Đạo Hàm Hàm Ẩn & Tốc Độ Thay Đổi

Cheatsheet Content

1. Đạo Hàm Hàm Ẩn Sử dụng khi $y$ là hàm của $x$ nhưng không được biểu diễn rõ ràng dưới dạng $y=f(x)$. 1.1. Quy tắc chuỗi (Chain Rule) Nếu $y=f(u)$ và $u=g(x)$, thì $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$. Khi lấy đạo hàm theo $x$ của một biểu thức chứa $y$, ta xem $y$ là một hàm của $x$ và áp dụng quy tắc chuỗi: $\frac{d}{dx}(y^n) = n y^{n-1} \frac{dy}{dx}$ $\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y \frac{dy}{dx}$ $\frac{d}{dx}(e^y) = e^y \frac{dy}{dx}$ 1.2. Các bước tính đạo hàm hàm ẩn Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình theo biến độc lập (thường là $x$ hoặc $t$). Sử dụng quy tắc chuỗi cho các số hạng chứa biến phụ thuộc (thường là $y$ hoặc $V$, $A$, $L$). Chuyển tất cả các số hạng chứa $\frac{dy}{dx}$ (hoặc $\frac{dV}{dt}$, v.v.) sang một vế. Đặt $\frac{dy}{dx}$ làm nhân tử chung. Chia để tìm biểu thức cho $\frac{dy}{dx}$. 1.3. Ví dụ Tìm $\frac{dy}{dx}$ nếu $x^2 + y^2 = 25$: $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$ $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ $2y \frac{dy}{dx} = -2x$ $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$ 2. Ứng Dụng: Tốc Độ Thay Đổi Liên Quan Sử dụng đạo hàm hàm ẩn để tìm tốc độ thay đổi của một đại lượng liên quan đến tốc độ thay đổi của một hoặc nhiều đại lượng khác. 2.1. Các bước giải bài toán tốc độ thay đổi liên quan Đọc và vẽ hình: Đọc kỹ đề bài, vẽ hình minh họa (nếu có thể) và gán các biến cho các đại lượng đang thay đổi. Liệt kê thông tin: Ghi rõ các đại lượng đã biết, các tốc độ thay đổi đã biết (đạo hàm theo thời gian $t$), và đại lượng cần tìm (tốc độ thay đổi cần tìm). Thiết lập phương trình: Tìm một phương trình liên hệ các biến với nhau, không chứa đạo hàm. (Ví dụ: Định lý Pythagoras, công thức thể tích, diện tích). Lấy đạo hàm theo thời gian ($t$): Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình ở bước 3 theo thời gian $t$ bằng cách sử dụng đạo hàm hàm ẩn (quy tắc chuỗi). Thay số và giải: Thay các giá trị đã biết vào phương trình đạo hàm và giải để tìm tốc độ thay đổi cần tìm. Đơn vị: Ghi rõ đơn vị cho kết quả cuối cùng. 2.2. Các công thức hình học thường dùng Diện tích hình tròn: $A = \pi r^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ Thể tích hình cầu: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 \implies \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ Thể tích hình nón: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \implies \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3}\pi \left( 2r \frac{dr}{dt} h + r^2 \frac{dh}{dt} \right)$ Định lý Pythagoras: $x^2 + y^2 = z^2 \implies 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 2z \frac{dz}{dt}$ 2.3. Ví dụ: Thang trượt Một chiếc thang dài 5m dựa vào tường. Chân thang trượt ra xa tường với tốc độ $0.5 \, m/s$. Hỏi đỉnh thang trượt xuống với tốc độ bao nhiêu khi chân thang cách tường 3m? Vẽ hình và gán biến: $x$: khoảng cách từ chân thang đến tường. $y$: khoảng cách từ đỉnh thang đến mặt đất. $L=5$: chiều dài thang. Thông tin đã biết: $\frac{dx}{dt} = 0.5 \, m/s$ Khi $x=3m$, cần tìm $\frac{dy}{dt}$. Phương trình liên hệ: $x^2 + y^2 = L^2 \implies x^2 + y^2 = 5^2 = 25$. Lấy đạo hàm theo $t$: $\frac{d}{dt}(x^2) + \frac{d}{dt}(y^2) = \frac{d}{dt}(25)$ $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ Thay số và giải: Khi $x=3$, từ $x^2 + y^2 = 25 \implies 3^2 + y^2 = 25 \implies 9 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = 4m$. Thay $x=3$, $y=4$, $\frac{dx}{dt}=0.5$ vào phương trình đạo hàm: $2(3)(0.5) + 2(4) \frac{dy}{dt} = 0$ $3 + 8 \frac{dy}{dt} = 0$ $8 \frac{dy}{dt} = -3$ $\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{8} \, m/s$ Kết luận: Đỉnh thang trượt xuống với tốc độ $0.375 \, m/s$ (dấu âm chỉ chiều đi xuống).