Aerodinamica Interna & Propuls

Cheatsheet Content

### Introduzione all'Aerodinamica Interna e Propulsione Questo formulario è concepito come una guida esaustiva per l'ingegnere aerospaziale, in particolare per l'analisi di condotti con flusso unidimensionale, scambio di calore, attrito, aggiunta/sottrazione di massa e combustione. Copre i principi fondamentali e le equazioni necessarie per affrontare problemi complessi tipici della propulsione aerospaziale, come quelli presentati negli esercizi. - **Assunzioni Fondamentali**: - **Flusso Stazionario e Unidimensionale (1D)**: Le proprietà del fluido variano solo lungo l'asse del condotto. - **Gas Perfetto**: $P = \rho R T$. - **Calori Specifici Costanti**: $c_p$, $c_v$ costanti rispetto alla temperatura. - **Sezione Trasversale del Condotto Nota**: $A(x)$. - **Assenza di Lavoro Esterno**: Solo scambio di calore e attrito. - **Grandezze Termodinamiche e Fluidodinamiche**: - Pressione ($P$) [Pa] - Temperatura ($T$) [K] - Densità ($\rho$) [kg/m$^3$] - Velocità ($V$) [m/s] - Numero di Mach ($M$) [-] - Area ($A$) [m$^2$] - Calore specifico a pressione costante ($c_p$) [J/(kg·K)] - Calore specifico a volume costante ($c_v$) [J/(kg·K)] - Rapporto dei calori specifici ($\gamma = c_p / c_v$) [-] - Costante specifica dei gas ($R = c_p - c_v$) [J/(kg·K)] - Entalpia specifica ($h = c_p T$) [J/kg] - Energia interna specifica ($u = c_v T$) [J/kg] - **Grandezze di Ristagno (Total)**: - Temperatura di ristagno: $T_0 = T(1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2)$ - Pressione di ristagno: $P_0 = P(1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2)^{\gamma/(\gamma-1)}$ - Densità di ristagno: $\rho_0 = \rho(1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2)^{1/(\gamma-1)}$ - Entalpia di ristagno: $h_0 = h + V^2/2 = c_p T_0$ ### Equazioni di Conservazione Generali (Forma Differenziale 1D) Consideriamo un condotto con area $A$, per un segmento infinitesimo $dx$. Fenomeni inclusi: Aggiunta di massa ($d\dot{m}_{add}$), scambio di calore ($d\dot{Q}_{add}$), attrito ($dF_{attrito}$). #### 1. Conservazione della Massa - **Bilancio**: Il tasso di variazione della portata massica lungo il condotto è pari alla portata massica aggiunta. $$ d(\rho A V) = d\dot{m}_{add} $$ Dove $d\dot{m}_{add}$ è la massa aggiunta per unità di tempo nel tratto $dx$. Se la massa è aggiunta uniformemente per unità di lunghezza, $d\dot{m}_{add} = \dot{m}'_{add} dx$. Espandendo: $$ \rho A dV + \rho V dA + A V d\rho = d\dot{m}_{add} $$ Dividendo per $\rho A V$: $$ \frac{dV}{V} + \frac{dA}{A} + \frac{d\rho}{\rho} = \frac{d\dot{m}_{add}}{\dot{m}} $$ #### 2. Conservazione della Quantità di Moto - **Bilancio**: La variazione della quantità di moto del flusso è dovuta a forze di pressione, forze di attrito e alla quantità di moto dei fluidi aggiunti. $$ -A dP - \tau_w P_{wet} dx + d(\dot{m} V) - V_{add,x} d\dot{m}_{add} = 0 $$ - $P_{wet}$: Perimetro bagnato del condotto. Per un condotto circolare di diametro $D$, $P_{wet} = \pi D$. - $\tau_w$: Sforzo di taglio alla parete. $\tau_w = f \frac{1}{2} \rho V^2$, dove $f$ è il coefficiente di attrito di Fanning. - $V_{add,x}$: Componente della velocità del fluido aggiunto nella direzione del flusso principale. Se l'aggiunta di massa è normale al flusso, $V_{add,x} = 0$. - $d(\dot{m} V) = V d\dot{m} + \dot{m} dV$. Sostituendo $d\dot{m} = d\dot{m}_{add}$: $$ -A dP - f \frac{1}{2} \rho V^2 P_{wet} dx + V d\dot{m}_{add} + \dot{m} dV - V_{add,x} d\dot{m}_{add} = 0 $$ Dividendo per $A$: $$ -dP - f \frac{1}{2} \rho V^2 \frac{P_{wet}}{A} dx + \frac{1}{A} (V - V_{add,x}) d\dot{m}_{add} + \frac{\dot{m}}{A} dV = 0 $$ Notare che $P_{wet}/A = 4/D_h$ per un condotto non circolare, dove $D_h$ è il diametro idraulico. Per un condotto circolare, $P_{wet}/A = (\pi D) / (\pi D^2/4) = 4/D$. $$ -dP - f \frac{2}{D_h} \rho V^2 dx + \frac{1}{A} (V - V_{add,x}) d\dot{m}_{add} + \rho V dV = 0 $$ #### 3. Conservazione dell'Energia - **Bilancio**: La variazione dell'entalpia di ristagno del flusso è dovuta allo scambio di calore e all'energia portata dai fluidi aggiunti. $$ d(\dot{m} h_0) = d\dot{Q}_{add} + h_{0,add} d\dot{m}_{add} $$ - $d\dot{Q}_{add}$: Tasso di calore aggiunto al flusso nel tratto $dx$. - $h_{0,add} = h_{add} + V_{add}^2/2$: Entalpia di ristagno specifica del fluido aggiunto. Espandendo $d(\dot{m} h_0) = h_0 d\dot{m} + \dot{m} dh_0$. Sostituendo $d\dot{m} = d\dot{m}_{add}$: $$ \dot{m} dh_0 = d\dot{Q}_{add} + (h_{0,add} - h_0) d\dot{m}_{add} $$ Ricordando $h_0 = c_p T_0$: $$ \dot{m} c_p dT_0 = d\dot{Q}_{add} + (h_{0,add} - c_p T_0) d\dot{m}_{add} $$ ### Relazioni Termodinamiche e Fluidodinamiche Utili - **Velocità del suono**: $a = \sqrt{\gamma R T}$ - **Numero di Mach**: $M = V/a$ - **Relazioni tra grandezze statiche e di ristagno**: - $T_0/T = 1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2$ - $P_0/P = (1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2)^{\gamma/(\gamma-1)}$ - $\rho_0/\rho = (1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2)^{1/(\gamma-1)}$ - **Relazioni differenziali (per gas perfetto)**: - $dP/P = d\rho/\rho + dT/T$ - $dV/V = dM/M + da/a = dM/M + \frac{1}{2} dT/T$ ### Casi Speciali: Flusso di Fanno e Flusso di Rayleigh Questi modelli sono derivati dalle equazioni di conservazione generali con specifiche assunzioni. #### 1. Flusso di Fanno (Adiabatico con Attrito a $A=cost$) - **Assunzioni**: $dA=0$, $d\dot{m}_{add}=0$, $d\dot{Q}_{add}=0$. Attrito presente. - **Equazione Differenziale del Mach**: $$ \frac{1}{M} \frac{dM}{dx} = \frac{\gamma M^2 (1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2)}{1-M^2} \frac{2f}{D_h} $$ - **Lunghezza equivalente $L^*$ (per raggiungere $M=1$)**: $$ \frac{4f L^*}{D_h} = \frac{1-M^2}{\gamma M^2} + \frac{\gamma+1}{2\gamma} \ln\left[ \frac{M^2 (\frac{2}{\gamma+1})(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2)}{(\frac{\gamma+1}{2})} \right] $$ (Questa è una forma comune, ma occorre fare attenzione alla definizione di $f$ e $D_h$. Se $f$ è il fattore di attrito di Darcy, si usa $f/D_h$ invece di $4f/D_h$). - **Rapporti delle Proprietà rispetto a $M=1$ (condizioni critiche, indicate con $^*$)**: - $\frac{T}{T^*} = \frac{(\gamma+1)}{2(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2)}$ - $\frac{P}{P^*} = \frac{1}{M} \sqrt{\frac{(\gamma+1)}{2(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2)}}$ - $\frac{\rho}{\rho^*} = \frac{1}{M} \sqrt{\frac{2(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2)}{\gamma+1}}$ - $\frac{V}{V^*} = M \sqrt{\frac{2(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2)}{\gamma+1}}$ - $\frac{P_0}{P_0^*} = \frac{1}{M} \left[ \frac{2}{\gamma+1} (1+\frac{\gamma-1}{2}M^2) \right]^{(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}$ - $\frac{T_0}{T_0^*} = 1$ (flusso adiabatico) #### 2. Flusso di Rayleigh (Scambio di Calore a $A=cost$, $f=0$) - **Assunzioni**: $dA=0$, $d\dot{m}_{add}=0$, $f=0$. Scambio di calore presente. - **Equazione Differenziale del Mach**: $$ \frac{1}{M} \frac{dM}{dx} = \frac{1+\gamma M^2}{1-M^2} \frac{1}{2T_0} \frac{dT_0}{dx} $$ - **Rapporti delle Proprietà rispetto a $M=1$ (condizioni critiche, indicate con $^*$)**: - $\frac{T_0}{T_0^*} = \frac{2(\gamma+1)M^2}{(1+\gamma M^2)^2} \left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)$ - $\frac{T}{T^*} = \left( \frac{M(1+\gamma)}{1+\gamma M^2} \right)^2$ - $\frac{P}{P^*} = \frac{1+\gamma}{1+\gamma M^2}$ - $\frac{\rho}{\rho^*} = \frac{1}{M^2} \frac{1+\gamma M^2}{1+\gamma}$ - $\frac{V}{V^*} = M^2 \frac{1+\gamma}{1+\gamma M^2}$ - $\frac{P_0}{P_0^*} = \frac{1+\gamma}{1+\gamma M^2} \left[ \frac{2(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2)}{\gamma+1} \right]^{\gamma/(\gamma-1)}$ ### Combustione e Aggiunta di Massa (Modello per Propellenti Solidi) Questo è cruciale per i problemi di razzi. - **Propellente Solido (Granulo)**: - **Densità del propellente**: $\rho_p$ [kg/m$^3$] - **Area di combustione (Burning Surface Area)**: $A_b$ [m$^2$] - **Velocità di combustione (Burning Rate)**: $r = a P^n$ [m/s] - $a$: Coefficiente di velocità di combustione (dipendente dal propellente e dalla temperatura iniziale) - $n$: Esponente di pressione (tipicamente $0.3 ### Approccio alla Risoluzione Numerica per Condotti Complessi Per problemi con più fenomeni contemporaneamente (attrito, calore, aggiunta di massa, variazione di area), è quasi sempre necessaria una soluzione numerica. #### 1. Formato Differenziale delle Equazioni in termini di $M, P, T, \rho$ È spesso utile esprimere le equazioni di conservazione in forma differenziale rispetto a $dx$ e in termini di $M$, $P$, $T$. 1. **Dalla Conservazione della Massa**: $$ \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dA}{A} + \frac{dV}{V} = \frac{d\dot{m}_{add}}{\dot{m}} $$ Sostituendo $dV/V = dM/M + \frac{1}{2} dT/T$: $$ \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dA}{A} + \frac{dM}{M} + \frac{1}{2} \frac{dT}{T} = \frac{d\dot{m}_{add}}{\dot{m}} $$ 2. **Dalla Conservazione della Quantità di Moto**: $$ -dP - f \frac{2}{D_h} \rho V^2 dx + \frac{1}{A} (V - V_{add,x}) d\dot{m}_{add} + \rho V dV = 0 $$ Dividendo per $P$: $$ -\frac{dP}{P} - \frac{f \frac{2}{D_h} \rho V^2}{P} dx + \frac{1}{PA} (V - V_{add,x}) d\dot{m}_{add} + \frac{\rho V}{P} dV = 0 $$ Ricordando $P = \rho R T$ e $V = M \sqrt{\gamma R T}$: $$ -\frac{dP}{P} - \frac{f \frac{2}{D_h} (\rho V^2)}{P} dx + \frac{1}{PA} (V - V_{add,x}) d\dot{m}_{add} + \gamma M^2 \frac{dV}{V} = 0 $$ Quindi: $$ -\frac{dP}{P} - \frac{f \frac{2}{D_h} \gamma P M^2}{P} dx + \frac{1}{PA} (V - V_{add,x}) d\dot{m}_{add} + \gamma M^2 \left( \frac{dM}{M} + \frac{1}{2} \frac{dT}{T} \right) = 0 $$ 3. **Dalla Conservazione dell'Energia**: $$ \dot{m} c_p dT_0 = d\dot{Q}_{add} + (h_{0,add} - c_p T_0) d\dot{m}_{add} $$ Dove $T_0 = T(1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2)$, quindi $dT_0 = dT(1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2) + T(\gamma-1) M dM$. Sostituire e riorganizzare per ottenere $dT/T$ o $dM/M$ in funzione degli altri termini. #### 2. Sistema di Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE) L'obiettivo è ottenere un sistema di ODE del tipo: $$ \frac{dM}{dx}, \frac{dP}{dx}, \frac{dT}{dx} $$ In funzione di $M, P, T, \rho, A, V$ e dei termini di attrito, calore e aggiunta di massa. Un approccio comune è risolvere il sistema lineare risultante da queste equazioni per i differenziali $dM, dP, dT$. Ad esempio, per un flusso generico con tutti i termini: $$ \frac{dM}{M} (1-M^2) = \frac{dA}{A} (1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2) - \frac{d\dot{m}_{add}}{\dot{m}} (1 + \frac{\gamma-1}{2} M^2) + \dots $$ Le espressioni possono diventare molto lunghe. Per un'analisi completa, fare riferimento a testi avanzati di gasdinamica (es. Shapiro, Zucrow & Hoffman). #### 3. Metodo di Soluzione Numerica - **Discretizzazione**: Dividere il condotto in $N$ piccoli segmenti $\Delta x$. - **Integratore ODE**: Utilizzare un metodo numerico come il metodo di Runge-Kutta (RK4) per integrare il sistema di ODEs. - **Passo 1**: Calcolare i termini di sorgente (attrito, calore, massa aggiunta) per le condizioni attuali ($M, P, T$) in un punto $x$. - **Passo 2**: Calcolare le derivate $dM/dx, dP/dx, dT/dx$. - **Passo 3**: Aggiornare le variabili per il punto successivo $x + \Delta x$. - **Condizioni al Contorno**: - Spesso si conoscono le condizioni all'ingresso o all'uscita. - Se si hanno condizioni ad entrambi gli estremi (problema ai limiti), potrebbe essere necessario un metodo "shooting" o un risolutore di problemi ai limiti. - **Esempio Esercizi**: $P_{s1}$ e $P_{s9}$ (o $P_{s12}$) sono dati. Questo implica che si potrebbe dover integrare da un'estremità all'altra e aggiustare una condizione iniziale (es. $M_1$) finché la condizione finale non è soddisfatta. #### 4. Gestione della Combustione del Propellente - La velocità di combustione $r = a P^n$ dipende dalla pressione locale $P$. - L'area di combustione $A_b$ può variare con l'erosione o la forma del grano. - In ogni segmento $\Delta x$, calcolare $P$, poi $r$, poi $d\dot{m}_{add}$, $d\dot{Q}_{add}$ (se la combustione è anche una fonte di calore esplicita oltre all'entalpia del gas aggiunto). - **Interazione Flusso-Combustione**: La pressione influenza la combustione, che influenza l'aggiunta di massa/energia, che influenza il flusso, che influenza la pressione... questo è un ciclo di feedback che il risolutore numerico deve gestire. ### Considerazioni Particolari per gli Esercizi Proposti #### Esercizio 1: Condotto con Propellente (Fig. 1) - **Struttura**: Il condotto è composto da più sezioni con diverse caratteristiche: - Sezioni con "Qdot>0": Trattare come Flusso di Rayleigh. - Sezioni con "Fl/d>0": Trattare come Flusso di Fanno. - Segmento con propellente: Aggiunta di massa e calore. - **Punti Chiave**: - `P_s1` (Pressione statica all'ingresso) è data. - `P_s7` (Pressione statica intermedia) è data e variabile per l'analisi. - Il propellente brucia e genera gas con $k, M_m, T_0$. - **Soluzione**: 1. Iniziare da un'estremità (es. ingresso) con le condizioni note. 2. Implementare le equazioni differenziali appropriate per ogni segmento. 3. Integrare numericamente passo-passo. 4. Il problema richiede di "studiare la variazione di $P_{s7}$ da zero in su". Questo implica che si dovrà eseguire l'integrazione per diverse condizioni finali o iniziali, magari usando un metodo di bisezione o "shooting" per trovare la condizione iniziale (es. $M_1$) che porta al $P_{s7}$ desiderato. 5. Assicurati di come l'area $A_b$ è definita per l'aggiunta di massa, se è costante o varia con la combustione. #### Esercizio 2: Condotto Complesso con Propellente e Rayleigh (Fig. 2) - **Struttura**: Ancora più complessa, con sezioni di Rayleigh, Fanno e aggiunta di massa. - **Punti Chiave**: - `P_s1=0`: Questo sembra indicare una pressione statica di riferimento, forse un ingresso a bassa pressione o un problema di non-dimensonalizzazione. Chiarire se è una pressione relativa o assoluta. Se assoluta, un ingresso a $P=0$ è fisicamente irrealizzabile, suggerendo che $P_{s1}$ sia un valore di riferimento o una pressione atmosferica trascurabile. - `P_s12` fissa e non-zero: Condizione all'uscita. - `P_s9=0`: Altra condizione di riferimento. - Segmento 7-8: Aggiunta di massa del propellente. La pressione locale $P$ influenza $r$. - Sezione 10: `P_10 = (P_7 + P_8) / 2`. Questo è un vincolo forte e non comune. Potrebbe indicare una media spaziale o temporale, o una semplificazione geometrica. - **Soluzione**: 1. Questo è un problema ai limiti con condizioni complesse. Potrebbe essere necessario un approccio iterativo: a. Assumere una condizione iniziale (es. $M_1$). b. Integrare numericamente lungo il condotto. c. Verificare le condizioni a $P_{s7}$, $P_{s9}$, $P_{s12}$ e il vincolo su $P_{10}$. d. Aggiustare le condizioni iniziali e ripetere finché tutte le condizioni non sono soddisfatte entro una tolleranza. 2. La variazione di $A_b$ come parametro di analisi implica la ripetizione dell'intero processo di soluzione per diversi valori di $A_b$. 3. La presenza di tre pressioni note ($P_{s1}$, $P_{s9}$, $P_{s12}$) e un vincolo su $P_{10}$ rende il problema altamente vincolato. È fondamentale definire le variabili indipendenti da cui dipende la soluzione (es. $M_1$, $M_7$, ecc.) e le funzioni obiettivo per il processo iterativo. ### Strumenti e Codifica - **Linguaggi di Programmazione**: Python (con librerie come SciPy per ODE solvers), MATLAB, C++. - **Librerie Utili**: - `scipy.integrate.solve_ivp` (Python) per sistemi di ODEs. - `fsolve` (Python/MATLAB) per trovare radici di sistemi di equazioni non lineari (utile per problemi ai limiti). - **Visualizzazione**: Plot di $M, P, T, \rho$ vs. $x$ sono fondamentali per capire il comportamento del flusso. Diagrammi di Fanno e Rayleigh possono essere usati per interpretare i risultati. ### Glossario e Simboli Comuni - $A$: Area della sezione trasversale - $A_b$: Area di combustione del propellente - $a$: Velocità del suono - $c_p$: Calore specifico a pressione costante - $c_v$: Calore specifico a volume costante - $D$: Diametro del condotto - $D_h$: Diametro idraulico ($4A/P_{wet}$) - $f$: Coefficiente di attrito di Fanning (o Darcy se specificato) - $h$: Entalpia specifica - $h_0$: Entalpia di ristagno specifica - $L$: Lunghezza - $M$: Numero di Mach - $\dot{m}$: Portata massica - $P$: Pressione statica - $P_0$: Pressione di ristagno - $P_{wet}$: Perimetro bagnato - $Q$: Calore - $R$: Costante specifica dei gas - $r$: Velocità di combustione - $T$: Temperatura statica - $T_0$: Temperatura di ristagno - $u$: Energia interna specifica - $V$: Velocità del flusso - $\gamma$: Rapporto dei calori specifici - $\rho$: Densità statica - $\tau_w$: Sforzo di taglio alla parete - Subscript `add`: Riferito al fluido aggiunto (combustione) - Subscript `s`: Static (riferito a pressioni statiche negli esercizi)