Aljebraa Liineerii

Cheatsheet Content

1. Veektaroota Hiikkaa: $\vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)$ Dheerina Veektarii: $\| \vec{v} \| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}$ Iddoo Veektarootaa: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, ..., u_n+v_n)$ Baay'isuu Iskaalariin: $c\vec{v} = (cv_1, cv_2, ..., cv_n)$ Baay'isuu Tuqaa (Dot Product): $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)$ Baay'isuu Qaxxaamuraa (Cross Product, 3D qofa): $\vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)$ 2. Maatiriksii Hiikkaa: Tarree fi sarara qabu. Maatiriksii $m \times n$ jechuun $m$ sararaa fi $n$ tarree qaba. Iddoo Maatriksii: $A+B$ kan danda'amu yoo guddinni isaanii wal fakkaata ta'e. Baay'isuu Iskaalariin: $cA$ Baay'isuu Maatriksii: $AB$ kan danda'amu yoo tarreen $A$ fi sararri $B$ wal qixa ta'an. Yoo $A$ $m \times n$ fi $B$ $n \times p$ ta'an, $AB$ $m \times p$ ta'a. $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$ Maatiriksii Tiraansipoosii: $A^T$ sararri gara tarree, tarreen gara sararaatti jijjiiramu. $(A^T)_{ij} = A_{ji}$ Maatiriksii Eenyummaa: $I$ ykn $I_n$ (diiyaanoogalii irratti 1, kan biroo 0). $AI = IA = A$ Maatiriksii Invarsii: $A^{-1}$ (yoo jiraate) kan $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ ta'u. $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ Maatiriksii 2x2 Invarsii: Yoo $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ta'e, $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ 3. Deteerminaantii Hiikkaa: Iskaalarii maatiriksii murtaa'eef. $\det(A)$ ykn $|A|$ Deteerminaantii 2x2: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies \det(A) = ad-bc$ Deteerminaantii 3x3 (Sarrus' Rule): $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ $\det(A) = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$ Amaloota: $\det(A^T) = \det(A)$ $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ Yoo sararri ykn tarreen lama wal fakkaatan, $\det(A) = 0$. Yoo sararri ykn tarreen guutuu 0 ta'e, $\det(A) = 0$. 4. Sirna Walqixxummaa Liineerii Furamuu Foormii Maatriksii: $A\vec{x} = \vec{b}$ Furmaata Invarsii Fayyadamuun: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ (yoo $A^{-1}$ jiraate) Meezodii Gaasii-Jooridaan: $[A | \vec{b}] \sim [I | \vec{x}]$ Seera Kireemer: $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ Achitti $A_i$n maatiriksii $A$ tarree $i$-ffaa veektaroota $\vec{b}$n bakka buusuun argamudha. 5. Veektaroota Iiganii fi Waardiyyaa Iiganii Hiikkaa: $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ Achitti $\vec{v}$n veektara iiganii (kan hin du'in) fi $\lambda$n waardiyyaa iiganii ti. Waardiyyaa Iiganii Argachuu: Fuula amala furaa $\det(A - \lambda I) = 0$. Veektaroota Iiganii Argachuu: Waardiyyaa iiganii tokko tokkoon, sirna $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ furi. 6. Sadarkaa fi Bakka Bakka Tarree (Column Space): Tarreewwan $A$ walitti makamuun veektaroota hundaa uumuu danda'an. $\text{Col}(A)$ Sadarkaa (Rank): Baay'ina tarreewwan ykn sararoota liineerii of danda'anii. $\text{rank}(A)$ Bakka Duwwaa (Null Space): Hundee $A\vec{x} = \vec{0}$ furmaanni isaa $\vec{x}$. $\text{Null}(A)$ Duwwaa (Nullity): Baay'ina veektaroota bu'uura bakka duwwaa keessa jiran. $\text{nullity}(A)$ Teoreemii Sadarkaa-Duwwaa: $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$ (achitti $n$ baay'ina tarreewwan $A$ ti). 7. Diiyaagonalaayzeeshinii Maatiriksii $A$ diiyaagonalaayzii ta'uu danda'a yoo $A = PDP^{-1}$ ta'e, achitti $D$n maatiriksii diiyaagonalaawaa waardiyyaa iiganii $A$ qabudha, fi $P$n maatiriksii veektaroota iiganii $A$ tarree isaa keessatti qabudha. Maatiriksii tokko diiyaagonalaayzii ta'uu danda'a yoo baay'ina veektaroota iiganii liineerii of danda'anii $n$ qabaate ($n$ guddina maatiriksii ti). 8. Baay'isuu Kutaa Baay'isuu Kutaa (Inner Product): $ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle $ Amaloota: $ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle $ $ \langle \vec{u} + \vec{v}, \vec{w} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{w} \rangle + \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle $ $ \langle c\vec{u}, \vec{v} \rangle = c \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle $ $ \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle \ge 0 $ fi $ \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = 0 $ yoo fi yoo $\vec{v} = \vec{0}$ qofa ta'e. Ispeesiin Yuukiliidiyaan: Baay'isuu tuqaa baay'isuu kutaa ti. 9. Ortogoonaalii fi Ortoonormaalaa Veektaroota Ortogoonaalii: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ Seetii Ortogoonaalii: Veektaroota hundaa kan walitti ortogoonaalii ta'an. Seetii Ortoonormaalaa: Seetii ortogoonaalii kan veektarri tokkoon tokkoon isaanii dheerina 1 qaban. Maatiriksii Ortogoonaalii: $Q^TQ = QQ^T = I$ 10. Tilmaama Xiqqaa Kuwaadiraatikii Sirna $A\vec{x} = \vec{b}$ kan furmaata hin qabneef, furmaanni tilmaama xiqqaa kuwaadiraatikii kan $\| A\vec{x} - \vec{b} \|$ xiqqeessuudha. Furmaanni isaa walqixxummaa "normaalii" jedhamuun kennama: $A^TA\vec{x} = A^T\vec{b}$