Regelungstechnik Formeln

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### Systemeigenschaften #### Dynamische Systeme - Ein System ist **dynamisch**, wenn Ausgangsgrößen von den vergangenen Werten der Eingangsgrößen abhängen. Andernfalls ist es **statisch**. - **Kausalität**: Ausgangsgrößen hängen nur von vergangenen oder aktuellen Eingangsgrößen ab. - **Zeitinvarianz**: Verschieben der Eingangsgrößen führt nur zu einer Verschiebung der Ausgangsgrößen um dieselbe Spanne. #### Zustandsgrößen - **Definition**: $x_1, \dots, x_n$ sind Zustandsgrößen, wenn die Ausgangsgrößen $y_1, \dots, y_l$ eindeutig durch den Verlauf der Eingangsgrößen und die Werte der Zustandsgrößen zu einem Zeitpunkt $\tau$ bestimmt sind. - **Zustandsvektor**: $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)^T$ #### Systeme von Differentialgleichungen (Zeitkontinuierlich) - **Allgemeine Form**: $\dot{\vec{x}} = \vec{f}(t, \vec{x}, \vec{u})$ $\vec{y} = \vec{g}(t, \vec{x}, \vec{u})$ - **Zeitinvariantes System**: $\vec{f}$ und $\vec{g}$ sind nicht explizit von $t$ abhängig. $\dot{\vec{x}} = \vec{f}(\vec{x}, \vec{u})$ $\vec{y} = \vec{g}(\vec{x}, \vec{u})$ - **Autonomes System**: Keine Eingangsgrößen oder festgelegter zeitlicher Verlauf der Eingangsgrößen. $\dot{\vec{x}} = \vec{f}(\vec{x})$ - **Ruhelagen**: Lösungen von $\vec{f}(\vec{x}_s) = \vec{0}$. - **Lipschitz-Bedingung**: $||\vec{f}(t, \vec{x}) - \vec{f}(t, \vec{y})|| \le L ||\vec{x} - \vec{y}||$ für Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung. - **Liapunov-Stabilität**: Ruhelage $\vec{x}_s = \vec{0}$ ist stabil, wenn für jedes $\epsilon > 0$ ein $\delta(\epsilon) > 0$ existiert, sodass $||\vec{x}_0|| 0$ ein $\delta(\epsilon) > 0$ existiert, sodass $||\vec{x}_0|| ### Abtastsysteme #### Abtaster (A/D-Wandler) - **Ideal**: $\vec{y}_k = \vec{u}(k T_a)$ für $\vec{u} \in C([0, \infty))$. $T_a$ ist die Abtastzeit. #### Halteglied (D/A-Wandler) - **Ideal**: $\vec{y}(t) = \vec{u}_k$ für $k T_a ### Zustandsraummethoden #### Erreichbarkeit (Zeitkontinuierlich) - **Definition**: Ein System ist vollständig erreichbar, wenn jeder Zustand $\vec{x}(T_e)$ von $\vec{x}(0) = \vec{0}$ aus in endlicher Zeit $T_e$ mit einer stückweise stetigen Eingangsgröße $\vec{u}(t)$ erreicht werden kann. - **Kriterium (MIMO)**: Die Erreichbarkeitsmatrix $M_R = [B \quad AB \quad A^2B \quad \dots \quad A^{n-1}B]$ hat vollen Rang $n$. - **Gramsche Erreichbarkeitsmatrix**: $W_R = \int_0^{T_e} e^{A\tau}BB^T e^{A^T\tau} d\tau$. System ist vollständig erreichbar, wenn $W_R$ vollen Rang hat. #### Erreichbarkeit (Zeitdiskret) - **Definition**: Ein System ist vollständig erreichbar, wenn jeder Zustand $\vec{x}_N$ von $\vec{x}_0 = \vec{0}$ aus mit einer endlichen Steuerfolge $\vec{u}_0, \dots, \vec{u}_{N-1}$ erreicht werden kann. - **Kriterium**: Die Erreichbarkeitsmatrix $M_R = [B \quad AB \quad A^2B \quad \dots \quad A^{n-1}B]$ hat vollen Rang $n$. - **Gramsche Erreichbarkeitsmatrix**: $W_R = \sum_{k=0}^{N-1} A^k BB^T (A^T)^k$. #### Beobachtbarkeit (Zeitkontinuierlich) - **Definition**: Ein System ist vollständig beobachtbar, wenn der Anfangszustand $\vec{x}_0$ aus den Eingangs- und Ausgangsgrößen $\vec{u}(t), \vec{y}(t)$ auf einem Intervall $[0, T_e]$ errechnet werden kann. - **Kriterium (MIMO)**: Die Beobachtbarkeitsmatrix $M_O = [C^T \quad A^T C^T \quad (A^T)^2 C^T \quad \dots \quad (A^T)^{n-1} C^T]^T$ hat vollen Rang $n$. - **Gramsche Beobachtbarkeitsmatrix**: $W_O = \int_0^{T_e} e^{A^T\tau}C^T C e^{A\tau} d\tau$. System ist vollständig beobachtbar, wenn $W_O$ vollen Rang hat. #### Beobachtbarkeit (Zeitdiskret) - **Definition**: Ein System ist vollständig beobachtbar, wenn der Anfangszustand $\vec{x}_0$ aus den Eingangs- und Ausgangsfolgen $\vec{u}_k, \vec{y}_k$ auf einem endlichen Intervall $N$ errechnet werden kann. - **Kriterium**: Die Beobachtbarkeitsmatrix $M_O = [C^T \quad A^T C^T \quad (A^T)^2 C^T \quad \dots \quad (A^T)^{n-1} C^T]^T$ hat vollen Rang $n$. - **Gramsche Beobachtbarkeitsmatrix**: $W_O = \sum_{k=0}^{N-1} (A^T)^k C^T C A^k$. #### Steuerbarkeit - **Definition (Zeitkontinuierlich)**: Ein System ist vollständig steuerbar, wenn jeder Anfangszustand $\vec{x}_0$ in den Zustand $\vec{x}(T_e) = \vec{0}$ in endlicher Zeit $T_e$ mit einer stückweise stetigen Eingangsgröße $\vec{u}(t)$ überführt werden kann. - **Definition (Zeitdiskret)**: Ein System ist vollständig steuerbar, wenn jeder Anfangszustand $\vec{x}_0$ in den Zustand $\vec{x}_N = \vec{0}$ mit einer endlichen Steuerfolge $\vec{u}_k$ überführt werden kann. - **Äquivalenz**: Für LTI-Systeme sind vollständige Erreichbarkeit und vollständige Steuerbarkeit äquivalent. #### Zustandsregler (Zeitkontinuierlich) - **Regelgesetz**: $\vec{u} = K\vec{x} + \vec{v}$ - **Geschlossener Kreis**: $\dot{\vec{x}} = (A+BK)\vec{x} + B\vec{v}$ - **Regelungsnormalform (RNF)**: Spezielle Systemdarstellung $\dot{\vec{x}}_R = A_R \vec{x}_R + \vec{e}_n \vec{u}$. - **Ackermann-Formel**: Zur Bestimmung des Reglervektors $K$ für gewünschte Eigenwerte des geschlossenen Kreises. #### Zustandsbeobachter (Zeitkontinuierlich) - **Trivialer Beobachter**: $\dot{\hat{\vec{x}}} = A\hat{\vec{x}} + B\vec{u}$. Fehlerdynamik $\dot{\vec{e}} = A\vec{e}$. Asymptotisch stabil, wenn $A$ Hurwitz-Matrix ist. - **Vollständiger Beobachter**: $\dot{\hat{\vec{x}}} = A\hat{\vec{x}} + B\vec{u} + K(\vec{y} - C\hat{\vec{x}} - D\vec{u})$. Fehlerdynamik $\dot{\vec{e}} = (A-KC)\vec{e}$. - **Detektierbarkeit**: System ist detektierbar, wenn eine Matrix $K$ existiert, sodass $(A-KC)$ eine Hurwitz-Matrix ist. - **Beobachternormalform (BNF)**: Spezielle Systemdarstellung. - **Ackermann-Formel für Beobachter**: Zur Bestimmung des Beobachterverstärkungsvektors $K$ für gewünschte Eigenwerte der Fehlerdynamik. #### Separationstheorem - **Aussage**: Die Eigenwerte des geschlossenen Kreises (Regler) und die Eigenwerte der Fehlerdynamik (Beobachter) können unabhängig voneinander gewählt werden. - **Charakteristisches Polynom des Gesamtsystems**: $p(s) = \det(sI - (A+BK)) \det(sI - (A-KC))$. ### Frequenzbereichsmethoden #### Laplace-Transformation - **Definition**: $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$ - **Rücktransformation**: $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{c-j\infty}^{c+j\infty} e^{st} F(s) ds$ - **Wichtige Regeln**: - Linearität: $\mathcal{L}\{a f_1(t) + b f_2(t)\} = a F_1(s) + b F_2(s)$ - Differentiation: $\mathcal{L}\{\dot{f}(t)\} = s F(s) - f(0)$ - Integration: $\mathcal{L}\{\int_0^t f(\tau) d\tau\} = \frac{1}{s} F(s)$ - Faltung: $\mathcal{L}\{f_1(t) * f_2(t)\} = F_1(s) F_2(s)$ - **Übertragungsfunktion (SISO)**: $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C(sI-A)^{-1}B + D$. - **Realisierbarkeit**: $G(s)$ ist realisierbar, wenn $\lim_{s \to \infty} |G(s)| ### Stabilitätskriterien #### Interne Stabilität - **Definition (Steuerung)**: Eine Steuerung ist intern stabil, wenn alle Übertragungsfunktionen des Gesamtsystems BIBO-stabil sind. - **Kriterium (Steuerung)**: $R(s)$ und $G(s)$ sind BIBO-stabil. - **Definition (Regelkreis)**: Ein Regelkreis ist intern stabil, wenn alle Übertragungsfunktionen des Gesamtsystems BIBO-stabil sind. - **Kriterium (Regelkreis)**: 1. $1+L(s) \ne 0$ für $s \in C^+_e = \{s \in C | \operatorname{Re}(s) \ge 0\} \cup \{\infty\}$. 2. Im Produkt $L(s) = R(s)G(s)$ tritt keine Pol-Nullstellenkürzung für Pole oder Nullstellen $s_i \in C^+_e$ auf. #### Michailov-Kriterium - **Aussage**: Ein Polynom $p(s)$ vom Grad $n$ ist ein Hurwitz-Polynom, wenn die stetige Winkeländerung $\Delta \arg(p(j\omega))$ von $p(j\omega)$ für $\omega$ von $0$ bis $\infty$ gleich $n\frac{\pi}{2}$ ist. #### Nyquist-Kriterium - **Anwendung**: Zur Stabilitätsprüfung von Regelkreisen mit Übertragungsfunktion des offenen Kreises $L(s)$. - **Aussage**: Die Anzahl der Umläufe des Nyquist-Plots von $L(j\omega)$ um den Punkt $(-1, 0)$ ist gleich der Anzahl der Pole von $L(s)$ in der rechten Halbebene. - **Vereinfachtes Nyquist-Kriterium (für einfachen Typ)**: Der Regelkreis ist intern stabil, wenn die Phasenreserve $\Phi$ positiv ist. #### Phasenreserve ($\Phi$) und Durchtrittsfrequenz ($\omega_c$) - **Durchtrittsfrequenz**: Frequenz, bei der $|L(j\omega_c)| = 1$. - **Phasenreserve**: $\Phi = \arg(L(j\omega_c)) + 180^\circ$. #### Bleibende Regelabweichung - **Definition**: $e_\infty(r(t)) = \lim_{t \to \infty} (r(t) - y(t))$. - **Für $r(t)=1$**: $e_\infty(1) = \frac{1}{1+V}$. - **Für $r(t)=t$**: $e_\infty(t) = \frac{1}{V}$ (wenn $\lambda=1$). #### Anstiegszeit ($t_r$) und Überschwingweite ($M_p$) - **Anstiegszeit**: Zeit bis zum erstmaligen Erreichen des Sollwertes. - **Überschwingweite**: Maximaler Wert von $h(t)$ über dem Sollwert. - **Faustformeln**: - $\omega_c t_r \approx 1.5$ - $\Phi [^\circ] + 100 (M_p - 1) \approx 70$ (oder $\Phi [^\circ] + \ddot{u} [\%] \approx 70$) #### Reglerentwurf (Frequenzkennlinienverfahren) - **PI-Regler**: $R(s) = V_R \frac{1+sT_z}{sT_z}$. - **Lead-Glied**: $G_{lead}(s) = \frac{1+s/\omega_1}{1+s/(M_{lead}\omega_1)}$, $M_{lead} > 1$. Erhöht Phase. - **Lag-Glied**: $G_{lag}(s) = \frac{1+s/(M_{lag}\omega_1)}{1+s/\omega_1}$, $M_{lag} > 1$. Verringert Phase. - **Kerbfilter (Notchfilter)**: Zur Kompensation resonanter Überhöhungen.