Scienza delle Costruzioni

Cheatsheet Content

### Introduzione alla Scienza delle Costruzioni La Scienza delle Costruzioni è la disciplina che studia il comportamento dei corpi solidi e delle strutture sotto l'azione di carichi esterni, al fine di garantirne la stabilità, la sicurezza e l'efficienza. Si basa sui principi della meccanica del continuo, della teoria dell'elasticità e della resistenza dei materiali. ### Sollecitazioni Interne Le sollecitazioni interne sono le forze e i momenti che si sviluppano all'interno di un corpo in risposta a carichi esterni. - **Sforzo Normale (N):** Forza perpendicolare alla sezione trasversale. - **Sforzo Tagliante (T):** Forza tangenziale alla sezione trasversale. - **Momento Flettente (M):** Momento che causa flessione. - **Momento Torcente (Mt):** Momento che causa torsione. #### Relazioni Fondamentali: - $$\frac{dN}{dx} = -p_x$$ - $$\frac{dT}{dx} = -p_y$$ - $$\frac{dM}{dx} = T$$ ### Tensioni e Deformazioni #### Tensioni ($\sigma, \tau$): Rappresentano la forza per unità di area all'interno di un materiale. - **Tensione Normale ($\sigma$):** $$\sigma = \frac{N}{A}$$ - **Tensione Tangenziale ($\tau$):** $$\tau = \frac{T}{A_t}$$ (dove $A_t$ è l'area soggetta a taglio) - **Stato Tensionale:** Descritto dal tensore delle tensioni: $$\begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{pmatrix}$$ #### Deformazioni ($\epsilon, \gamma$): Rappresentano la variazione di forma o dimensione del materiale. - **Deformazione Normale ($\epsilon$):** $$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$ - **Deformazione Tangenziale ($\gamma$):** Variazione dell'angolo tra due direzioni inizialmente perpendicolari. - **Stato Deformativo:** Descritto dal tensore delle deformazioni. ### Legami Costitutivi (Materiali Elastici Lineari) Descrivono la relazione tra tensioni e deformazioni. - **Legge di Hooke (Unidimensionale):** $$\sigma = E \cdot \epsilon$$ - $E$: Modulo di Young (elasticità longitudinale). - **Modulo di Poisson ($\nu$):** $$\nu = -\frac{\epsilon_{trasversale}}{\epsilon_{longitudinale}}$$ - **Legge di Hooke (Tridimensionale - Isotropo):** - $$E = 2G(1+\nu)$$ (dove $G$ è il modulo di elasticità tangenziale) - $$E = 3K(1-2\nu)$$ (dove $K$ è il modulo di compressibilità) ### Flessione Semplice Si verifica quando il momento flettente agisce in un piano contenente un asse principale d'inerzia della sezione e non ci sono sforzi normali o taglianti. - **Formula di Navier:** $$\sigma_x = \frac{M_z}{I_z} \cdot y$$ - $M_z$: Momento flettente rispetto all'asse z. - $I_z$: Momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse z. - $y$: Distanza dall'asse neutro. - **Asse Neutro:** Passa per il baricentro della sezione. - **Momento d'Inerzia (rettangolo b x h):** $$I = \frac{bh^3}{12}$$ ### Taglio nelle Travi - **Formula di Jourawsky:** $$\tau_{xy} = \frac{T_y S_z^*}{I_z b}$$ - $T_y$: Sforzo tagliante. - $S_z^*$: Momento statico della parte di sezione al di sopra (o al di sotto) del punto considerato rispetto all'asse neutro. - $I_z$: Momento d'inerzia della sezione. - $b$: Larghezza della sezione nel punto considerato. ### Torsione Si verifica quando un momento torcente agisce su una sezione. - **Sezioni Circolari:** - Tensione tangenziale massima: $$\tau_{max} = \frac{M_t}{W_t}$$ - $W_t$: Modulo di resistenza a torsione polare. - Angolo di torsione: $$\theta = \frac{M_t L}{G I_p}$$ - $I_p$: Momento d'inerzia polare. - **Sezioni non Circolari:** La trattazione è più complessa (es. teoria di Saint-Venant). ### Instabilità e Flambaggio Fenomeno di instabilità che si verifica in aste snelle compresse assialmente. - **Carico Critico Euleriano ($P_{cr}$):** $$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$ - $E$: Modulo di Young. - $I$: Momento d'inerzia minimo della sezione. - $L$: Lunghezza dell'asta. - $K$: Fattore di vincolo (dipende dalle condizioni di estremità). - Cerniera-Cerniera: $K=1$ - Incastro-Libera: $K=2$ - Incastro-Cerniera: $K \approx 0.7$ - Incastro-Incastro: $K=0.5$ ### Criteri di Resistenza Prevedono il cedimento dei materiali sotto stati tensionali complessi. - **Criterio di Tresca (Massima Tensione Tangenziale):** - Valido per materiali duttili. - Il cedimento avviene quando la massima tensione tangenziale raggiunge un valore critico. - $$\tau_{max} \le \frac{\sigma_y}{2}$$ (dove $\sigma_y$ è la tensione di snervamento) - **Criterio di Von Mises (Massima Energia di Distorsione):** - Valido per materiali duttili. - Il cedimento avviene quando l'energia di distorsione per unità di volume raggiunge un valore critico. - $$\sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x \sigma_y + 3\tau_{xy}^2} \le \sigma_y$$ - **Criterio di Rankine (Massima Tensione Normale):** - Valido per materiali fragili. - Il cedimento avviene quando la massima tensione normale principale raggiunge un valore critico. - $$\sigma_1 \le \sigma_{amm}$$ ### Strutture Isostatiche e Iperstatiche #### Strutture Isostatiche Strutture in cui il numero di reazioni vincolari è esattamente uguale al numero di equazioni di equilibrio statico disponibili. Sono staticamente determinate, il che significa che le reazioni vincolari e le sollecitazioni interne possono essere calcolate usando solo le equazioni della statica. - **Grado di Isostaticità:** $n_v = n_e$ - **Risoluzione:** 1. **Reazioni Vincolari:** Si applicano le equazioni cardinali della statica: - $\sum F_x = 0$ (Somma delle forze orizzontali nulla) - $\sum F_y = 0$ (Somma delle forze verticali nulla) - $\sum M = 0$ (Somma dei momenti rispetto a un polo arbitrario nulla) Queste equazioni permettono di determinare le incognite vincolari. 2. **Sollecitazioni Interne:** Una volta note le reazioni, si procede al taglio immaginario della struttura (metodo delle sezioni) per calcolare Sforzo Normale (N), Sforzo Tagliante (T) e Momento Flettente (M) in ogni sezione. #### Strutture Iperstatiche Strutture in cui il numero di reazioni vincolari è superiore al numero di equazioni di equilibrio statico disponibili. Richiedono l'uso di equazioni di congruenza (deformazione) oltre a quelle di equilibrio. - **Grado di Iperstaticità ($i$):** $i = n_v - n_e$ - $n_v$: Numero di reazioni vincolari incognite. - $n_e$: Numero di equazioni di equilibrio ($3$ per sistemi piani, $6$ per sistemi spaziali). - **Metodi di Risoluzione:** - **1. Metodo delle Forze (o delle Flessibilità):** - Si "sbloccano" $i$ vincoli in eccesso (vincoli iperstatici), trasformando la struttura iperstatica in una struttura isostatica di base. - Le reazioni corrispondenti ai vincoli rimossi diventano le incognite iperstatiche $X_1, X_2, ..., X_i$. - Si risolve la struttura isostatica di base sotto l'azione dei carichi esterni e delle incognite iperstatiche. - Si impongono le condizioni di congruenza (ad esempio, spostamenti o rotazioni nulli nei punti dove sono stati rimossi i vincoli), formulando un sistema di $i$ equazioni lineari nelle $i$ incognite iperstatiche. - Una volta determinate le incognite iperstatiche, si possono calcolare tutte le altre reazioni e le sollecitazioni interne per sovrapposizione degli effetti. - **2. Metodo degli Spostamenti (o delle Rigidezze):** - Si bloccano tutti i gradi di libertà della struttura, trasformandola in una struttura completamente incastrata (struttura "nativa"). - Gli spostamenti e le rotazioni nei nodi della struttura diventano le incognite cinematiche (o "spostamenti nodali"). - Si calcolano le forze e i momenti che si sviluppano nei nodi della struttura nativa a causa dei carichi esterni e delle incognite cinematiche. - Si impongono le condizioni di equilibrio nei nodi, formulando un sistema di equazioni che lega le forze nodali agli spostamenti nodali attraverso le matrici di rigidezza degli elementi. - È particolarmente adatto per l'implementazione computazionale (es. Analisi agli Elementi Finiti). - **3. Metodo della Linea Elastica (o Integrazione dell'Equazione Differenziale della Trave):** - Si basa sull'integrazione dell'equazione differenziale della linea elastica: $$EI \frac{d^2v}{dx^2} = -M(x)$$ - $E$: Modulo di Young. - $I$: Momento d'inerzia. - $v(x)$: Spostamento verticale (inflessione). - $M(x)$: Momento flettente in funzione di $x$. - L'integrazione di questa equazione fornisce le funzioni di rotazione e spostamento. - Le costanti di integrazione e le reazioni iperstatiche vengono determinate imponendo le condizioni al contorno (spostamenti e rotazioni noti nei vincoli) e le condizioni di continuità (per strutture con più tratti o punti di discontinuità nel carico). - Questo metodo è più diretto per travi e telai semplici con un basso grado di iperstaticità.