_2) = U_1(z, x_1) + U_2(z, x_2)$ $$ W(z, x_1, x_2) = \frac{1}{3}\ln(z) + \frac{1}{3}\ln(x_1) + \frac{1}{2}\ln(z) + \frac{1}{2}\ln(x_2) $$ $$ W(z, x_1, x_2) = \frac{5}{6}\ln(z) + \frac{1}{3}\ln(x_1) + \frac{1}{2}\ln(x_2) $$ - **Contraintes budgétaires:** $x_1 = R - g_1$, $x_2 = R - g_2$, et $z = g_1 + g_2$. Ainsi, $x_1 + x_2 = 2R - (g_1+g_2) = 2R - z$. - **Maximisation de $W$ sous contrainte:** $\max_{z, x_1, x_2} \left[ \frac{5}{6}\ln(z) + \frac{1}{3}\ln(x_1) + \frac{1}{2}\ln(x_2) \right]$ sous $x_1+x_2+z=2R$. - **Conditions de Samuelson:** $\text{TMS}_{z,x_1}^1 + \text{TMS}_{z,x_2}^2 = \text{Cm}_{z}$ (où $\text{Cm}_{z}=1$ avec la technologie unitaire). - $\text{TMS}_{z,x_1}^1 = \frac{\partial U_1 / \partial z}{\partial U_1 / \partial x_1} = \frac{1/(3z)}{1/(3x_1)} = \frac{x_1}{z}$ - $\text{TMS}_{z,x_2}^2 = \frac{\partial U_2 / \partial z}{\partial U_2 / \partial x_2} = \frac{1/(2z)}{1/(2x_2)} = \frac{x_2}{z}$ - Donc, $\frac{x_1}{z} + \frac{x_2}{z} = 1 \implies x_1+x_2 = z$. - **Substitution dans la contrainte:** $z + z = 2R \implies 2z = 2R \implies z^* = R$. - **Allocation optimale:** - $z^* = R$ - Les quantités de bien privé $x_1$ et $x_2$ sont déterminées par la condition $x_1+x_2=z^*=R$. Pour maximiser l'utilité, il faut que $x_1$ et $x_2$ soient aussi grandes que possible, soit $x_1 = R-g_1$ et $x_2 = R-g_2$. **2. Équilibre de Nash en contributions volontaires (Jeu non coopératif)** - Chaque consommateur maximise son utilité en prenant la contribution de l'autre comme donnée. - **a) Fonctions de réaction:** - Consommateur 1 maximise $U_1(g_1+g_2, R-g_1)$. Dérivée par rapport à $g_1$: $$ \frac{\partial U_1}{\partial g_1} = \frac{1}{3(g_1+g_2)} - \frac{1}{3(R-g_1)} = 0 $$ $$ g_1+g_2 = R-g_1 \implies 2g_1 = R-g_2 \implies g_1 = \frac{R-g_2}{2} $$ Ceci est la fonction de réaction de l'agent 1. - Consommateur 2 maximise $U_2(g_1+g_2, R-g_2)$. Dérivée par rapport à $g_2$: $$ \frac{\partial U_2}{\partial g_2} = \frac{1}{2(g_1+g_2)} - \frac{1}{2(R-g_2)} = 0 $$ $$ g_1+g_2 = R-g_2 \implies 2g_2 = R-g_1 \implies g_2 = \frac{R-g_1}{2} $$ Ceci est la fonction de réaction de l'agent 2. - **b) Contributions à l'équilibre de Nash:** Résoudre le système: 1. $g_1 = \frac{R-g_2}{2}$ 2. $g_2 = \frac{R-g_1}{2}$ - Substituer (2) dans (1): $g_1 = \frac{R - (R-g_1)/2}{2} = \frac{2R - R + g_1}{4} = \frac{R+g_1}{4}$ - $4g_1 = R+g_1 \implies 3g_1 = R \implies g_1^* = \frac{R}{3}$ - Substituer $g_1^*$ dans (2): $g_2^* = \frac{R - R/3}{2} = \frac{2R/3}{2} = \frac{R}{3}$ - **Quantité de bien public:** $z^* = g_1^* + g_2^* = \frac{R}{3} + \frac{R}{3} = \frac{2R}{3}$. - **c) Comparaison avec la question 1:** - Allocation socialement optimale: $z^* = R$. - Équilibre de Nash: $z^* = \frac{2R}{3}$. - Le niveau de bien public est plus faible (sous-production) dans le cas du Nash, démontrant le problème du passager clandestin. **3. Prix personnalisés à la Lindahl** - L'État connaît les préférences et propose des prix personnalisés ($p_1, p_2$). - **a) Demande en bien public de chaque consommateur:** - Consommateur 1 maximise $U_1(z, R-p_1 z)$. $p_1$ est le prix par unité de bien public pour l'agent 1. $$ \frac{\partial U_1}{\partial z} = \frac{1}{3z} - \frac{p_1}{3(R-p_1 z)} = 0 $$ $$ \frac{1}{z} = \frac{p_1}{R-p_1 z} \implies R-p_1 z = p_1 z \implies R = 2p_1 z \implies z_1^d = \frac{R}{2p_1} $$ - Consommateur 2 maximise $U_2(z, R-p_2 z)$. $$ \frac{\partial U_2}{\partial z} = \frac{1}{2z} - \frac{p_2}{2(R-p_2 z)} = 0 $$ $$ \frac{1}{z} = \frac{p_2}{R-p_2 z} \implies R-p_2 z = p_2 z \implies R = 2p_2 z \implies z_2^d = \frac{R}{2p_2} $$ - **b) Rapport et niveau absolu des prix Lindahl:** - À l'équilibre de Lindahl, $z_1^d = z_2^d = z$. Donc $\frac{R}{2p_1} = \frac{R}{2p_2} \implies p_1 = p_2$. - La condition de Lindahl est que la somme des prix personnalisés est égale au coût marginal du bien public (qui est 1 ici). $$ p_1 + p_2 = 1 $$ - Puisque $p_1=p_2$, on a $2p_1 = 1 \implies p_1^* = p_2^* = \frac{1}{2}$. - **Quantité produite:** $z^* = \frac{R}{2p_1^*} = \frac{R}{2(1/2)} = R$. - **Contributions:** $g_1 = p_1^* z^* = \frac{1}{2} R$, $g_2 = p_2^* z^* = \frac{1}{2} R$. - **c) Efficacité sociale:** La quantité produite $z^*=R$ est socialement efficace, car elle correspond à l'allocation optimale trouvée à la question 1. Le mécanisme de Lindahl permet d'atteindre l'optimum social en internalisant les préférences des agents. C'est une solution théorique car elle nécessite de connaître les préférences de chacun. ### Exercice 4: Monopole Naturel **Contexte:** Une entreprise (ELECTRICITY) sur le marché de l'électricité. Fonction de coût total: $CT(q) = 100 + \frac{1}{2}q$. Fonction de demande: $q = 30 - p$, soit $p = 30 - q$. **1. Qualification de l'entreprise** - **Réponse:** C'est un **monopole naturel**. La fonction de coût total présente des coûts fixes importants (100) et des coûts marginaux faibles et constants (1/2). Cela signifie que le coût moyen est décroissant sur une large gamme de production, ce qui rend plus efficace qu'une seule entreprise produise pour l'ensemble du marché. **2. Concurrence pure et parfaite (tarification au coût marginal)** - **a) Quantité, prix et profit:** - En concurrence pure et parfaite, le prix est égal au coût marginal ($Cm$). - $Cm = \frac{dCT}{dq} = \frac{1}{2}$. - Donc, $p = \frac{1}{2}$. - Substituer dans la fonction de demande: $q = 30 - p = 30 - \frac{1}{2} = 29.5$. - **Profit:** $\Pi = p \times q - CT(q) = \frac{1}{2} \times 29.5 - (100 + \frac{1}{2} \times 29.5) = 14.75 - 100 - 14.75 = -100$. - L'entreprise ferait une perte de 100€, ce qui n'est pas viable à long terme. - **b) Surplus social:** - Le surplus social est maximisé lorsque $p=Cm$. - Le surplus du consommateur (SC) est l'aire sous la courbe de demande jusqu'au prix et la quantité d'équilibre. C'est un triangle: $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$. - Le prix maximum que les consommateurs sont prêts à payer (ordonnée à l'origine de la demande) est 30 (quand $q=0$). - $SC = \frac{1}{2} \times q \times (30 - p) = \frac{1}{2} \times 29.5 \times (30 - 0.5) = \frac{1}{2} \times 29.5 \times 29.5 = 435.125$. - Le surplus du producteur (SP) est le profit plus les coûts fixes, ou l'aire au-dessus du Cm et en dessous du prix. - $SP = \text{Profit} + \text{Coûts fixes} = -100 + 100 = 0$. (Pour un $Cm$ constant, le $SP$ est souvent considéré comme nul ou égal à la couverture des coûts fixes si pertinents.) - Ou, l'aire du rectangle sous le prix et au-dessus du Cm: $q \times (p-Cm) = 29.5 \times (0.5-0.5)=0$. - **Surplus social total:** $SS = SC + SP = 435.125 + 0 = 435.125$. **3. Monopole non réglementé** - **a) Quantité, prix et profit:** - Un monopole maximise son profit en égalisant la recette marginale ($Rm$) au coût marginal ($Cm$). - $p = 30 - q \implies Rm = \frac{d(p \times q)}{dq} = \frac{d(30q - q^2)}{dq} = 30 - 2q$. - $Cm = \frac{1}{2}$. - $Rm = Cm \implies 30 - 2q = \frac{1}{2} \implies 2q = 29.5 \implies q = 14.75$. - **Prix:** $p = 30 - q = 30 - 14.75 = 15.25$. - **Profit:** $\Pi = p \times q - CT(q) = 15.25 \times 14.75 - (100 + \frac{1}{2} \times 14.75) = 224.875 - (100 + 7.375) = 224.875 - 107.375 = 117.5$. - **b) Surplus social:** - $SC = \frac{1}{2} \times q \times (30 - p) = \frac{1}{2} \times 14.75 \times (30 - 15.25) = \frac{1}{2} \times 14.75 \times 14.75 = 108.78125$. - $SP = \text{Profit} = 117.5$. - **Surplus social total:** $SS = SC + SP = 108.78125 + 117.5 = 226.28125$. - Comparé au surplus social en concurrence parfaite (435.125), le monopole non réglementé est sous-optimal. **4. Réglementation par l'État (équilibre budgétaire)** - L'État astreint l'entreprise à l'équilibre budgétaire, c'est-à-dire un profit nul ($\Pi = 0$). - $\Pi = p \times q - CT(q) = 0 \implies p \times q = CT(q)$. - $(30 - q)q = 100 + \frac{1}{2}q$. - $30q - q^2 = 100 + \frac{1}{2}q$. - $q^2 - 29.5q + 100 = 0$. - Utiliser la formule quadratique: $q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $q = \frac{29.5 \pm \sqrt{(-29.5)^2 - 4 \times 1 \times 100}}{2 \times 1}$ $q = \frac{29.5 \pm \sqrt{870.25 - 400}}{2} = \frac{29.5 \pm \sqrt{470.25}}{2} = \frac{29.5 \pm 21.685}{2}$. Deux solutions: $q_1 = \frac{29.5 - 21.685}{2} = \frac{7.815}{2} = 3.9075$ (basse, peu pertinente pour un monopole naturel) et $q_2 = \frac{29.5 + 21.685}{2} = \frac{51.185}{2} = 25.5925$. On retient la quantité la plus élevée, $q \approx 25.59$. - **Prix:** $p = 30 - q = 30 - 25.59 = 4.41$. - **Profit:** $\Pi = 0$ par définition de la réglementation. - **b) Surplus social:** - $SC = \frac{1}{2} \times q \times (30 - p) = \frac{1}{2} \times 25.59 \times (30 - 4.41) = \frac{1}{2} \times 25.59 \times 25.59 \approx 327.4$. - $SP = \text{Profit} = 0$. - **Surplus social total:** $SS = SC + SP = 327.4$. - Cette régulation améliore le surplus social par rapport au monopole non réglementé, mais reste inférieure à la concurrence parfaite. Elle permet d'éviter les pertes de la tarification au coût marginal tout en augmentant la production par rapport au monopole. **5. Optimalité d'ouvrir le marché** - **Réponse:** Il n'est **pas optimal** d'ouvrir le marché à une autre entreprise identique. - **Justification:** C'est la définition d'un **monopole naturel**. Si une deuxième entreprise identique entrait sur le marché, les deux entreprises devraient partager la demande et ne pourraient pas atteindre les économies d'échelle nécessaires pour couvrir les coûts fixes importants. Elles feraient probablement des pertes et finiraient par quitter le marché, ramenant la situation à un monopole, ou nécessitant des subventions. La production est plus efficace lorsqu'une seule entreprise fournit le bien ou service.