하이퍼볼릭 함수

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### 하이퍼볼릭 함수 정의 - **하이퍼볼릭 사인 (sinh):** $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ - **하이퍼볼릭 코사인 (cosh):** $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ - **하이퍼볼릭 탄젠트 (tanh):** $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ - **하이퍼볼릭 코시컨트 (csch):** $\text{csch } x = \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$ - **하이퍼볼릭 시컨트 (sech):** $\text{sech } x = \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ - **하이퍼볼릭 코탄젠트 (coth):** $\coth x = \frac{1}{\tanh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ ### 기본 항등식 - $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ - $1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$ - $\coth^2 x - 1 = \text{csch}^2 x$ ### 합과 차 공식 - $\sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$ - $\cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$ - $\tanh(x \pm y) = \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x \tanh y}$ ### 배각 공식 - $\sinh(2x) = 2 \sinh x \cosh x$ - $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2 \cosh^2 x - 1 = 2 \sinh^2 x + 1$ - $\tanh(2x) = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x}$ ### 미분 (미분률) 하이퍼볼릭 함수의 미분은 다음과 같습니다. 일반 삼각함수와 유사한 형태를 가지지만, 일부 부호에서 차이가 있습니다. - $\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x$ - $\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x$ - $\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x$ - $\frac{d}{dx}(\text{csch } x) = -\text{csch } x \coth x$ - $\frac{d}{dx}(\text{sech } x) = -\text{sech } x \tanh x$ - $\frac{d}{dx}(\coth x) = -\text{csch}^2 x$ #### 미분률의 의미 미분률은 함수가 변하는 비율을 나타냅니다. 하이퍼볼릭 함수의 경우, 각 지점에서 함수의 기울기를 나타내며, 이는 공학, 물리학 등 다양한 분야에서 곡선의 변화율을 분석하는 데 사용됩니다. 예를 들어, $\sinh x$의 미분은 $\cosh x$인데, 이는 $\sinh x$ 그래프의 특정 지점에서의 접선 기울기가 그 지점에서의 $\cosh x$ 값과 같다는 것을 의미합니다. ### 적분 - $\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$ - $\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$ - $\int \text{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C$ - $\int \text{csch}^2 x \, dx = -\coth x + C$ - $\int \text{sech } x \tanh x \, dx = -\text{sech } x + C$ - $\int \text{csch } x \coth x \, dx = -\text{csch } x + C$ ### 역 하이퍼볼릭 함수 - **정의:** - $\text{arsinh } x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ - $\text{arcosh } x = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$, $x \ge 1$ - $\text{artanh } x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, $|x|