전기기사 기초수학 치트시트

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### 전기기사 기초수학 개요 이 치트시트는 전기기사 자격증 취득에 필요한 모든 수학적 개념을 다룹니다. 문자와 식의 기본부터 함수, 그래프, 그리고 복잡한 다항식 계산까지, 전기기사 시험 문제에 필요한 수학적 사고력을 키울 수 있도록 구성되었습니다. 특히, 수학 기초가 부족한 학습자를 위해 모든 개념과 풀이 과정을 상세하게 설명하여, 누구나 쉽게 이해하고 적용할 수 있도록 돕습니다. #### 학습 목표 * 전기기사 시험에 필요한 수학적 개념 완벽 이해 * 복잡한 전기 공식에서 생략된 규칙 파악 및 계산 간소화 * 전기기사 기출문제에 수학 개념을 적용하는 능력 향상 * 수학적 지식 없이도 개념과 풀이를 소화할 수 있도록 상세한 설명 제공 #### 이 치트시트의 특징 * **상세한 계단식 설명:** 수학적 기초 지식이 없는 학습자도 이해할 수 있도록 모든 전개 과정을 최대한 자세히 쪼개서 설명합니다. * **개념 이해를 돕는 예시 문제:** 각 목차마다 개념을 확실히 다질 수 있는 예시 문제를 추가했습니다. * **전기기사 적용 문제:** 해당 수학 개념이 실제 전기기사 문제에 어떻게 적용되는지 보여주는 문제를 포함합니다. * **KaTeX를 사용한 수식 표기:** 실제 교재처럼 깔끔하고 정확한 수식 표기를 제공합니다. ### 02 문자와 식의 기본 규칙 및 생략 원칙 전기기사 시험에서 문자와 식을 다룰 때 가장 중요하게 기억해야 할 규칙은 수학적 표현을 간소화하는 것입니다. 이는 계산의 효율성을 높이고 복잡한 식을 명확하게 이해하는 데 필수적입니다. #### 1. 수학적 표현의 간소화 원칙 수학은 내용을 빠르고 간단하게 표현하기 위한 규칙을 가지고 있습니다. 시간이 조금이라도 빨라진다면 과감하게 버리거나 생략합니다. * **곱셈 기호($\times$)의 생략:** * 숫자와 문자 사이의 곱셈 기호는 생략합니다. * 예시: $3 \times x$ 는 $3x$ 로 표현합니다. * 특히, 숫자 $1$과 문자 사이의 곱셈은 $1$을 생략합니다. * 예시: $1 \times x$ 는 $x$ 로 표현합니다. * **거듭제곱 (지수):** * 같은 문자를 여러 번 곱할 때는 거듭제곱(지수)을 사용합니다. * 예시: $x \times x \times x$ 는 $x^3$ 으로 표현합니다. * 거듭제곱에서 숫자는 문자 밑에 쓰는 것이 아니라 위에 씁니다. * 거듭제곱은 '지수'라고도 하며, $x^3$ 을 'x의 3승' 또는 'x 세제곱'이라고 표현합니다. * **나눗셈 기호($\div$)의 분수 표현:** * 나눗셈은 분수로 표현합니다. * 예시: $3 \div 4$ 는 $\frac{3}{4}$ 으로 표현합니다. #### 2. 공통 인수를 이용한 묶음과 분배 법칙 * **공통 인수로 묶기:** 공통된 문자가 포함된 식은 공통 인수를 괄호 밖으로 빼서 묶을 수 있습니다. * 예시: $5x + 6x$ 는 $x(5 + 6)$ 로 표현합니다. * 괄호 안에는 사실 곱하기($\times$)가 생략되어 있습니다. * 공통 인수를 뺄 때, 숫자나 문자는 항상 괄호 앞에 써줍니다. (예: $5 + 6x$ 나 $(x + y + z)3$ 처럼 뒤에 쓰지 않습니다.) * **분배 법칙:** 괄호 밖의 공통 인수를 괄호 안의 각 항에 곱하여 식을 전개하는 것을 분배 법칙이라고 합니다. * 예시: $3(x + y + z)$ 는 $3x + 3y + 3z$ 로 쓸 수 있습니다. #### 3. 계산의 우선순위와 나누기 표현 * **괄호의 우선순위:** 복잡한 식에서는 계산의 우선순위가 있으며, 순서에 따라 값이 달라지므로 반드시 기억해야 합니다. 1. 1순위: 소괄호 $(\quad)$ 2. 2순위: 중괄호 $\{\quad\}$ 3. 3순위: 대괄호 $[\quad]$ * **나눗셈의 표현:** * 나눗셈($\div$)은 분수로 바꿀 수 있습니다. * 예시: $3 \div 4$ 는 $\frac{3}{4}$ 로 표현합니다. * 나눗셈은 곱셈으로 변경할 수 있으며, 이때 나누는 수의 역수를 곱합니다. * 예시: $3 \div 4$ 는 $3 \times \frac{1}{4}$ 로 변경됩니다. * 여기서 $3 \times \frac{1}{4}$ 은 $3$이 분자($\frac{3}{1}$)에 곱해져야 하므로 $\frac{3}{4}$ 이 됩니다. (분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱합니다.) #### 4. 전기 개념에서의 문자 사용 규칙 * **첨자 (Subscript):** $V_m, P_m$ 과 같은 표현은 특정 개념(예: 전압, 전력)을 구분하기 위해 이름을 붙인 명칭일 뿐이므로, 너무 신경 쓰지 않아도 됩니다. 하지만 $V^2$ (V 제곱)은 V를 두 번 곱했다는 뜻으로, 첨자와는 다릅니다. * **곱셈 기호의 표현:** 곱하기는 생략하거나 점($\cdot$)으로 표현할 수 있습니다. * 예시: $3 \times x$ 는 $3 \cdot x$ 또는 $3x$ 로 표현합니다. * **숫자의 위치 (계수):** * 문자식에서 숫자는 항상 문자 앞에 써야 합니다. * 예시: $x \times 7$ 을 $x7$ 로 쓰지 않고 $7x$ 로 씁니다. * 이는 룰이며, 정리하기 편하게 하고 $x3$ 처럼 보일 수 있는 혼란을 방지하기 위함입니다. * 문자 앞에 곱해진 수를 '계수'라고 부릅니다. * **첨자와 지수의 구분:** * 첨자는 오른쪽 아래에 이름을 붙여주는 용도로 사용됩니다. (예: $V_m, V_t$) * 지수(거듭제곱)는 오른쪽 위에 쓰며, 몇 번 곱했는지를 나타냅니다. (예: $2^2$ 는 $2$를 $2$번 곱했다는 뜻) * **괄호의 순서 복습:** 괄호의 순서는 소괄호 $(\quad) \to$ 중괄호 $\{\quad\} \to$ 대괄호 $[\quad]$ 순입니다. #### 예시 문제 **1. 다음 식을 간소화하시오.** $5 \times a \times b \times 2 \times a$ **풀이:** 1. 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 모읍니다. $5 \times 2 \times a \times a \times b$ 2. 숫자를 곱합니다. $10 \times a \times a \times b$ 3. 같은 문자는 거듭제곱으로 표현합니다. $10a^2b$ **2. 다음 식을 분배 법칙을 이용하여 전개하시오.** $4(x - 2y + 5)$ **풀이:** 1. 괄호 밖의 숫자 $4$를 괄호 안의 모든 항에 곱합니다. $4 \times x + 4 \times (-2y) + 4 \times 5$ 2. 각 항을 계산합니다. $4x - 8y + 20$ **3. 다음 식을 계산하시오.** $10 - \{5 \times (3 + 1) - 2\}$ **풀이:** 1. 가장 안쪽의 소괄호부터 계산합니다. $3 + 1 = 4$ 2. 소괄호 계산 결과를 대입하여 중괄호 안을 계산합니다. $5 \times 4 - 2 = 20 - 2 = 18$ 3. 중괄호 계산 결과를 대입하여 최종 계산합니다. $10 - 18 = -8$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 어떤 회로에 흐르는 전류 $I$는 전압 $V$에 비례하고 저항 $R$에 반비례합니다. 이를 식으로 표현하면 $I = \frac{V}{R}$ 입니다. 만약 전압 $V = 10 \text{V}$ 이고 저항 $R = 2 \text{Ω}$ 일 때, 전류 $I$를 구하시오.** **풀이:** 1. 주어진 식 $I = \frac{V}{R}$ 에 $V = 10$ 과 $R = 2$ 를 대입합니다. $I = \frac{10}{2}$ 2. 나눗셈을 계산합니다. $I = 5$ 3. 따라서 전류는 $5 \text{A}$ 입니다. ### 02 문자를 사용한 식의 활용 및 대입 개념 문자를 사용한 식은 복잡한 상황을 간결하게 표현하고, 특정 값을 대입하여 결과를 예측하는 데 사용됩니다. 전기기사 문제에서도 이러한 개념은 매우 중요하게 활용됩니다. #### 1. 나누기 기호의 생략과 분수 표현 * 수학에서는 나누기 기호($\div$)를 보기 힘들며, 전기기사 개념에서도 나누기 대신 분수라는 편한 방법을 사용합니다. * 예시: $x \div 5$ 는 $\frac{x}{5}$ 로 표현합니다. * 분수는 나중에 심화 개념으로 배우게 되며, 미리 들어두면 나중에 기억하는 데 도움이 됩니다. #### 2. 문자를 이용한 식 세우기 및 거스름돈 계산 * **식으로 나타내기:** 아이스크림 1개 가격이 1,000원일 때, 아이스크림 $x$개의 가격은 $1000x$ 로 나타낼 수 있습니다. * 이때도 숫자는 문자 앞에 써주는 룰을 지켜야 합니다. (예: $x1000$ 은 규칙을 어기는 것입니다.) * **거스름돈 계산:** 5,000원을 내고 아이스크림 $x$개를 샀을 때의 거스름돈은 낸 돈에서 아이스크림 가격을 빼야 하므로, $5000 - 1000x$ 로 문자를 이용한 식을 쓸 수 있습니다. * **출제 빈도:** 문자를 이용한 식은 많이 나오지는 않지만 어느 정도 출제됩니다. #### 3. 대입과 식의 값 계산 원칙 * **대입의 정의:** '대입'은 '대신 넣다'라는 뜻입니다. * **대입 계산:** 식 $3x = y$ 에서 $x$ 에 $2$를 대입하면 $y$ 는 $3 \times 2 = 6$ 이 됩니다. * **식의 값:** 식에 어떤 값을 대입하여 계산한 최종 결과를 '식의 값'이라고 합니다. * **대입 시 곱셈 개념 적용:** * $3x$ 에 $x = 2$ 를 대입할 때, $32$ (삼십이)가 되는 것이 아니라, 원래 생략되어 있던 곱하기($\times$) 개념을 넣어 $3 \times 2$ 로 계산해야 합니다. * **음수 대입 시 괄호 사용:** * 대입하는 수가 음수일 때는 반드시 괄호를 사용해야 합니다. * 괄호와 연결된 수는 곱하기가 생략된 것이므로, 식 $3x = y$ 에 $x = -3$ 을 대입하면 $3(-3)$ 이 되어 $y = -9$ 가 됩니다. * 괄호를 사용하지 않으면 $3 -3$ 처럼 보여 $0$으로 오해할 수 있기 때문에, 음수 값은 괄호를 사용하여 넣어줍니다. #### 예시 문제 **1. 다음 식의 값을 구하시오.** $4x + 7$ 에서 $x = -2$ 일 때 **풀이:** 1. $x$ 대신 $-2$를 괄호를 사용하여 대입합니다. $4 \times (-2) + 7$ 2. 곱셈을 먼저 계산합니다. $-8 + 7$ 3. 덧셈을 계산합니다. $-1$ **2. 한 변의 길이가 $a$인 정사각형의 넓이를 구하는 식은 $A = a^2$ 입니다. 만약 $a = 5 \text{cm}$ 일 때, 넓이 $A$를 구하시오.** **풀이:** 1. 식 $A = a^2$ 에 $a = 5$ 를 대입합니다. $A = 5^2$ 2. 거듭제곱을 계산합니다. $A = 5 \times 5 = 25$ 3. 따라서 넓이는 $25 \text{cm}^2$ 입니다. #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 어떤 저항체에 흐르는 전류 $I$는 $I = 2t + 3$ 으로 주어집니다. 여기서 $t$는 시간(초)을 나타냅니다. $t = 5$초일 때, 전류 $I$의 값을 구하시오.** **풀이:** 1. 주어진 식 $I = 2t + 3$ 에 $t = 5$ 를 대입합니다. $I = 2 \times 5 + 3$ 2. 곱셈을 먼저 계산합니다. $I = 10 + 3$ 3. 덧셈을 계산합니다. $I = 13$ 4. 따라서 $t = 5$초일 때 전류는 $13 \text{A}$ 입니다. ### 03 소수, 단항식/다항식, 차수, 동류항 개념 수학적 표현을 이해하고 전기기사 문제를 해결하기 위해서는 소수, 단항식/다항식, 차수, 동류항 등 기본적인 대수 개념을 정확히 알아야 합니다. #### 1. 소수와 문자의 곱셈 규칙 * **소수의 정의:** 소수는 분수($\frac{2}{5}$ 등)를 좀 더 간단하고 보기 편하게 나타낸 것입니다. * 예시: $\frac{1}{10}$ 은 $0.1$, $\frac{1}{100}$ 은 $0.01$ 입니다. * **소수와 문자의 곱셈:** 소수와 문자의 곱셈에서는 $1$이 생략되는 규칙을 적용하지 않습니다. * 예시: $0.1 \times x$ 를 $0.x$ 로 쓰지 않고 $0.1x$ 로 표현합니다. * 이는 소수는 규칙이 있고, $2.2$와 문자 $x$ 가 붙어 있으면 헷갈릴 수 있기 때문입니다. * **1로 나누기 생략:** 어떤 수를 $1$로 나누는 것은 생략합니다. * 예시: $5 \div 1$ 은 $5$이므로 생략합니다. #### 2. 다항식의 구성 요소 (항, 계수, 상수, 변수) * **다항식과 1차식:** * **다항식:** 항이 많은 식을 의미합니다. * **1차식:** $x^2, x^3$ 처럼 거듭제곱이 있는 것이 아니라, $x$ 나 $y$ 로만 이루어져 있는 식을 뜻합니다. * **항 (Term):** 덧셈($+$)이나 뺄셈($-$)으로 연결된 각각의 부분을 '항'이라고 합니다. * 예시: $3x - 2y + 9$ 는 $3$개의 항($3x$, $-2y$, $9$)으로 이루어져 있습니다. * **계수 (Coefficient):** 문자에 곱해져 있는 수를 '계수'라고 합니다. * 예시: $3x$ 의 계수는 $3$, $-2y$ 의 계수는 $-2$ 입니다. * **상수 (Constant):** 문자 없이 숫자만 있는 항으로, 항상 같은 수입니다. * 예시: $3x - 2y + 9$ 에서 $9$는 '상수'입니다. * **변수 (Variable):** $x, y$ 처럼 값에 따라 숫자가 계속 변하는 문자를 '변수'라고 합니다. * 예시: $-2y$ 에서 $y$ 가 $3$이면 $-6$, $y$ 가 $6$이면 $-12$가 됩니다. #### 3. 단항식, 다항식, 차수 개념 * **단항식과 다항식:** * **단항식:** 항이 하나밖에 없는 식입니다. (예: $3x$) * **다항식:** 항이 $2$개 이상인 식입니다. (예: $3x + 1$, $3x + y + 2$) * **차수 (Degree):** * 거듭제곱(지수)을 '차수'라고도 표현합니다. (예: $x^3$ 은 $3$차) * $x$ 의 차수는 $1$이 생략되어 있으므로 $1$차입니다. * **다항식의 차수:** 다항식의 차수는 항들 중 제일 큰 차수를 말해줍니다. * 예시: $x^3 + 2x + 2$ 는 $3$차, $1$차, 상수항으로 이루어져 있으므로 $3$차 다항식입니다. * 예시: $x^5 + 3x$ 는 $5$차와 $1$차식이 합쳐진 $5$차 다항식입니다. #### 4. 분배 법칙과 교환 법칙 * **분배 법칙 (복습):** 괄호로 묶여 있는 식에 수를 곱할 때는 괄호 안의 모든 항에 똑같이 곱해줘야 합니다. * 예시: $3(5 + 6x)$ 는 $3 \times 5 + 3 \times 6x = 15 + 18x$ 입니다. * **교환 법칙:** * 곱하기는 순서를 바꿔도 값이 같습니다. (예: $3 \times 1$ 이나 $1 \times 3$ 은 같습니다.) * 따라서 $(5 + 6x)3$ 처럼 $3$이 뒤에 있어도, $3$을 앞으로 빼서 $3(5 + 6x)$ 와 똑같이 계산할 수 있습니다. * **나눗셈의 분수화 (복습):** 괄호로 묶인 식의 나눗셈은 분수로 바꿀 수 있습니다. * 예시: $(5x + 2) \div 3$ 은 $\frac{5x + 2}{3}$ 로 쓸 수 있습니다. #### 예시 문제 **1. 다음 식에서 항, 계수, 상수, 변수를 구분하시오.** $5y^2 - 7x + 12$ **풀이:** * **항:** $5y^2$, $-7x$, $12$ * **계수:** $y^2$ 의 계수는 $5$, $x$ 의 계수는 $-7$ * **상수:** $12$ * **변수:** $y$, $x$ **2. 다음 다항식의 차수를 구하시오.** $3a^4 - 2a^2 + 6a - 1$ **풀이:** 1. 각 항의 차수를 확인합니다. * $3a^4$: $4$차 * $-2a^2$: $2$차 * $6a$: $1$차 * $-1$: 상수항 (0차) 2. 다항식의 차수는 가장 높은 차수이므로, 이 다항식은 $4$차 다항식입니다. #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 어떤 회로의 임피던스 $Z$는 $R + jX$ 로 표현될 때, $R$을 '저항'이라 하고 $X$를 '리액턴스'라 합니다. 여기서 $j$는 허수 단위입니다. 만약 $Z = 5 + j3$ 이라는 임피던스 식이 주어졌을 때, 이 식에서 항, 계수, 상수, 변수에 해당하는 것을 설명하시오.** **풀이:** 이 문제는 복소수 개념이 포함되어 있지만, 기본 대수 개념으로 접근할 수 있습니다. * **항:** $5$와 $j3$이 각각 항으로 볼 수 있습니다. (엄밀히 말하면 복소수 전체가 하나의 수이지만, 대수적인 관점에서 분리해서 생각할 수 있습니다.) * **계수:** $j3$에서 $j$에 곱해진 숫자 $3$이 계수입니다. * **상수:** $5$는 문자 없이 숫자만 있는 항이므로 상수입니다. (실수부) * **변수:** 이 식 자체에는 명시적인 변수($x, y$ 등)가 없습니다. $j$는 허수 단위로 정의된 상수이며, $R$과 $X$는 일반적으로 변수가 아닌 특정 값을 나타내는 기호로 사용됩니다. 만약 $R$이나 $X$가 변화한다면 그때는 변수가 될 수 있습니다. (여기서는 고정된 값으로 간주) ### 04 동류항 개념과 전기기사 기출문제 적용 동류항은 문자와 차수가 같은 항을 의미하며, 이들을 묶어서 정리하는 것은 복잡한 식을 간소화하고 계산 오류를 줄이는 데 매우 중요합니다. 전기기사 기출문제에서는 다양한 형태로 동류항 개념이 적용됩니다. #### 1. 동류항의 정의와 계산 * **동류항 (Like Terms):** 문자와 차수가 같은 항을 동류항이라고 합니다. * 예시: $x^2$ 과 $x$ 는 문자는 같지만 차수가 다르므로 동류항이 아닙니다. * 예시: $3x^3, 5x^3$ 은 문자($x$)와 차수($3$차)가 같고 숫자(계수)만 다르므로 동류항입니다. * **동류항의 계산:** 동류항끼리는 공통된 문자와 차수를 묶어주고, 계수끼리 더하거나 뺄 수 있습니다. * 예시: $5b + 7b$ 는 $b(5 + 7)$ 로 묶어 $12b$ 가 됩니다. * **음수와 분배 법칙:** 괄호 앞에 마이너스($-$)가 있으면 $-1$이 생략된 것으로 간주하고 분배 법칙을 적용합니다. * 예시: $-(x + z)$ 는 $-1 \times x + (-1) \times z$ 이므로 $-x - z$ 가 됩니다. * **통분:** 분모를 통일해 주는 개념으로, 복잡한 분수 계산에 필요하며 나중에 더 깊게 다룹니다. * **동류항끼리 계산:** 식 $-11x + 5 + 3x + 7$ 에서 동류항끼리 더합니다. * $x$ 항: $-11x + 3x = -8x$ * 상수항: $5 + 7 = 12$ * 결과: $-8x + 12$ #### 2. 전기기사 기출문제에 적용된 동류항 개념 * **기출문제 분석의 목적:** 전기 개념을 모르는 상태라도, 오늘 배운 수학 개념(차수, 지수, 동류항, 곱셈/나눗셈 생략 등)이 실제 전기기사 기출문제에 어떻게 적용되는지 확인하는 것이 목적입니다. * **동류항 묶기 사례 1 (분수식):** 복잡한 분수식에서 공통된 부분($\frac{1}{s}$)을 동류항으로 인식하고 묶어줍니다. * **동류항 묶기 사례 2 (문자식):** * $ys + ys$ 와 같은 식에서 $ys$ 가 공통이므로 묶어줍니다. * 이때 그냥 $ys$ 는 $1 \times ys$ 가 생략된 것이므로, $(1+1)ys = 2ys$ 로 묶어줍니다. (원문 예시 $ys + ys$ 로 묶으면 $(s+1)ys$ 와 같은 형태가 되는데, 이는 $y$와 $s$를 각각 다른 문자로 보고 $ys$를 하나의 항으로 본 경우입니다. 일반적으로는 $ys + ys = 2ys$ 입니다. 원문의 $(s+1)ys$ 예시는 $ys + y$ 일 때 $y(s+1)$ 처럼 $y$로 묶는 경우에 해당합니다.) * 동류항은 묶어주고, 계수는 앞으로 빼줍니다. * **동류항 묶기 사례 3 (이항과 묶음):** 이항($R_1$을 옆으로 넘기는 것)은 다음 장에서 다루지만, 이항 후 $NR_1 - R_1$ 에서 $R_1$ 이 동류항이므로 $(N - 1)R_1$ 로 묶어줍니다. * **복소수 개념에서의 동류항:** 복소수 개념(허수 $j$ 포함)에서는 실수는 실수끼리, 허수는 허수($j$)끼리만 계산합니다. * 예시: $2 + 10j + 20 + j$ 에서 실수는 $2 + 20 = 22$, 허수는 $10j + j = 11j$ 가 됩니다. * **지수함수에서의 동류항:** 지수함수 파트에서 다룰 내용이지만, $e^{ax}$ 나 삼각함수($\sin, \cos, \tan$)와 같은 복잡한 모양이 똑같으면 동류항으로 보고 계수끼리 묶어줍니다. * 예시: $6e^{ax} + 11e^{ax}$ 는 $(6 + 11)e^{ax}$ 로 묶습니다. * **최종 계산 사례:** 복잡한 식 $(16 - 2j) + (-20 - 9j) + (10j)$ 에서 실수($16 - 20 = -4$)는 $-4$, 허수($-2j - 9j + 10j = -j$)는 $-j$ 가 되어 최종적으로 $-4 - j$ 가 됩니다. (원문 예시와 결과가 다름, 원문은 $16-2j -20-9j+10j = (16-20) + (-2-9+10)j = -4 -j$. 원문 결과 $-6-j$는 오류로 보입니다. 정확한 계산 과정을 따랐습니다.) #### 3. 마무리 및 학습 전략 * **난이도:** 전기기사 기출문제는 매우 어렵지만, 차근차근 학습하면 됩니다. * **수학 학습 기간:** 수학은 빨리 하면 $2 \sim 3$주, 길게 가져가면 $1 \sim 2$달 만에 끝낼 수 있습니다. * **학습 목표:** 배운 수학 개념이 실제 기출문제에 어떻게 적용되는지를 확인하는 것이 중요합니다. * **복습 전략:** 개념을 한 번에 외우려 하지 말고, 차근차근 눈에 익히고 기본 문제를 풀어보면서 복습해야 합니다. #### 예시 문제 **1. 다음 식을 동류항끼리 정리하시오.** $7a + 3b - 2a + 5b - 1$ **풀이:** 1. 같은 문자끼리 묶습니다. $(7a - 2a) + (3b + 5b) - 1$ 2. 각각의 동류항을 계산합니다. $5a + 8b - 1$ **2. $4x^2 + 3x - 2 + x^2 - 5x + 7$ 을 간단히 하시오.** **풀이:** 1. 같은 차수의 항끼리 묶습니다. $(4x^2 + x^2) + (3x - 5x) + (-2 + 7)$ 2. 각각의 동류항을 계산합니다. $(4+1)x^2 + (3-5)x + (7-2)$ $5x^2 - 2x + 5$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 어떤 회로의 전력 $P$는 $P = I^2R + 2I^2R_L - 0.5I^2R$ 로 표현될 때, 이 식을 간단히 하시오. ($I^2R$은 하나의 동류항으로 간주)** **풀이:** 1. 식에서 $I^2R$을 공통된 문자와 차수로 가지는 동류항으로 간주합니다. $P = (1)I^2R + (2)I^2R_L - (0.5)I^2R$ 2. $I^2R$ 항끼리 묶어 계산합니다. $(1 - 0.5)I^2R + 2I^2R_L$ 3. 최종적으로 정리합니다. $P = 0.5I^2R + 2I^2R_L$ ### 04 정수와 유리수 계산 전기기사 기초수학에서 정수와 유리수 계산을 배우는 핵심 이유는 차수, 계수, 등식의 성질, 분수의 성질, 음수, 절대값, 덧셈의 계산 법칙, 행렬의 덧셈 등을 알아야 풀 수 있는 문제들이 출제되기 때문입니다. #### 1. 등식과 방정식의 기본 개념 복습 * **등식과 방정식의 정의:** * $3x + 2 = 11$ 과 같은 식에서, 왼쪽에 있는 것을 '좌변', 오른쪽에 있는 것을 '우변'이라고 합니다. * '는' ($=$)으로 연결된 식을 '등식'이라고 하며, 미지수 $x$ 가 포함되어 있으므로 '방정식'이라고 합니다. * $x$ 가 $1$차이므로 $1$차 방정식입니다. * **차수와 계수:** * 차수는 $x^2, x^3$ 처럼 문자 위에 있는 숫자를 의미하며, $3x$ 의 차수는 생략된 $1$이므로 $1$차입니다. * 계수는 $x$ 앞에 곱해져 있는 숫자를 의미하며, $3x$ 의 계수는 $3$입니다. * 차수와 계수는 나중에 전기기사 기출문제를 풀 때 반드시 알아야 하는 개념입니다. #### 2. 방정식 풀이 원칙과 등식의 성질 * **방정식 풀이 원칙:** * 방정식을 풀 때는 미지수 $x$ 가 있는 항은 왼쪽에, 상수(숫자)는 오른쪽에 몰아넣어야 합니다. * 상수를 오른쪽으로 넘기기 위해서는 등식의 성질을 사용해야 합니다. * **등식의 성질을 이용한 풀이 예시 ($3x + 2 = 11$):** * **덧셈/뺄셈의 성질:** 좌변과 우변에 똑같은 수를 빼거나 더해도 등식은 성립합니다. * 양변에 $2$를 빼면 $3x = 9$ 가 됩니다. (좌변 $3x+2-2 = 3x$, 우변 $11-2=9$) * **곱셈/나눗셈의 성질:** $x$ 앞의 계수 $3$을 없애기 위해 양변에 $\frac{1}{3}$ 을 곱하거나 $3$으로 나누어도 등식은 성립합니다. * 양변을 $3$으로 나누면 $\frac{3x}{3} = \frac{9}{3}$ 이 됩니다. * 결과적으로 $x = 3$ 이 됩니다. #### 3. 효율적인 학습 전략 (메타인지 학습법) * **학습 순서:** 개념 공부를 먼저 하고, 그 다음에 기본 문제를 풀어야 합니다. * **기본 문제 풀이 및 복습 전략:** * 기본 문제를 풀 때 문제지에 답을 쓰지 말고, 틀린 문제만 체크합니다. * 틀린 문제만 여러 번 반복하여 숙달하면 무조건 맞출 수 있게 됩니다. * **메타인지의 중요성:** * 공부에서 가장 중요한 것은 '메타인지'이며, 이는 내가 아는 것과 모르는 것을 구분할 줄 아는 능력입니다. * 틀린 것을 체크하고 반복적으로 학습하되, 틀린 문제를 두 번 연속 맞았다면 그때부터는 반복 횟수를 줄여도 됩니다. * **수학 기본기가 부족한 학습자를 위한 조언:** * 이 강의를 듣는 사람들은 수학 기본기가 없거나 오랜만에 공부하는 경우가 많으므로, 기본 문제를 여러 번 풀어 반복 숙달하는 것이 중요합니다. * 교재의 해설이 잘 되어 있으므로, 기본 문제를 다 풀고 막히는 것은 체크한 후 해설지와 맞춰봐야 합니다. * **기출문제 활용:** * 현재 단계에서는 기출문제를 풀 필요는 없으며, 강의에서 기출문제를 언급하는 것은 단원에서 배운 내용이 실제 문제에 어떻게 적용되는지 확인시켜주는 용도입니다. * 개념과 기본 문제만 반복적으로 학습하며 진도를 나가는 것이 중요합니다. #### 4. 분수의 성질과 유리수의 개념 및 계산 원리 * **분수의 기본 개념과 성질:** * **분수의 표현:** 호빵 하나를 반으로 나눈 것은 '절반'이라고 하며, 수학적 기호로는 $\frac{1}{2}$ 로 표현합니다. * 분수에서 아래에 있는 수를 '분모', 위에 있는 수를 '분자'라고 합니다. * $\frac{1}{2}$ 의 뜻은 '두 개로 나눈 것 중에 하나'입니다. * 예를 들어, $4$개 중에 하나는 $\frac{1}{4}$ 로 표현하며, '네 개로 나눈 것 중에 하나'라는 뜻입니다. * **분수의 성질:** 분모와 분자에 똑같은 수를 곱하거나 똑같은 수를 나누어도 분수의 값은 같습니다. * 예시: $\frac{1}{3}, \frac{2}{6}, \frac{3}{9}$ 는 모두 같은 값입니다. $\frac{1}{3}$ 에서 분모, 분자에 $2$를 곱하면 $\frac{2}{6}$ 이 되고, $3$을 곱하면 $\frac{3}{9}$ 이 됩니다. * 분수를 간단하게 만들기 위해 $\frac{2}{10}$ 가 있을 때, 분모와 분자를 똑같이 $2$로 나누어 $\frac{1}{5}$ 로 만들 수 있습니다. * **음수와 마이너스 부호의 위치:** * **음수의 정의:** $-3, -5$ 와 같은 수를 '음수'라고 하며, $0$을 기준으로 왼쪽에 위치합니다. * 음수는 $0$에서 해당 숫자만큼 떨어져 있지만 방향이 왼쪽인 수입니다. * **분수에서의 마이너스 부호 위치:** 분수에서 마이너스 부호는 위치를 자유롭게 바꿀 수 있습니다. * 마이너스는 분수 앞($-\frac{1}{5}$), 분자($\frac{-1}{5}$), 분모($\frac{1}{-5}$)에 쓰는 세 가지 경우가 모두 가능합니다. * 과년도 문제에서 $-\frac{1}{6}$ 이 $\frac{-1}{6}$ 로 바뀌어 나오더라도 같은 값이라는 것을 알아야 합니다. * **수의 체계 (자연수, 정수, 유리수):** * **자연수:** 자연스럽게 셀 수 있는 수로, $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ 와 같이 $1$부터 시작하는 수입니다. * **정수:** 정수는 자연수 (양의 정수), $0$, 음수 (음의 정수: $-1, -2, -3, \dots$) 세 가지를 포함합니다. * **유리수:** 유리수는 정수를 포함하며, 여기에 분수를 포함한 수입니다. * 분수는 $0$과 $1$ 사이의 $\frac{1}{2}$, $1$과 $2$ 사이의 $\frac{3}{2}$, $2$와 $3$ 사이의 $\frac{5}{2}$ 등 모든 분수를 포함합니다. * 소수(예: $0.1, -0.5$)도 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수에 포함됩니다. * 수의 체계 중 유리수가 가장 큰 범위입니다. * **절대값의 개념:** * **절대값의 정의:** 절대값은 $0$부터 해당하는 숫자까지의 거리를 뜻합니다. * 숫자 $a$ 의 절대값은 $|a|$ 로 표현합니다. * **절대값의 특징:** * $|0| = 0, |1| = 1, |-1| = 1$ 입니다. * $0$과 $3$의 거리는 $3$이고, $0$과 $-2$의 거리는 $2$입니다. 거리를 물어보는 것이므로 음수가 나오지 않습니다. * $|-3| = 3, |-5| = 5$ 입니다. * **유리수의 덧셈 원리:** * **부호가 같은 두 수의 덧셈:** 두 수의 절대값의 합에 공통인 부호를 붙입니다. * 양수 예시: $(+\frac{2}{3}) + (+\frac{1}{3})$ 은 절대값의 합 $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ 에 공통 부호 플러스($+$)를 붙여 $+1$ 이 됩니다. * 음수 예시: $(-\frac{2}{3}) + (-\frac{1}{3})$ 은 다음과 같이 계산합니다. * 절대값: $|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}, |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$ * 절대값의 합: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ * 공통 부호: 마이너스($-$)를 붙여 $-1$ 이 됩니다. * 정수 예시: $(-5) + (-3)$ 은 $|-5| + |-3| = 5 + 3 = 8$ 에 공통 부호 마이너스($-$)를 붙여 $-8$ 이 됩니다. * **부호가 다른 두 수의 덧셈:** 절대값이 큰 수의 부호를 붙이고, 두 수의 절대값의 차를 계산합니다. * 예시 1: $(-4) + 3$ * 절대값이 큰 수: $|-4| = 4$ 이므로 부호는 마이너스($-$)입니다. * 절대값의 차: $4 - 3 = 1$ * 결과: $-1$ 입니다. * 예시 2: $5 + (-2)$ * 절대값이 큰 수: $|5| = 5$ 이므로 부호는 플러스($+$)입니다. * 절대값의 차: $5 - 2 = 3$ * 결과: $+3$ 입니다. * 분수 예시: $\frac{1}{3} + (-\frac{4}{3})$ * 절대값이 큰 수: $|-\frac{4}{3}|$ 이 더 크므로 부호는 마이너스($-$)입니다. * 절대값의 차: $\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ * 결과: $-1$ 입니다. #### 5. 덧셈의 계산 법칙과 유리수의 뺄셈 * **덧셈의 계산 법칙:** * **교환 법칙:** 덧셈은 교환 법칙이 성립합니다. * $3 + 4 = 4 + 3$ 으로 결과가 같습니다. * 주의: 뺄셈은 교환 법칙이 성립하지 않습니다. $3 - 4 = -1$ 이고 $4 - 3 = 1$ 이므로 같지 않습니다. * **결합 법칙:** 덧셈은 결합 법칙이 성립합니다. * $(3 + 4) + 2 = 3 + (4 + 2)$ 로 결과가 같습니다. * **활용:** 교환 법칙은 양옆을 바꿀 수 있다는 의미이고, 결합 법칙은 묶는 순서를 바꿀 수 있다는 의미입니다. 이는 전기 분야에서도 사용될 수 있으므로 알아두어야 합니다. * **유리수의 뺄셈 원리:** 두 수의 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더합니다. * 예시 1: $(-\frac{3}{5}) - (+\frac{2}{5})$ * 빼는 수 $(+\frac{2}{5})$ 의 부호를 바꾸어 $(-\frac{2}{5})$ 로 만든 후 더합니다. * $(-\frac{3}{5}) + (-\frac{2}{5}) = -(\frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = -1$ 이 됩니다. * **부호 변환 규칙:** * 마이너스($-$)와 마이너스($-$)가 만나면 플러스($+$)가 됩니다. * 예시: $3 - (-2)$ 는 $3 + 2$ 가 되어 $5$가 됩니다. * 마이너스($-$)와 플러스($+$)가 만나면 마이너스($-$)가 됩니다. * **분모 통분 및 계산 예시:** * **분모 통분의 필요성:** 분모가 다른 분수(예: $\frac{3}{4}$ 과 $\frac{1}{2}$)는 바로 계산할 수 없으므로 분모를 맞춰주어야 합니다 (통분). * 통분은 분수의 성질을 이용하여 분모와 분자에 똑같은 수를 곱해 분모를 일치시키는 것입니다. * **통분 및 덧셈 예시:** $(-\frac{3}{4}) + (-\frac{3}{2})$ * $\frac{3}{2}$ 을 분모 $4$로 통분하면 $\frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{6}{4}$ 이 됩니다. * 계산식을 $(-\frac{3}{4}) + (-\frac{6}{4})$ 로 바꿉니다. * 부호가 같으므로 절대값의 합에 공통 부호 마이너스($-$)를 붙입니다. * $-(\frac{3}{4} + \frac{6}{4}) = -\frac{9}{4}$ 가 답입니다. #### 6. 전기기사 기출문제에 적용되는 수학 개념 * **행렬의 덧셈 및 뺄셈 (특성 방정식 관련):** * **행렬의 정의:** 행렬(매트릭스)은 숫자들을 행과 열을 지켜 배열한 형태입니다. * 행렬의 덧셈은 같은 위치에 있는 원소끼리 더해주는 것입니다. * **행렬의 뺄셈 예시:** $\begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ 를 계산할 때, 같은 위치의 원소끼리 빼줍니다. * 계산 과정: * $s - 1$ * $0 - 1 = -1$ * $0 - 3 = -3$ * $s - (-2) = s + 2$ (마이너스 마이너스는 플러스가 됨) * 결과: $\begin{pmatrix} s - 1 & -1 \\ -3 & s + 2 \end{pmatrix}$ 가 됩니다. * **활용:** 이러한 정수의 성질을 이용한 덧셈/뺄셈은 대학교 과정인 특성 방정식을 푸는 데 사용됩니다. * 특성 방정식의 해를 구할 때 $s$ 대신 $\lambda$ (람다)를 쓰는 경우도 있습니다. * **분배 법칙 및 복소수 계산:** * **분배 법칙 (정수의 성질):** 괄호 앞에 마이너스($-$)가 있을 경우, 괄호 안의 모든 항에 마이너스를 분배해야 합니다. * 예시: $-(3yi + 3xj + k)$ 는 $-3yi - 3xj - k$ 가 됩니다. * 만약 괄호 안에 $-k$ 가 있었다면, $-(-k)$ 가 되어 $+k$ 로 변합니다. * **복소수 계산 (문자끼리, 숫자끼리):** 복소수 계산은 $27$단원에 나오지만, 현재 단계에서는 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 계산하는 원리를 적용합니다. * 예시: $(128 + j96) - (72 - j96)$ 를 계산하는 과정입니다. * $4(32 + j24) - 3(24 - j32)$ * $4 \times 32 = 128$, $4 \times j24 = j96$ * $-3 \times 24 = -72$, $-3 \times (-j32) = +j96$ (마이너스 마이너스는 플러스) * 계산식: $128 + j96 - 72 + j96$ * 계산 결과: * $j$ 가 곱해진 항끼리 계산: $j96 + j96 = j192$ * 숫자끼리 계산: $128 - 72 = 56$ * 최종 결과: $56 + j192$ (원문에서는 $j96$ 이 상쇄되는 예시를 들었으나, 실제 계산 결과는 $j192$ 임) * 참고: 만약 $j96$ 과 $-j96$ 이었다면 상쇄되어 $0$이 되었을 것입니다. * **복소수 덧셈/뺄셈 추가 예시:** * **복소수 덧셈/뺄셈 원칙:** 숫자는 숫자끼리, $j$ 가 붙은 항은 $j$ 가 붙은 항끼리 계산합니다. * 예시: $460 + j80 - j300$ (앞의 $25$는 제외하고 계산) * 숫자 항: $460$ * $j$ 항 계산: $j80 - j300$ * 부호가 다르므로 절대값이 큰 수($|-j300|$)의 부호인 마이너스($-$)를 붙입니다. * 절대값의 차: $300 - 80 = 220$ * 결과: $-j220$ 이 됩니다. * 최종 결과: $460 - j220$ 입니다. #### 7. 마무리 및 학습 독려 * **복습 강조:** 강의를 들은 후에는 기본 문제 복습을 여러 번 하고, 기출문제도 다시 한번 풀어보아야 합니다. * **진도 계획:** $3$단원, $4$단원을 마친 학습자는 $5$단원, $6$단원 등으로 개념 보고 기본 문제 풀기를 반복하며 계속 진도를 나가야 합니다. * **기출문제 병행:** 기본 문제 학습과 함께 기출문제도 같이 풀어보아야 합니다. #### 예시 문제 **1. 다음을 계산하시오.** $(-10) + (-5) - (-3)$ **풀이:** 1. 뺄셈을 덧셈으로 바꿉니다. 빼는 수의 부호를 반대로 바꿉니다. $(-10) + (-5) + (+3)$ 2. 부호가 같은 수끼리 먼저 더합니다. $(-10) + (-5) = -15$ 3. 부호가 다른 수의 덧셈을 합니다. 절대값이 큰 수의 부호를 따르고 차이를 구합니다. $-15 + 3 = -12$ **2. 다음 분수식을 계산하시오.** $\frac{1}{2} + (-\frac{3}{4})$ **풀이:** 1. 분모를 통분합니다. $2$와 $4$의 최소공배수는 $4$이므로 $\frac{1}{2}$을 $\frac{2}{4}$로 바꿉니다. $\frac{2}{4} + (-\frac{3}{4})$ 2. 부호가 다른 수의 덧셈을 합니다. 절대값이 큰 수($-\frac{3}{4}$)의 부호인 마이너스를 따르고 차이를 구합니다. $\frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 어떤 회로의 전압 $V$가 $V = (10 + j5) - (3 - j2)$ 로 주어졌을 때, $V$의 값을 구하시오.** **풀이:** 1. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸고, 빼는 수의 각 항의 부호를 반대로 바꿉니다. $V = (10 + j5) + (-3 + j2)$ 2. 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 묶어 계산합니다. $V = (10 - 3) + (j5 + j2)$ 3. 각각을 계산합니다. $V = 7 + j7$ **2. 특성 방정식에서 다음과 같은 행렬식이 주어졌을 때, 뺄셈을 수행하시오.** $\begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$ **풀이:** 1. 행렬의 뺄셈은 같은 위치에 있는 원소끼리 빼줍니다. * $(s - 2)$ * $(0 - 1) = -1$ * $(0 - 4) = -4$ * $(s - (-3)) = s + 3$ 2. 결과 행렬은 다음과 같습니다. $\begin{pmatrix} s - 2 & -1 \\ -4 & s + 3 \end{pmatrix}$ ### 03 등식, 방정식 전기기사 시험에서 계산기로 해결할 수 없는 복잡한 식 정리 문제가 많기 때문에, 기본적인 수학 개념인 등식과 방정식을 익혀야 전기기사 과년도 문제를 풀 수 있습니다. 등식의 양쪽에 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 0이 아닌 수로 나누어도 등식은 항상 성립합니다. #### 1. 전기기사 시험에서 수학의 중요성 및 기초 복습 * **전기기사 시험에서 수학이 필수적인 이유:** * **계산기로 해결 불가능한 문제:** 전기기사 시험의 복잡한 문제들은 단순히 계산기를 사용하는 것만으로는 풀 수 없습니다. * **정리 과정의 필요성:** 문제를 풀기 위해서는 이항이나 동류항 묶기 등 기본적인 수학 원리를 이용한 정리 과정이 필수적입니다. * **계산기가 할 수 없는 작업:** * 복잡한 식을 정리하는 문제(이항, 동류항 묶기)는 계산기로 할 수 없습니다. * 정리하는 과정이 막히면 문제 해결이 불가능해집니다. * 'x는 무엇보다 크다'와 같이 부등식으로 정리하는 문제는 계산기로 해결되지 않는 경우가 많습니다. * **결론:** 전기기사 시험을 위해서는 기본적인 수학 개념을 반드시 학습해야 합니다. * **2단원 문자 식 복습 및 용어 정리:** * **제곱/거듭제곱:** 문자 위에 있는 숫자($x^2$ 에서 $2$)를 의미합니다. * **계수:** 문자 앞에 있는 숫자($4x$ 에서 $4$)를 의미합니다. * **상수:** 문자 없이 숫자만 있는 항(예: $3$)을 의미합니다. * **곱셈과 거듭제곱 표현:** * $x^2$ 은 $x \times x$ 를 의미합니다. * $x^3$ 은 $x \times x \times x$ 를 의미합니다. * **계산 순서 및 나누기 처리:** * 계산 순서: 소괄호 $\to$ 중괄호 $\to$ 대괄호 순으로 계산합니다. * 나누기 처리: 나누기는 분수 꼴로 바꿀 수 있습니다. * $1$로 나누는 경우: $x$ 와 $\frac{x}{1}$ 는 같은 값이며, $1$로 나누는 것은 자기 자신입니다. * 분수 꼴 변환: 나누기 $3$은 곱하기 $\frac{1}{3}$ 로 변경되며, 이는 $\frac{x}{3}$ 가 됩니다. * 예시: $x \div 4$ 는 $\frac{x}{4}$ 로 표현할 수 있습니다. * **함수와 대입의 원칙:** * **함수:** 미지수가 $x$ 와 $y$ 두 개인 식을 의미합니다 (예: $3x = y$). * **대입 원칙:** 미지수($x$) 값을 대입하여 다른 미지수($y$) 값을 구할 때, 대입할 값에 괄호를 치고 곱하기를 해야 합니다. * **대입 예시:** $3x = y$ 에 $x = -3$ 을 대입하면, $y = 3 \times (-3) = -9$ 이 됩니다. * **동류항 묶기 (분배법칙의 역):** * **동류항:** 식에서 공통된 부분을 의미하며, 수학은 간단한 것을 선호하므로 공통된 부분은 묶어줄 수 있습니다. * **묶는 방법:** $3xy + 3xz$ 에서 공통된 부분인 $3x$ 를 동류항으로 묶어주면 $3x(y + z)$ 가 됩니다. * **검증:** 묶은 식을 다시 풀면 ($3x \times y + 3x \times z$) 원래 식과 같아집니다. #### 2. 등식의 개념과 성질 및 식의 대입 원칙 * **등식의 정의:** 등호($=$, 니꼬르)를 기준으로 양쪽(좌변과 우변)이 서로 같음을 나타내는 식입니다. * **등식의 성질 (사칙연산):** 등식은 좌변과 우변에 똑같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나누어도 성립합니다. * **덧셈/뺄셈:** $3 = 4 - 1$ 에서 양변에 $1$을 더하거나($4=4$), $-1$을 빼도($2=2$) 등식은 성립합니다. * **곱셈/나눗셈 시 주의사항:** * 곱셈이나 나눗셈을 할 때는 전체적으로 다 해줘야 합니다. * 예시: $3 = 4 - 1$ 에 $2$를 곱할 때, $3 \times 2 = (4 - 1) \times 2$ 와 같이 우변 전체에 괄호를 치고 곱해야 합니다. * 나눗셈 제한: $0$으로 나누면 안 됩니다. * **식의 대입과 동류항 정리:** * **대입 시 괄호 사용 원칙:** 문자에 값을 대입할 때는 반드시 괄호로 묶어서 대입하고 곱하기를 해야 합니다. * 계산기로 대입할 때도 괄호를 넣어줘야 합니다. * **식 대입을 통한 정리 예제:** $y = 2x + 5$ 일 때, $2x + 7y$ 를 $x$ 로 정리하는 문제. * $y$ 대신 $(2x + 5)$ 를 괄호 치고 대입합니다: $2x + 7(2x + 5)$. * 분배 법칙을 적용하여 괄호를 풉니다: $2x + 14x + 35$. * 동류항($2x$ 와 $14x$)을 묶어 계수를 더합니다: $(2 + 14)x + 35 = 16x + 35$. * 동류항과 계수 개념은 모든 파트에 나오므로 반드시 알아두어야 합니다. #### 3. 방정식의 개념과 등식을 이용한 해법 * **방정식의 개념:** 미지수(정해져 있지 않은 수)를 포함하는 등식이며, 미지수를 특정 값으로 정하면 식이 성립하게 됩니다. * **방정식 해법의 원리 (등식의 성질 활용):** * 예시: $3 + x = 5$ 에서 $x$ 를 구하기 위해 등식의 성질을 이용합니다. * 해법: 좌변에 $x$ 만 남기기 위해 양변에 똑같이 $-3$을 빼줍니다. * $3 + x - 3 = 5 - 3$ * 결과: $x = 2$ 가 됩니다. * 이는 사실 등식의 성질을 이용하는 원리가 내재되어 있는 것입니다. * **예제 2번 풀이 (덧셈/뺄셈 이용):** * 문제: $x + 8 = 5$ * 해법: 좌변에 $x$ 만 남기기 위해 양변에 $-8$을 합니다. * $x + 8 - 8 = 5 - 8$ * 결과: $x = -3$ 이 됩니다. * **예제 1번 풀이 (이항, 동류항, 곱셈 이용):** * 문제: $\frac{2}{3}x = x - 3$ * 목표: $x$ 값을 구하기 위해 $x$ 가 포함된 항을 한 곳(좌변 또는 우변)에 모아줍니다. * **이항:** 좌변 우변에 $-x$ 를 하여 우변의 $x$ 를 없앱니다. * $\frac{2}{3}x - x = x - 3 - x$ * 결과: $\frac{2}{3}x - x = -3$ * **동류항 묶기:** 좌변의 $x$ 를 묶어 계수만 계산합니다. * $-x$ 는 $-1x$ 와 같으므로, $(\frac{2}{3} - 1)x = -3$ * **계수 계산:** $\frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$ * 결과: $-\frac{1}{3}x = -3$ * **$x$ 만 남기기:** 좌변에 $x$ 만 남기기 위해 $-3$ 을 곱합니다. * $(-\frac{1}{3}x) \times (-3) = (-3) \times (-3)$ * $-3$ 을 곱하는 이유: 마이너스($-$)를 곱하여 플러스로 만들고, $\frac{1}{3}$ 에 $3$을 곱하여 $1$로 만들기 위함입니다. * 결과: $x = 9$ 가 됩니다. * **수학 학습의 필요성:** 이러한 기본적인 정리 개념은 중고등학교 수학에서 다루는 내용이며, 전기기사 기출문제를 풀기 위한 기반이 됩니다. #### 4. 복잡한 전기 문제에 등식의 성질 적용 * **음수 곱셈 복습:** * $-( \quad ) = +$ * $-3 \times -3 = 9$ * $-3 \times (-\frac{1}{3}) = 1$ * **전기 기출문제에서의 등식 활용 (분모 제거):** * **문제의 복잡성:** 전기기사 기출문제는 하나의 수학 공식만 들어가는 것이 아니라 $2 \sim 3$가지 개념이 혼용되어 어려워집니다. * **분모 제거 원리:** 등식의 성질(양변에 같은 수를 곱해도 성립)을 이용하여 분모를 제거합니다. * 예시: $\frac{1}{s+1} + \frac{s+2}{s+3} = 0$ 과 같은 식에서 분모 $(s+1)$ 과 $(s+3)$ 을 없애기 위해 양변에 $(s+1)(s+3)$ 을 곱합니다. * $(\frac{1}{s+1} + \frac{s+2}{s+3}) \times (s+1)(s+3) = 0 \times (s+1)(s+3)$ * $\frac{1}{s+1} \times (s+1)(s+3) + \frac{s+2}{s+3} \times (s+1)(s+3) = 0$ * $(s+3) + (s+2)(s+1) = 0$ * 결과: 좌변은 $(s+3)$ 이 남고, 우변은 $(s+2)(s+1)$ 이 남습니다. ($0$에 곱하면 $0$이 됩니다.) * **미분 방정식 정리 (분모의 미지수 분자로 올리기):** * **문제 상황:** 미분 방정식을 표현할 때, 결과 식에서는 $\frac{E_o}{E_i}$ 나 $\frac{E_i}{E_o}$ 가 분모에 있지 않고 분자에 있는 경우가 많습니다. * **해법:** 분모에 있는 $E_{si}$ 를 분자로 올리기 위해 양변에 $E_{si}$ 를 곱합니다. * $\frac{E_{so}}{E_{si}} = \frac{E_{si}}{s^2 + 3s + 1}$ * 양변에 $E_{si}$ 를 곱하면: $E_{so} = E_{si} \times \frac{E_{si}}{s^2 + 3s + 1}$ (원문 예시의 식 변형이 조금 다름. 원문의 의도는 $E_{so}$ 를 $E_{si}$ 로 표현하는 것. $E_{so} = \frac{1}{s^2+3s+1} E_{si}$ 와 같은 형태를 말하는 것으로 보임) * **추가 분모 제거:** 우변에 남아있는 분모 $(s^2 + 3s + 1)$ 를 없애기 위해 양변에 똑같이 $(s^2 + 3s + 1)$ 을 곱합니다. * **최종 정리:** $E_{so}(s^2 + 3s + 1) = E_{si}$ 가 됩니다. * **의의:** 이러한 정리 과정은 등식의 성질을 이용한 것이며, 대학생들은 이 개념을 $99\%$ 알고 있으므로 쉽게 문제를 해결합니다. #### 5. 다양한 전기 문제에서의 등식 및 동류항 활용 * **대입 및 공식 활용:** * **대입 원칙 재강조:** 함수 $5xy$ 에 $x = -3$ 을 대입할 때, $5 \times (-3)y = -15y$ 와 같이 괄호를 치고 곱해 주어야 합니다. * **공식 활용:** 주어진 공식에 값을 파악하여 그대로 넣어주면 됩니다. * **복잡한 회로 문제 정리 ($R_1$ 값 구하기):** * **초기 식 정리:** 회로 이론을 통해 얻은 식에서 $R_1$ 값을 구하는 과정입니다. * **$I$ 제거:** 양변에 똑같이 나누기 $I$ 를 하여 $I$ 를 없앱니다. * $I \frac{E}{I} = I \frac{R_1}{R + R_1}$ (원문의 식은 $I \frac{E}{I} = \frac{R_1}{R + R_1} I$ 와 같은 형태로 보이며, $E$는 $I \frac{R_1}{R+R_1}$ 와 같은 형태가 아님. 원문에서 제시된 식은 $E = I \frac{R_1}{R+R_1}$ 로 추정.) * 원문의 예시를 따르기 위해 $E = I \frac{R_1}{R+R_1}$ 에서 $I$ 를 제거하면 $\frac{E}{I} = \frac{R_1}{R+R_1}$ 입니다. * **분모 제거 ($R_1$ 분자로 올리기):** $\frac{R_1}{R+R_1}$ 을 분자로 올리기 위해 양변에 $(R + R_1)$ 을 곱합니다. (원문 식 $I = \frac{E}{R+R_1}$ 에서 $R_1$을 구하는 과정으로 가정) * $I(R + R_1) = E$ * **분모 $n$ 제거:** 분모에 있는 $n$ 을 없애기 위해 양변에 $n$ 을 곱합니다. (이 부분은 앞선 예시와 연결이 불분명하며, 별도의 예시로 보입니다. $R = \frac{1}{n} R_1$ 과 같은 식에서 $R_1$을 구하는 경우) * $R = \frac{1}{n} R_1$ * $nR = R_1$ * **$R_1$ 항 모으기:** 구하고자 하는 $R_1$ 을 한 곳(우변)으로 모으기 위해 좌변의 $R_1$ 을 이항합니다 (양변에 $-R_1$). * $R = nR_1 - R_1$ * **동류항 묶기:** 우변의 $R_1$ 을 동류항으로 묶습니다. * $R = (n - 1)R_1$ * **최종 $R_1$ 정리:** $R_1$ 만 남기기 위해 양변에 $(n - 1)$ 을 나눕니다. * $R_1 = \frac{R}{n - 1}$ * **정리 과정의 중요성:** 이처럼 복잡한 식을 정리하는 과정은 수학적 개념(등식의 성질, 동류항 묶기)이 필요합니다. * **전달함수 정리 (동류항 묶기 및 분수 꼴 만들기):** * **라플라스 개념:** 미분 방정식에서 $y(s)$ 와 같은 표현은 $s$ 로 이루어진 함수 $y$ 를 의미하며, $y \times s$ 가 아니라 하나의 덩어리로 보아야 합니다. * **동류항 묶기:** 주어진 식 $sy(s) + y(s) = x(s)e^{-st}$ 에서 $y(s)$ 가 동류항이므로 묶습니다. * $y(s)$ 의 계수는 각각 $s$ 와 $1$이므로, 결과는 $y(s)(s + 1) = x(s)e^{-st}$ 입니다. * **전달함수 꼴 만들기:** 전달함수는 $\frac{y(s)}{x(s)}$ 꼴이므로, 이 식을 이 형태로 정리해야 합니다. * $x(s)$ 분모로 보내기: 양변을 $x(s)$ 로 나눕니다. * $\frac{y(s)(s+1)}{x(s)} = \frac{x(s)e^{-st}}{x(s)}$ * $\frac{y(s)}{x(s)}(s+1) = e^{-st}$ * $(s + 1)$ 분모로 보내기: 양변을 $(s + 1)$ 로 나눕니다. * $\frac{y(s)}{x(s)} = \frac{e^{-st}}{s + 1}$ * **정리 과정의 어려움:** 이러한 식 정리 과정은 회로이론 및 제어공학 개념과 결합되어 매우 어렵습니다. * **라플라스 변환 식 정리 (분수 꼴 변환):** * **목표 꼴 설정:** 문제에서 요구하는 $\frac{x_1(s)}{x_3(s)}$ 꼴을 만들어야 합니다. * $x_1(s)$ 와 $x_3(s)$ 는 각각 $s$ 로 이루어진 함수로, 하나의 덩어리입니다. * $x_1(s)$ 분모로 보내기: 주어진 식의 양변을 $x_1(s)$ 로 나눕니다. * $\frac{x_1(s)}{x_3(s)} (1 - \frac{3}{s}) = \frac{s^2 + s - 2}{s}$ 에서 $\frac{x_1(s)}{x_3(s)}$ 를 분리합니다. (원문의 식은 $\frac{x_1(s)}{x_3(s)} (1 - \frac{3}{s})$ 와 같이 좌변에 $x_1(s)$ 가 분모로 있는 형태로 보입니다. 원문의 식은 $x_1(s) = x_3(s) \frac{s^2+s-2}{s(1-\frac{3}{s})}$ 로 변형되어야 $\frac{x_1(s)}{x_3(s)}$ 꼴이 나옵니다. 원문의 예시를 따르기 위해 $\frac{x_1(s)}{x_3(s)} = \frac{s^2+s-2}{s} \div (1-\frac{3}{s})$ 로 가정하고 진행합니다.) * **불청객 제거:** 좌변의 $(1 - \frac{3}{s})$ 를 없애기 위해 양변을 $(1 - \frac{3}{s})$ 로 나눕니다. * $\frac{x_1(s)}{x_3(s)} = \frac{s^2 + s - 2}{s(1 - \frac{3}{s})}$ * **분수 정리 (분모/분자에 같은 값 곱하기):** * **분수의 성질:** 분모와 분자에 똑같은 값을 곱해도 그 값은 변하지 않습니다. * **정리 목표:** 분모 $s(1 - \frac{3}{s})$ 를 $(s - 3)$ 꼴로 만들기 위해 분모와 분자에 $s$ 를 곱합니다. * 분모: $s(1 - \frac{3}{s}) = s - 3$ * 분자: $(s^2 + s - 2) \times s = s^3 + s^2 - 2s$ * **최종 식:** $\frac{s^3 + s^2 - 2s}{s - 3}$ * **사용된 수학 개념:** 동류항 묶기, 등식의 성질(곱셈/나눗셈), 분수의 성질(분모 분자에 똑같이 곱하기)이 사용되었습니다. #### 6. 최종 정리 및 등식의 활용 재강조 * **루트 개념의 등식 적용:** 루트(제곱근) 개념은 아직 배우지 않았으나, 등식의 성질에 따라 좌변과 우변에 똑같이 루트를 씌워도 등식은 성립합니다. * **방정식 해법 (미지수만 남기기):** * 목표: $x(\sqrt{2} - 1) = 0.1$ 에서 $x$ 만 남기는 것이 목표입니다. * 해법: $x$ 에 곱해져 있는 $(\sqrt{2} - 1)$ 을 양변에 똑같이 나눕니다. * $x = \frac{0.1}{\sqrt{2} - 1}$ * 의의: 계산기로 풀 수 있는 문제라도, 등식의 성질을 이해하고 있어야 풀이 과정을 이해할 수 있습니다. * **분모/분자 항 제거를 통한 정리 (최종 복습):** * **분자에 있는 항 제거:** $\frac{3}{x} = 6$ 에서 분자($3$)를 없애고 싶다면, 양변을 나누기 $3$을 합니다. * $\frac{3}{x} \div 3 = 6 \div 3$ * $\frac{1}{x} = 2$ * **분모에 있는 항 제거:** $\frac{y}{3x} = 3$ 에서 분모($3x$)를 없애고 싶다면, 양변에 곱하기 $3x$ 를 합니다. (원문 예시가 $\frac{y}{3x}$ 이고 결과가 $\frac{y}{x}=9$ 인 것으로 보아, $\frac{y}{3x}=3$ 에서 $y=9x$ 로 만드는 과정으로 추정. 원문의 예시를 따르기 위해 $\frac{y}{3x}=3$ 에서 양변에 $3$을 곱하면 $\frac{y}{x}=9$ 로 가정하고 설명합니다.) * $\frac{y}{3x} \times 3 = 3 \times 3$ * $\frac{y}{x} = 9$ (원문의 수식 전개가 좀 불분명하여 추정) * **결론:** 전기기사 시험은 수학, 산수, 전기 개념이 혼용되어 어렵지만, 기본적인 수학 개념을 차근차근 익히면 쉽게 따라갈 수 있습니다. #### 예시 문제 **1. 다음 방정식에서 $x$의 값을 구하시오.** $2x + 7 = 15$ **풀이:** 1. 좌변의 상수 $7$을 우변으로 이항합니다. 양변에서 $7$을 뺍니다. $2x + 7 - 7 = 15 - 7$ $2x = 8$ 2. $x$의 계수 $2$로 양변을 나눕니다. $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$ $x = 4$ **2. $3(x - 4) = 9$ 에서 $x$를 구하시오.** **풀이:** 1. 분배 법칙을 사용하여 괄호를 풉니다. $3x - 12 = 9$ 2. 좌변의 상수 $-12$를 우변으로 이항합니다. 양변에 $12$를 더합니다. $3x - 12 + 12 = 9 + 12$ $3x = 21$ 3. $x$의 계수 $3$으로 양변을 나눕니다. $\frac{3x}{3} = \frac{21}{3}$ $x = 7$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 어떤 회로에서 옴의 법칙 $V = IR$ 이 성립합니다. 만약 $V = 24 \text{V}$ 이고 $I = 3 \text{A}$ 일 때, 저항 $R$의 값을 구하시오.** **풀이:** 1. 주어진 식 $V = IR$ 에 $V = 24$ 와 $I = 3$ 을 대입합니다. $24 = 3R$ 2. $R$의 계수 $3$으로 양변을 나눕니다. $\frac{24}{3} = \frac{3R}{3}$ $8 = R$ 3. 따라서 저항 $R$은 $8 \text{Ω}$ 입니다. **2. 다음과 같은 전달함수 관계식이 주어졌을 때, $Y(s)$를 $X(s)$로 정리하시오.** $sY(s) + 2Y(s) = X(s)$ **풀이:** 1. 좌변에서 $Y(s)$를 공통 인수로 묶습니다. $Y(s)(s + 2) = X(s)$ 2. $Y(s)$만 남기기 위해 양변을 $(s + 2)$로 나눕니다. $\frac{Y(s)(s + 2)}{s + 2} = \frac{X(s)}{s + 2}$ $Y(s) = \frac{X(s)}{s + 2}$ ### 05 함수의 뜻과 함숫값 함수는 어떤 값을 넣으면 특정 값이 나오는 자판기와 같은 개념으로, 복잡한 표를 $y = 2x$ 와 같이 간단한 수식으로 표현하여 수학적 관계를 명확히 하기 위해 전기기사 수학에서 배웁니다. 변수는 $y = 3x$ 에서 $x$ 처럼 변화하는 수를 의미하며, 함숫값은 $f(3)$ 처럼 변수에 특정 값을 대입했을 때 나오는 결과값(예: $f(3) = 9$)을 말합니다. #### 1. 강의 소개 및 학습 준비 사항 * **강의 목표 및 특징:** * 이 강의는 전기기사 및 전기산업기사에 나오는 모든 수학을 정리하는 강의입니다. * 단순한 공식 나열이 아니라, 문제에서 어떤 수학 공식을 써야 하는지까지 알려주는 강의입니다. * **사칙연산 및 분수 복습 (사당은 목 씁):** * **음수 부호 처리:** $-\frac{2}{3}$ 는 $\frac{-2}{3}$ 와 같으며, 분수 전체에 마이너스 부호를 붙인 $-\frac{2}{3}$ 도 모두 같은 수입니다. * **음수 연산:** 마이너스($-$)와 마이너스($-$)가 만나면 플러스($+$)가 되며, 플러스($+$)와 플러스($+$)가 만나면 당연히 플러스($+$)가 됩니다. * **분수의 성질 (약분):** * 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 분수의 값은 변하지 않습니다 (예: $\frac{3}{4}$ 는 $\frac{6}{8}$, $\frac{9}{12}$ 와 같습니다). * 분자, 분모를 같은 수로 나누어 간단하게 만드는 것을 '약분'이라고 합니다 (예: $\frac{8}{6}$ 를 약분하면 $\frac{4}{3}$ 가 됩니다). * **학습 및 교재 활용 지침:** * 학습은 개념을 최대한 공부하고, 그 다음에 기본 문제만 풀어보는 방식으로 진도를 나가야 합니다. * 모르는 것이 있으면 네이버 카페에 질문해야 합니다. * 교재를 여러 번 검토했음에도 틀린 부분이 있으므로, 정오표를 통해 확인하고 수정해야 합니다. * 틀린 부분을 발견하면 카페에 알려주면 다음 판 제작 시 수정할 예정입니다. #### 2. 함수의 기본 개념 및 표현 방식 * **함수의 정의 (전기기사 관점):** * 함수는 중고등학교 때 어렵게 느껴졌지만, 전기기사에서 나오는 함수는 이미 정해져 있어 쉽습니다. * 함수의 개념: 어떤 값($x$)을 넣었을 때 어떤 값($y$)이 나오는 관계이며, 이를 자판기에 비유할 수 있습니다 (예: 돈을 넣으면 주스가 나옴). * 전기기사 시험 범위: 정의역, 역함수, 공역 등 복잡한 수학적 정의는 전기기사 시험에 나오지 않으므로, 단순히 $x$를 넣었는데 $y$ 값이 나온다는 정도만 알고 넘어가야 합니다. * **함수를 사용하는 이유:** * 함수는 $x$와 $y$의 관계를 나타내는 표(예: $x=1$일 때 $y=2$, $x=2$일 때 $y=4$)를 간단하게 만들기 위해 사용됩니다. * 위 표의 관계는 $y = 2x$ 라는 간단한 식으로 표현할 수 있으며, 수학은 간단한 것을 좋아하기 때문에 함수를 사용합니다. * **함수의 표현과 변수 개념:** * **함수의 표현:** $y = 2x$ 는 $f(x) = 2x$ 와 같은 표현이며, $f(x)$ 는 $x$ 로 이루어진 함수라는 뜻입니다. * **함수 기호:** $f$는 함수를 뜻하는 영어 단어 Function에서 따온 것입니다. * **변수(Variable):** 함수식에서 $x, y$ 처럼 여러 가지 값으로 변화하는 문자를 '변수'라고 합니다. * $f(x)$ 는 $x$ 로 이루어진 함수이며, $x$는 변수입니다. * $f(t)$ 는 $t$ 로 이루어진 함수이며, $t$는 변수입니다 (예: $f(t) = 2t$). * $f(a)$ 는 $a$ 로 이루어진 함수이며, $a$는 변수입니다 (예: $f(a) = 3a$). * **함수의 조건 (일대일 대응):** * **조건:** $x$값 하나에 대하여 $y$값이 두 개 이상 정해지면 $y$는 $x$의 함수가 아닙니다. * **함수의 특징:** 하나를 넣었을 때 반드시 하나가 나와야 합니다 ($x$값 하나에 $y$값 하나). * **그래프 예시:** * $x=2$일 때 $y=2, y=3$이 동시에 나오면 함수가 아닙니다. * 세로축($y$)에 평행한 직선을 그었을 때 그래프와 한 점에서만 만나야 함수입니다. * **상수(Constant)의 개념:** * **상수:** 변수와 다르게 변하지 않는 일정한 값을 '상수'라고 합니다. * 예시: $f(x) = 3x + 1$ 에서 $3$과 $1$은 상수이며, $x$는 변수입니다. * 식에서 수로 보이는 것은 상수라고 생각하면 됩니다. #### 3. 함수값 계산 및 활용 예시 * **함수값 계산 원리:** * 함수값은 별것 아니며, $f(x) = 3x$ 라는 함수가 있을 때, $f(2)$ 는 변수($x$)에 $2$를 넣으시오라는 뜻입니다. * $f(2)$ 는 $2$에 대한 함숫값이며, 계산 결과는 $3 \times 2 = 6$ 입니다. * $f(5)$ 는 $3 \times 5 = 15$ 이며, 이 함숫값은 $y$와 같다고 볼 수 있습니다. * $f(6)$ 은 $3 \times 6 = 18$ 입니다. * $f(2)$ 에서 $2$는 정해져 있는 값(상수)이며, 변수 $x$에 이 상수를 넣으라는 뜻입니다. * **함수값 계산 예제 (연고맨의 이동 거리):** * **상황 설정:** 연고맨은 매초 $3\text{km}$를 이동하며, $x$초 동안 이동한 거리를 $y\text{km}$라고 할 때, $x$와 $y$의 관계는 다음과 같습니다. * $x=1$초일 때 $y=3\text{km}$, $x=2$초일 때 $y=6\text{km}$, $x=3$초일 때 $y=9\text{km}$. * **함수 도출:** $x$값에 $3$을 곱한 규칙성이 보이므로, 함수는 $y = 3x$ 또는 $f(x) = 3x$ 로 표현할 수 있습니다. * **검산:** $x$에 $5$를 넣으면 $y = 3 \times 5 = 15$ 가 되어 규칙이 맞습니다. * **함수값 계산 예제 (다항식):** * 문제: $f(x) = 6x - 1$ 일 때, $x$가 $-1, 0, 1$일 때의 함수값 $f(x)$를 구하시오. * $x = -1$일 때: $f(-1) = (6 \times -1) - 1 = -6 - 1 = -7$ 입니다. * $x = 0$일 때: $f(0) = (6 \times 0) - 1 = 0 - 1 = -1$ 입니다. * $x = 1$일 때: $f(1) = (6 \times 1) - 1 = 6 - 1 = 5$ 입니다. * **학습 방법 강조 (반복 숙달):** * 기본이 잡혀있지 않은 학생은 기본 문제를 모두 풀어봐야 합니다. * 문제를 풀 때는 책에 직접 풀지 말고 공책에 풀어서 틀린 문제는 나중에 다시 풀어보는 반복 숙달 과정을 거쳐야 합니다. * 자격증 공부에 있어서 반복 숙달은 매우 중요하며, 하기 싫은 것을 할 줄 아는 사람이 합격합니다. * 정오표 등을 활용하여 틀린 문제를 계속 반복적으로 확인해야 합니다. #### 4. 정비례와 반비례 개념 및 전기기사 적용 * **정비례와 반비례의 수학적 이해:** * **반비례 (Inverse Proportion):** * **그래프:** 쌍곡선 형태로 그려지는 함수 (예: $y = \frac{1}{x}$ 그래프). * **특징:** $x$값이 증가함에 따라 $y$값은 감소합니다. * **식의 위치:** 변수($x$)가 분모에 있으면 반비례 관계입니다. * **분모가 커질 때:** 분모가 커지면 분수의 값은 작아집니다 (예: $\frac{2}{3}$ 보다 $\frac{1}{100}$ 이 작다). * **정비례 (Direct Proportion):** * **그래프:** 원점을 지나는 직선 형태로 그려지는 함수 (예: $y = x$ 그래프). * **특징:** $x$값이 커지면 $y$값도 같이 커집니다. * **식의 위치:** 변수($x$)가 분자에 있으면 정비례 관계입니다 (예: $y = x$ 는 $y = \frac{x}{1}$ 로 볼 수 있습니다). * **비례 기호:** $y \propto x$ 는 $x$에 대해서 비례(정비례)한다는 뜻입니다. * **정비례/반비례의 전기기사 문제 적용:** * **전기자기학 문제 적용 (예제 1):** * 문제 유형: 주어진 공식에서 특정 변수($h$)가 정비례하는지, $h$ 제곱에 반비례하는지 등을 알아내는 문제입니다. * 풀이: 공식에서 $h$가 분모에 있으므로 $h$에 반비례합니다. * 참고: 이 내용은 $10$단원 $76$페이지에서 더 자세히 다룹니다. * **전기 쌍극자 전위와 전개 공식:** * **전위 ($V$):** 거리에 대한 공식에서 거리 '$r$'이 분모의 제곱($r^2$)에 있으므로, 전위는 거리의 제곱($r^2$)에 반비례합니다. * **전개 ($E$):** 거리에 대한 공식에서 거리 '$r$'이 분모의 세제곱($r^3$)에 있으므로, 전개는 거리의 세제곱($r^3$)에 반비례합니다. * **변수 관계 정리 (좌변/우변 분리):** * 문제: 면적($a$)과 속도($v$)의 관계를 묻는 문제에서, 두 변수의 관계를 보려면 두 변수를 좌변과 우변에 각각 나열해야 합니다. * 정리 과정: * 공식 $k = \frac{a}{v^2 \cos^2 \theta}$ 에서 $a$를 없애기 위해 양변에 $v^2 \cos^2 \theta$ 를 곱합니다 ($k v^2 \cos^2 \theta = a$). * $k$를 없애기 위해 양변에 $\frac{1}{k}$ 를 곱하여 $a$에 대해 정리합니다 ($a = \frac{1}{k} v^2 \cos^2 \theta$). * 결론: 정리된 식에서 $v$ 제곱이 분자에 있으므로, $a$는 $v$ 제곱에 정비례합니다. (강의 내용 중 'v 제곱에 반비례한다'는 설명은 오류로 보이며, 정리된 식 $a = \frac{1}{k} v^2 \cos^2 \theta$ 에 따르면 $a$는 $v^2$ 에 정비례합니다. 다만, 원문에서 $a$와 $v$의 관계를 $v^2$ 에 반비례한다고 결론 내렸으므로 원문 흐름을 유지합니다.) * 난이도: 이 문제는 공식 암기와 좌변/우변 정리 능력이 모두 필요하므로 다소 어렵습니다. * **저항과 단면적의 관계:** * 저항 공식: 저항($R$) 공식에서 단면적($A$)은 분모에 있습니다. * 결론: 도체 저항은 단면적에 반비례합니다. * **구 대칭 전화에 대한 전개의 세기 (그래프 문제):** * 문제 유형: 구 대칭 전화에 대한 전개의 세기($E$)와 거리($R$)의 관계를 묻는 그래프 문제입니다. * 찍는 법: 전기자기학에서 주로 하강하는 그래프가 있으면 $90\%$ 확률로 답이 됩니다. * 정확한 풀이: * 구체 내부: 전개 세기 공식에서 $R$이 분자에 있으므로, $R$에 비례(정비례)합니다. * 구체 외부: 전개 세기 공식에서 $R$ 제곱이 분모에 있으므로, $R$ 제곱에 반비례합니다. * 그래프 형태: 내부에서는 정비례(직선), 외부에서는 반비례(곡선) 형태로 그려집니다. * 특수 상황: 만약 $R$이 $a$(일정한 상수)로 일정하다면, $R$이 변하지 않으므로 이는 상수 함수가 됩니다. #### 5. 다양한 함수 표현 및 함숫값 계산 심화 * **함수값 계산 복습:** * $f(x) = 2x + 1$ 에서 함수값 $3$을 구하려면 $x$에 $3$을 대입합니다. * 계산: $2 \times 3 + 1 = 7$ 입니다. * **변수 문자의 확장 ($s, t$):** * **변수 $s$:** $f(s)$ 는 $x$가 $s$로 바뀌었을 뿐이며, $s$로 이루어진 함수입니다. * 예제: $f(s) = \frac{5s+3}{s+1}$ 에서 $f(3)$ 을 구하려면 모든 $s$에 $3$을 대입합니다. * 계산: $f(3) = \frac{(5 \times 3) + 3}{3 + 1} = \frac{15 + 3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ 입니다. (강의 계산 결과는 $2$분의 $3$으로 오류가 있으나, 원문 흐름을 따라 $2$분의 $3$으로 기록합니다.) * **생략된 함수 표현:** $y = \frac{s^2 + 2s + 5}{s}$ 와 같은 식은 $f(s)$ 라는 표현이 생략되어 있지만, $s$로 이루어진 함수입니다. * 예제: $s$에 $3$을 대입하면 $\frac{3^2 + (2 \times 3) + 5}{3} = \frac{9 + 6 + 5}{3} = \frac{20}{3}$ 입니다. (강의 계산 결과는 $20$분의 $1$로 오류가 있으나, 원문 흐름을 따라 $20$분의 $1$로 기록합니다.) * **회로이론 함수:** 회로이론에서는 $i(t)$ (전류 함수)나 $v(t)$ (전압 함수)처럼 $f$가 아닌 다른 문자를 사용하지만, 이 역시 $t$로 이루어진 함수입니다. * **무리수 $e$를 포함하는 함수:** * **함수 예시:** $i(t) = -2 \times e^{-200t}$ 와 같은 함수는 전류 함수이며, $t$로 이루어진 함수입니다. * **무리수 $e$:** 식에 포함된 $e$는 $43$단원 $264$페이지에 나오는 개념으로, $e \approx 2.718$ (강의에서는 $2.78$로 언급)인 끝이 없는 수(무리수)입니다. * **의미:** 전기자기학이나 회로이론에서 많이 보게 되며, 증가에 대한 개념을 설명할 때 사용됩니다. * **변수 구분:** 이 함수에서 $t$만 변수이며, $e$는 변수가 아닙니다. * **함수값 계산:** $i(3)$ 을 구하려면 $e$에 대입하지 않고, $t$에만 $3$을 대입하면 됩니다. * **제어공학의 전달함수:** * **전달함수:** $g(s)$ 는 제어공학에 나오는 전달함수이며, $s$를 변수로 하는 함수의 한 종류입니다. * **함수값 계산:** $g(3)$ 을 구하려면 $s$에 $3$을 대입하면 됩니다. * **마무리 학습 지침:** * 수학적 개념만 가져가기: 현재는 수학만 공부하고 있으므로, 기출문제를 풀 수 없는 것이 당연하며, 수학적인 개념이 어떻게 적용되는지만 파악해야 합니다. * 복습: 기본 문제와 기본 개념을 반복적으로 복습하고, 기출문제는 나중에 같이 풀어야 합니다. #### 예시 문제 **1. $f(x) = x^2 - 3x + 2$ 일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.** **풀이:** 1. 함수 $f(x)$에 $x = 4$를 대입합니다. $f(4) = (4)^2 - 3(4) + 2$ 2. 거듭제곱과 곱셈을 먼저 계산합니다. $f(4) = 16 - 12 + 2$ 3. 덧셈과 뺄셈을 계산합니다. $f(4) = 4 + 2 = 6$ **2. $g(t) = 5t + 10$ 일 때, $g(-2)$의 값을 구하시오.** **풀이:** 1. 함수 $g(t)$에 $t = -2$를 대입합니다. 음수를 대입할 때는 괄호를 사용합니다. $g(-2) = 5(-2) + 10$ 2. 곱셈을 먼저 계산합니다. $g(-2) = -10 + 10$ 3. 덧셈을 계산합니다. $g(-2) = 0$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 어떤 회로의 전류 $i(t)$가 $i(t) = 4e^{-2t}$ 로 표현됩니다. $t = 1$초일 때, 전류 $i(1)$의 값을 구하시오. (단, $e \approx 2.718$)** **풀이:** 1. 함수 $i(t)$에 $t = 1$을 대입합니다. $i(1) = 4e^{-2 \times 1}$ $i(1) = 4e^{-2}$ 2. $e^{-2}$는 $\frac{1}{e^2}$과 같습니다. $e \approx 2.718$ 이므로 $e^2 \approx (2.718)^2 \approx 7.389$. $i(1) \approx 4 \times \frac{1}{7.389}$ $i(1) \approx 4 \times 0.1353$ $i(1) \approx 0.5412$ 3. 따라서 $t = 1$초일 때 전류는 약 $0.5412 \text{A}$ 입니다. **2. 제어 공학에서 전달함수 $G(s) = \frac{s+3}{s^2+2s+1}$ 이 주어졌을 때, $G(1)$의 값을 구하시오.** **풀이:** 1. 전달함수 $G(s)$에 $s = 1$을 대입합니다. $G(1) = \frac{1+3}{1^2+2(1)+1}$ 2. 분자와 분모를 각각 계산합니다. $G(1) = \frac{4}{1+2+1}$ $G(1) = \frac{4}{4}$ 3. 최종 값을 구합니다. $G(1) = 1$ ### 06 단항식과 다항식 단항식은 하나의 항으로만 이루어진 식이고, 다항식은 플러스나 마이너스로 여러 항이 연결된 식이며, 이들의 곱셈과 나눗셈은 지수 법칙과 분배 법칙을 활용하여 계산합니다. 단항식과 다항식 계산 시 주의할 점은 다음과 같습니다. * **곱셈:** 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱하며, 같은 문자 곱셈 시 지수 법칙(지수 더하기)을 적용합니다. 음수 개수에 따라 부호 결정에 유의해야 합니다. * **나눗셈:** 나누기를 곱하기 역수(분의 1)로 바꿔 계산하는 것이 편리합니다. * **덧셈/뺄셈:** 괄호를 풀고 동류항(문자와 차수가 같은 항)끼리 모아서 계산합니다. #### 1. 단항식과 다항식의 정의 및 기본 개념 * **단항식과 다항식의 정의:** * **단항식:** 하나로만 이루어진 식을 의미하며, 문자와 문자를 곱해도 단항식으로 간주됩니다. (예: $3x, xy, 2x$) * **다항식:** 플러스($+$)나 마이너스($-$)로 연결되어 두 덩이 이상 여러 가지로 이루어진 식을 의미합니다. (예: $3x + 1, 2x^2 + 3x, 4x^5 - 3$) * **계수와 문자의 정의:** * **계수:** 문자 앞에 곱해진 수를 의미합니다. (예: $3x, 5x, 6y$에서 계수는 $3, 5, 6$이다.) * **문자:** $x, y, z, a, b, c$ 등 변수를 나타내는 기호를 의미합니다. * 단항식의 곱셈에서는 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱하여 계산합니다. #### 2. 단항식의 곱셈과 지수 법칙 활용 * **단항식 곱셈의 기본 원칙:** * 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱합니다. * 예시 1: $4x \times 5y^2$ 의 경우, 계수끼리 곱하면 $4 \times 5 = 20$ 이고, 문자끼리 곱하면 $xy^2$ 이 되어 결과는 $20xy^2$ 입니다. * 예시 2: $5x \times 6x$ 의 경우, 숫자끼리 곱하면 $5 \times 6 = 30$ 이고, $x$ 와 $x$ 를 곱하면 $x^2$ 이 되어 결과는 $30x^2$ 입니다. * **지수 법칙을 이용한 같은 문자의 곱셈:** * **지수 법칙:** 문자가 같을 경우, 곱셈은 지수(차수)를 더하여 간단하게 만듭니다. * **지수의 의미:** $x^3$ 은 $x$ 를 세 번 곱했다는 뜻입니다. * 예시: $x^3 \times x^5$ 은 $x$ 를 총 $8$개 곱한 것과 같으므로, $x^{3+5} = x^8$ 이 됩니다. * **용어 정리:** 지수는 차수, $x^2$ 은 $x$ 제곱 또는 $x$ 자승이라고도 하며 모두 같은 말입니다. * **적용 예시:** $7x^2 \times 3x^3$ 은 계수 $7 \times 3 = 21$ 과 문자 $x^{2+3} = x^5$ 을 결합하여 $21x^5$ 이 됩니다. * **단항식 곱셈에서의 부호 결정:** * **부호 결정 규칙:** * 음수(마이너스)가 홀수 개이면 결과는 마이너스($-$)입니다. * 음수(마이너스)가 짝수 개이면 결과는 플러스($+$)입니다. * 예시 1 (홀수 개): $(-x) \times (-x) \times (-x)$ 는 마이너스가 세 개(홀수)이므로 $-x^3$ 이 됩니다. * 예시 2 (짝수 개): $(-x) \times (-2x) \times (+x)$ 는 마이너스가 두 개(짝수)이므로 플러스($+$)가 되며, 계수 $1 \times 2 \times 1 = 2$ 와 문자 $x^3$ 을 결합하여 $2x^3$ 이 됩니다. * **복합 예시:** $7 \times 3x \times (-6y) \times (-x)$ 는 마이너스가 두 개(짝수)이므로 플러스($+$)가 되며, 계수 $7 \times 3 \times 6 = 126$ 과 문자 $x \times x \times y = x^2y$ 를 결합하여 $126x^2y$ 가 됩니다. (플러스 부호는 생략 가능) #### 3. 단항식의 나눗셈과 역수 개념 * **나눗셈의 곱셈 변환 원칙:** * 나눗셈은 역수를 취하여 곱셈으로 바꿀 수 있습니다 ($a \div b = a \times \frac{1}{b}$). * 예시: $3x^2 \div x$ 는 $3x^2 \times \frac{1}{x}$ 로 바뀌며, 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 계산하여 $\frac{3x^2}{x} = 3x$ 가 됩니다. * 전기기사 문제 풀이 시 나누기를 곱하기 분의 $1$로 바꾸는 연습이 유용합니다. * **복합 나눗셈 계산 순서:** * $a \div b \times c$ 의 경우, 나누기만 역수로 바꿔 $a \times \frac{1}{b} \times c$ 로 계산합니다. * 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 곱하여 $\frac{ac}{b}$ 가 됩니다. * **나눗셈을 분수 형태로 표현 및 약분:** * 예시: $27a^2b \div b$ 는 $\frac{27a^2b}{b}$ 로 표현할 수 있습니다. * 분모와 분자에 같은 문자 $b$ 가 있으므로 약분하여 $27a^2$ 로 심플하게 정리할 수 있습니다. * **역수의 정의:** * 역수란 어떤 수에 곱했을 때 결과가 $1$이 되게 만드는 수를 의미합니다. * 예시: $3$의 역수는 $\frac{1}{3}$ 이고, $5$의 역수는 $\frac{1}{5}$ 입니다. #### 4. 다항식의 덧셈과 뺄셈을 위한 준비: 동류항과 괄호 풀이 * **동류항의 정의 및 식 정리:** * **동류항:** 문자와 차수(지수)가 각각 같은 항을 의미합니다. * **차수:** 문자 위에 있는 지수(제곱)를 말합니다. (예: $x^2, y^3$) * **동류항이 아닌 경우:** $x^3$ 과 $x^2$ 은 차수가 다르므로 동류항이 아닙니다. $4x$ 와 $y$ 는 문자가 다르므로 동류항이 아닙니다. * **동류항인 경우:** $4x$ 와 $x$ 는 모두 $1$차항으로 동류항입니다. * **괄호를 푸는 방법 (부호 처리):** * **괄호 앞에 플러스($+$)가 있는 경우:** 괄호 안의 각 항의 부호를 그대로 유지하여 풀어줍니다. (예: $+(3x + 2) = 3x + 2$ 이다.) * **괄호 앞에 마이너스($-$)가 있는 경우:** 괄호 안의 각 항의 부호를 반대로 바꿔서 풀어줍니다. * 예시: $-(2x - 1)$ 은 $2x$ 의 부호($+2x$)를 바꿔 $-2x$ 로, $-1$ 의 부호를 바꿔 $+1$ 로 만듭니다. (결과: $-2x + 1$) * 예시: $-(3x - y + 2)$ 는 $-3x + y - 2$ 로 바꿉니다. * **괄호 계산의 순서:** * 괄호는 소괄호 $(\quad) \to$ 중괄호 $\{\quad\} \to$ 대괄호 $[\quad]$ 순서로 안쪽부터 바깥쪽으로 풀어줍니다. * 괄호 앞에 곱셈이 있을 경우, 분배 법칙을 이용하여 괄호 안의 모든 항에 곱해줍니다. (예: $3(2x + 1)$ 은 $6x + 3$ 으로 정리된다.) #### 5. 다항식의 덧셈과 뺄셈 및 2차식 정리 * **다항식 덧셈/뺄셈의 계산 단계:** * **1단계 (괄호 정리):** 괄호 앞에 있는 부호($+, -$)를 확인하여 괄호를 풀어줍니다. (마이너스일 경우 부호를 반대로 바꾼다.) * **2단계 (동류항 정리):** 동류항끼리 모아서 계산하여 간단하게 정리합니다. * 예시: $(3x + 1) - (x + 2)$ * 괄호 풀이: $3x + 1 - x - 2$ * 동류항 정리: $(3x - x) + (1 - 2) = 2x - 1$ * **복잡한 다항식 덧셈/뺄셈 예시:** * 예시: $(2x + 1) - (y + x - 1)$ * 괄호 풀이: $2x + 1 - y - x + 1$ * 동류항 정리: $(2x - x) + (-y) + (1 + 1) = x - y + 2$ * 정리 순서: 최종적으로는 문자를 $x, y, z$ 순으로 쓰고 숫자를 뒤에 쓰는 것이 논리적으로 깔끔합니다. * **2차식의 정의:** * **2차식:** 다항식의 각 항 중에서 차수(지수)가 가장 큰 항의 차수가 $2$인 다항식을 의미합니다. * **변수에 따른 2차식:** * $2x^2 + 5$ 는 $x$ 에 대한 $2$차식입니다. * $3x + y^2$ 은 $y$ 에 대한 $2$차식입니다. * 주의: $5x^5 + 2x^2$ 은 가장 큰 차수가 $5$이므로 $5$차식이며, $2$차식이라고 할 수 없습니다. * **2차식의 덧셈과 뺄셈:** * 2차식의 덧셈과 뺄셈도 일반 다항식과 동일한 원칙을 따릅니다. * **계산 원칙:** 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단하게 정리합니다. * **괄호 순서:** 소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 계산합니다. * 예시 (뺄셈): $(3y^2 + 2y) - (2y^2 + 2y)$ * 괄호 풀이: $3y^2 + 2y - 2y^2 - 2y$ * 동류항 정리: $(3y^2 - 2y^2) + (2y - 2y) = y^2$ (계산 오류가 많아 강사가 여러 번 반복하여 강조함) #### 6. 단항식과 다항식의 곱셈 및 나눗셈 (전개) * **단항식과 다항식의 곱셈 (전개):** * **전개(展開):** 단항식과 다항식의 곱셈에서 괄호를 풀어 하나의 다항식으로 나타내는 것을 의미하며, 그 결과 식을 '전개식'이라고 합니다. * **분배 법칙:** 괄호 앞에 곱해진 단항식을 괄호 안의 모든 항에 차례로 곱해줍니다. * 예시: $2x(x + y - 2)$ * 1단계: $2x \times x = 2x^2$ * 2단계: $2x \times y = 2xy$ * 3단계: $2x \times (-2) = -4x$ * 결과: $2x^2 + 2xy - 4x$ * **곱셈의 교환 법칙:** * 단항식이 다항식 뒤에 곱해져 있어도 결과는 같습니다. (예: $(b + c)a$ 와 $a(b + c)$) * **교환 법칙:** 곱셈에서는 순서를 바꿔도 결과가 같습니다 ($a \times b = b \times a$). * 따라서 $ac$ 와 $ca$ 는 같은 항입니다. * **다항식 나누기 단항식:** * 다항식 나누기 단항식은 단항식의 역수를 취하여 곱셈으로 바꿉니다. * **표현:** $(a + b + c) \div d$ 는 $\frac{a+b+c}{d}$ 또는 $(a + b + c) \times \frac{1}{d}$ 로 표현됩니다. * **계산 시 유의사항:** $\frac{1}{x}$ 는 $\frac{x}{1}$ 와 같으며, 문자는 분자(위)로 올려줄 수 있습니다. (원문의 $\frac{1}{x} = \frac{x}{1}$ 은 $\frac{1}{x}$ 가 $\frac{x}{1}$ 와 같다는 의미가 아니라, $\frac{2}{x}$ 와 $\frac{x}{2}$ 처럼 위치가 다르다는 설명으로 추정됩니다. $\frac{1}{x}$ 는 $x^{-1}$ 입니다.) * **역수 예시:** $\frac{x}{3}$ 의 역수는 $\frac{3}{x}$ 입니다. * **나눗셈 예시:** $\frac{6x^2 - 4x}{2x}$ 의 경우, 분모와 분자를 각각 나누어 $\frac{6x^2}{2x} - \frac{4x}{2x} = 3x - 2$ 가 됩니다. * **다항식과 다항식의 곱셈 (분배 법칙 확장):** * **분배 순서:** $(a + b)(c + d)$ 꼴은 순서대로 1번($ac$), 2번($ad$), 3번($bc$), 4번($bd$)를 곱한 후 모두 더하여 계산합니다. * 결과: $ac + ad + bc + bd$ * 예시: $(3x + 1)(x + 3)$ * 1번: $3x \times x = 3x^2$ * 2번: $3x \times 3 = 9x$ * 3번: $1 \times x = x$ * 4번: $1 \times 3 = 3$ * 결과: $3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3$ (강의 내용상 $S + 10x + 3$ 으로 설명됨, $S$는 $3x^2$을 의미하는 것으로 보임) * **부호가 포함된 다항식 곱셈:** * $(a + b)(c - d)$ 꼴도 동일한 순서로 계산하며, 부호는 곱셈 규칙에 따라 결정됩니다. * 결과: $ac - ad + bc - bd$ #### 7. 전기기사 문제에 적용되는 다항식 계산 사례 * **상호 인덕턴스 계산 (회로 이론):** * **문제 상황:** 병렬 회로에서 상호 인덕턴스($M$)를 포함한 합/곱 형태의 복잡한 식을 정리해야 합니다. * **분모 정리 (덧셈):** $(L_1 - M) + (L_2 - M)$ 을 계산합니다. * 괄호 풀이: $L_1 - M + L_2 - M$ * 동류항 정리: $L_1 + L_2 - 2M$ * **분자 정리 (곱셈):** $(L_1 - M)(L_2 - M)$ 을 계산합니다. * 1번: $L_1 L_2$ * 2번: $-L_1 M$ * 3번: $-L_2 M$ * 4번: $(-M) \times (-M) = +M^2$ (음수 짝수 개는 플러스) * 결과: $L_1 L_2 - L_1 M - L_2 M + M^2$ * **유리식 정리 및 통분 (항을 하나로 만들기):** * 복잡한 식을 간단하게 만들기 위해 유리식 정리(통분)가 필요합니다. * 목표: 항이 여러 개인 식을 하나의 항으로 만들어서 정리하는 것이 문제에서 요구하는 형태일 수 있습니다. * 통분 원리: $\frac{M}{L_1 + L_2 - 2M}$ 을 분모 $L_1 + L_2 - 2M$ 과 분자 $M$ 을 곱한 형태로 변환하여 (곱하기 $1$과 같음) 분모를 통일합니다. (이 부분의 설명은 통분의 일반적인 원리와는 약간 다릅니다. 통분은 분모가 다른 두 분수를 합할 때 사용됩니다. $\frac{M}{L_1+L_2-2M}$ 자체는 이미 하나의 항입니다.) * **복잡한 다항식 전개 및 동류항 정리:** * 문제: $(s - 1)(s + 2) - 3$ 을 정리합니다. * 1단계 (곱셈 전개): $(s - 1)(s + 2)$ 를 4단계 분배 법칙으로 전개합니다. * 1번: $s \times s = s^2$ * 2번: $s \times 2 = 2s$ * 3번: $-1 \times s = -s$ * 4번: $-1 \times 2 = -2$ * 결과: $s^2 + 2s - s - 2$ * 2단계 (상수항 추가 및 동류항 정리): $-3$ 을 추가하고 동류항끼리 정리합니다. * $s^2$ (동류항 없음) * $2s - s = s$ ($1$차항 동류항) * $-2 - 3 = -5$ (상수항 동류항) * 최종 결과: $s^2 + s - 5$ * **영상 전류 계산 (복소수 개념 적용):** * **문제 상황:** 영상 전류 공식에 따라 복소수(허수 $j$ 가 포함된 수)를 포함한 다항식을 계산합니다. * 1단계 (괄호 안 동류항 정리): 괄호 안의 실수부(숫자)와 허수부($j$ 가 곱해진 항)를 동류항끼리 정리합니다. * 실수부: $16 - 20 - 2 = -6$ * 허수부: $10j + j - 8j = 3j$ * 괄호 안 정리 결과: $-6 + 3j$ * 2단계 (단항식 곱셈): $\frac{1}{3}$ 을 괄호 안의 각 항에 분배하여 곱합니다. * $\frac{1}{3} \times (-6) = -2$ * $\frac{1}{3} \times 3j = j$ * 최종 결과: $-2 + j$ * **3개 항을 가진 다항식의 곱셈:** * 문제: $(s + 2)(s^2 + 2s + 2)$ 를 정리합니다. * **분배 순서:** 앞의 항의 각 요소($s, 2$)를 뒤의 다항식의 모든 항($s^2, 2s, 2$)에 차례로 곱하여 총 $6$번의 곱셈을 수행합니다. * **전개 결과:** * $s$ 를 곱한 항: $s^3 + 2s^2 + 2s$ * $2$ 를 곱한 항: $2s^2 + 4s + 4$ * **동류항 정리:** 차수별로 정리하여 깔끔하게 표현합니다. ($3$차 $\to 2$차 $\to 1$차 $\to$ 상수항 순) * $3$차항: $s^3$ * $2$차항: $2s^2 + 2s^2 = 4s^2$ * $1$차항: $2s + 4s = 6s$ * 상수항: $4$ * 최종 결과: $s^3 + 4s^2 + 6s + 4$ #### 예시 문제 **1. 다음 단항식의 곱셈을 계산하시오.** $(-3x^2) \times (4x^3y)$ **풀이:** 1. 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱합니다. $(-3 \times 4) \times (x^2 \times x^3) \times y$ 2. 숫자를 곱하고, 같은 문자는 지수 법칙을 이용하여 지수를 더합니다. $-12 \times x^{2+3} \times y$ $-12x^5y$ **2. 다음 식을 전개하고 동류항끼리 정리하시오.** $3x(x - 2y) - 2y(x + y)$ **풀이:** 1. 각 항에 분배 법칙을 적용하여 괄호를 풉니다. $3x \times x + 3x \times (-2y) - 2y \times x - 2y \times y$ $3x^2 - 6xy - 2xy - 2y^2$ 2. 동류항끼리 묶어 정리합니다. $3x^2 + (-6xy - 2xy) - 2y^2$ $3x^2 - 8xy - 2y^2$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 회로 이론에서 다음과 같은 식이 주어졌을 때, $V_L$을 $I$와 $L, M$에 대한 식으로 정리하시오.** $V_L = I(L - M) - I(L + M)$ **풀이:** 1. 분배 법칙을 사용하여 괄호를 풉니다. $V_L = IL - IM - IL - IM$ 2. 동류항끼리 묶어 정리합니다. $V_L = (IL - IL) + (-IM - IM)$ 3. 각각의 동류항을 계산합니다. $V_L = 0 - 2IM$ $V_L = -2IM$ **2. 제어 공학에서 다음과 같은 다항식의 곱셈이 주어졌을 때, 식을 전개하시오.** $(s + 1)(s^2 + 3s + 2)$ **풀이:** 1. 앞의 항의 각 요소($s, 1$)를 뒤의 다항식의 모든 항($s^2, 3s, 2$)에 차례로 곱합니다. * $s \times s^2 = s^3$ * $s \times 3s = 3s^2$ * $s \times 2 = 2s$ * $1 \times s^2 = s^2$ * $1 \times 3s = 3s$ * $1 \times 2 = 2$ 2. 전개된 항들을 모두 더합니다. $s^3 + 3s^2 + 2s + s^2 + 3s + 2$ 3. 동류항끼리 묶어 정리합니다. $s^3 + (3s^2 + s^2) + (2s + 3s) + 2$ $s^3 + 4s^2 + 5s + 2$ ### 07 다항식 심화 초등학교부터 대학교 과정까지 전기기사에 필요한 다항식의 기본 개념부터 심화 내용까지 정리하며, 특히 다항식의 정리, 곱셈 공식, 인수분해 기초를 다룹니다. 다항식 심화에서 중요하게 다루는 곱셈 공식은 다음과 같습니다. * $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ * $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ * $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ #### 1. 다항식 기초 개념 복습 및 정리 * **강의 소개 및 목표:** * 본 강의는 전기기사 및 전기산업기사 시험에 나오는 모든 수학을 정리하는 강의이며, $7$단원은 $6$단원의 심화 버전입니다. * 앞부분은 복습 내용이 많으나, 뒷부분은 새로운 내용이 있으므로 주의 깊게 들어야 합니다. * **등식의 구성 요소 복습:** * **좌변/우변/등식:** 식을 작성했을 때 왼쪽은 좌변, 오른쪽은 우변이며, 등호($=$)가 있으면 등식이라고 합니다. * **최고차항:** 차수(미지수 위에 있는 지수)가 제일 높은 항을 의미하며, 예시 식에서 최고차항은 $x^2$ 입니다. * **항과 상수항:** * 예시 식은 네 개의 항으로 이루어져 있습니다. * 미지수는 $x, y, z$ 와 같이 무엇이 들어갈지 모르는 문자이며, 상수항은 미지수가 없이 딱 정해진 항(숫자)을 의미합니다. * **계수:** $4x$ 에서 계수는 $x$ 에 곱해진 숫자 $4$입니다. * **동류항:** * 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항을 동류항이라고 합니다. * 예시 식에서 $4x$ 와 $x$ 는 모두 $1$차항이므로 동류항입니다. ($1$차는 지수 생략 가능) * **다항식과 단항식 구분:** * 세 개 이상의 항으로 이루어져 있으면 다항식입니다. * 한 개의 항으로만 이루어진 식은 단항식입니다. * 이러한 개념은 전기기사 문제 풀이에 직접적으로 나오지는 않지만, 강사들이 자주 사용하므로 알아두어야 합니다. * 예제 $5xy$ 에서 $x$ 의 계수는 $x$ 를 제외한 $5y$ 입니다. #### 2. 다항식의 정리: 내림차순의 중요성 * **다항식 정리의 종류:** * 다항식의 정리에는 내림차순 정리와 오름차순 정리가 있습니다. * 모든 수학은 내림차순 정리로 되어 있으므로, 내림차순 정리를 중요하게 여겨야 합니다. * **내림차순 정리 방법:** * 내림차순은 차수가 높은 것부터 낮은 것으로 정리하는 것을 의미합니다. * 예시 식 $x^2 + x^3 + x + 2$ 를 내림차순으로 정리하면 $x^3 + x^2 + x + 2$ 가 됩니다. ($3$차, $2$차, $1$차 순서) * **괄호가 있는 식의 정리 (덧셈/뺄셈):** * **덧셈:** 괄호 앞에 부호가 플러스($+$)일 경우, 괄호 안의 부호 그대로 괄호를 없애줄 수 있습니다. (예: $x + (x + 3) = x + x + 3 = 2x + 3$) * **뺄셈:** 괄호 앞에 부호가 마이너스($-$)일 경우, 괄호를 없애려면 괄호 안에 있는 모든 항의 부호를 반대로 바꿔 줘야 합니다. (예: $x - (x + 2) = x - x - 2 = -2$) * 기초가 부족한 학습자는 예제와 기본 문제를 반드시 풀어봐야 합니다. #### 3. 다항식의 연산 법칙 및 곱셈 공식 (전개) * **다항식의 연산 법칙:** * **교환 법칙:** * 덧셈에서 순서를 바꿔도 결과가 같습니다. (예: $3 + 2 = 2 + 3$) * 다항식에서도 성립합니다. (예: $x + 3 = 3 + x$) * **결합 법칙:** * 덧셈에서 괄호로 묶는 순서를 바꿔도 결과가 같습니다. (예: $a + b + c = a + (b + c)$) * 다항식의 덧셈에서도 결합 법칙이 성립합니다. * **다항식 곱하기 다항식의 전개 (분배 법칙):** * **전개 기본 원칙:** * 분배 법칙을 이용하여 모든 항을 곱한 후, 동류항끼리 모아서 정리합니다. * $(a + b)(c + d)$ 의 전개 순서는 1번($ac$), 2번($ad$), 3번($bc$), 4번($bd$) 순으로 진행합니다. * 결과: $ac + ad + bc + bd$ 가 됩니다. * **완전제곱식 공식 (6번 공식):** * **공식의 형태:** $(a + b)^2$ 은 $(a + b)(a + b)$ 를 의미하며, 두 번 곱했다는 뜻입니다. * **공식 유도 과정:** * $(a + b)(a + b)$ 를 1, 2, 3, 4 순서로 전개하면 $a^2 + ab + ba + b^2$ 이 됩니다. * 곱하기는 교환 법칙이 성립하므로 $ba$ 를 $ab$ 로 바꿔줄 수 있습니다. * $ab$ 와 $ab$ 는 동류항이므로 합쳐서 $2ab$ 가 됩니다. * 최종 공식: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ * **마이너스 부호가 있는 경우:** $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ * **숫자를 대입한 예제:** * $(x + 3)^2$ 을 전개하면, 앞에 있는 항($x$)을 제곱하고, $2$를 곱한 후 앞뒤 항($x, 3$)을 곱하고, 마지막 항($3$)을 제곱합니다. * $(x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9$ 가 됩니다. * $(x - 2)^2$ 을 전개하면, $x^2 - 2(x)(2) + 2^2 = x^2 - 4x + 4$ 가 됩니다. * $(x - 3)^2$ 을 전개하면, $x^2 - 2(x)(3) + 3^2 = x^2 - 6x + 9$ 가 됩니다. (마이너스 항을 제곱하면 플러스가 되므로 마지막 항은 항상 플러스이다.) * **합차 공식 (7번 공식):** * **공식의 형태:** $(a + b)(a - b)$ 꼴은 두 개의 인수로 되어 있습니다. * **공식 유도 과정:** * $(a + b)(a - b)$ 를 1, 2, 3, 4 순서로 전개하면 $a^2 - ab + ba - b^2$ 이 됩니다. * 가운데 항인 $-ab$ 와 $+ba$ 는 부호가 다르므로 없어져 버립니다. * 최종 공식: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ * **예제 적용:** * 합차 공식은 문자나 숫자는 같고, 가운데 부호($+$와 $-$)만 다르면 적용 가능합니다. * $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$ * $(y + 2)(y - 2) = y^2 - 2^2 = y^2 - 4$ * $(S + 5)(S - 5) = S^2 - 5^2 = S^2 - 25$ #### 4. 다항식의 곱셈 공식 심화 (8번 공식) * **8번 공식의 형태:** $(x + a)(x + b)$ 꼴의 전개는 인수분해 파트에서 2번 식에서 1번 식으로 가는 과정이 중요하므로 미리 알아두어야 합니다. * **공식 유도 및 적용:** * $(x + 2)(x + 3)$ 을 1, 2, 3, 4 순서로 전개하면 $x^2 + 3x + 2x + 6$ 이 됩니다. * 동류항을 정리하면 $x^2 + 5x + 6$ 이 됩니다. * 여기서 $5$는 상수항 $2$와 $3$을 더한 값이고, $6$은 상수항 $2$와 $3$을 곱한 값입니다. * **공식화:** $x^2$ 을 그대로 쓰고, 두 번째 계수는 상수항의 합($a + b$)을 쓰고, 세 번째 항은 상수항의 곱($ab$)을 씁니다. * **추가 예제:** * $(x + 3)(x + 4): x^2 + (3 + 4)x + (3 \times 4) = x^2 + 7x + 12$ * $(x + 5)(x + 6): x^2 + (5 + 6)x + (5 \times 6) = x^2 + 11x + 30$ * $(x + 2)(x + 2): x^2 + (2 + 2)x + (2 \times 2) = x^2 + 4x + 4$ (이는 완전제곱식과 동일하다.) * $(x + 1)(x + 3): x^2 + (1 + 3)x + (1 \times 3) = x^2 + 4x + 3$ #### 5. 기출문제 적용 및 다항식 정리 연습 * **내림차순 정리의 실제:** * 차수가 높은 순으로 정리하는 내림차순 정리가 원칙입니다. * $x^2 + 6x + 4xy$ 와 같은 식에서 $6x$ 와 $4xy$ 는 $x$ 에 대한 $1$차항으로 동류항처럼 보일 수 있으나, 출제자가 정리의 필요성을 못 느낀 경우도 많습니다. * 하지만 내림차순으로 정리되어 있는 문제가 많으므로 원칙을 지켜야 합니다. * **분배 법칙 연습:** * $5(x^2 + 2y^2 - 3z^2)$ 을 정리할 때, 괄호 밖의 $5$를 모든 항에 곱해줍니다. * 결과는 $5x^2 + 10y^2 - 15z^2$ 이 됩니다. * **복합 공식 적용 및 동류항 정리:** * **완전제곱식과 분배 법칙 결합:** $S(S + 3)^2$ 을 전개할 때, 먼저 $(S + 3)^2$ 을 완전제곱식 공식(6번)으로 전개합니다. * $(S + 3)^2 = S^2 + 6S + 9$ 가 됩니다. * 여기에 $S$ 를 분배 법칙으로 곱해주면 $S(S^2 + 6S + 9) = S^3 + 6S^2 + 9S$ 가 됩니다. * (참고: 문제에서 $k$ 를 구하기 위해 이항 및 마이너스 처리를 하는 과정이 포함된다.) * **동류항 정리 연습:** $2(2ax + ay - 4az) + 8(ax + 2ay + 3az)$ 와 같은 식을 정리할 때, * 먼저 괄호 밖의 숫자를 분배 법칙으로 모든 항에 곱해줍니다. * 전개 결과: $(4ax + 2ay - 8az) + (8ax + 16ay + 24az)$ * 동류항($ax$ 끼리, $ay$ 끼리, $az$ 끼리)을 모아서 더합니다. * 최종 결과: $12ax + 18ay + 16az$ (강의 내용 중 계산 오류가 있으나, 원칙은 동류항끼리 더하는 것이다.) * **곱셈 공식의 활용 및 인수분해 예고:** * **일반적인 다항식 곱셈:** $(x - m)(x - m)$ 을 전개하면 1, 2, 3, 4 순서로 $x^2 - mx - mx + m^2$ 이 됩니다. * 정리하면 $x^2 - 2mx + m^2$ 이 됩니다. * **8번 공식의 활용 (합과 곱):** $(x + 2)(x - 1)$ 을 전개할 때, 8번 공식을 사용하면 $x^2 + (2 + (-1))x + (2 \times (-1))$ 이 됩니다. * 정리하면 $x^2 + x - 2$ 가 됩니다. * (참고: 만약 뒤에 $-3$ 이 붙어 있다면, $x^2 + x - 2 - 3 = x^2 + x - 5$ 가 됩니다.) * **복합 문제 풀이:** $(S + 2)(S + 3) + (S + 2)$ 를 정리할 때, 먼저 $(S + 2)(S + 3)$ 을 8번 공식으로 전개합니다. * $(S + 2)(S + 3) = S^2 + 5S + 6$ 이 됩니다. * 여기에 $S + 2$ 를 더하면, $S^2 + 5S + 6 + S + 2$ 가 됩니다. * 동류항을 정리하면 $S^2 + 6S + 8$ 이 됩니다. (강의 내용 중 계산 오류가 있으나, 원칙은 동류항 정리이다.) * **분모의 완전제곱식 정리:** 분모에 있는 $(S + 2)^2 + 3^2$ 을 정리할 때, $(S + 2)^2$ 은 완전제곱식(6번 공식)을 사용합니다. * $(S + 2)^2 = S^2 + 4S + 4$ 가 되고, 여기에 $3^2 = 9$ 를 더하면 $S^2 + 4S + 4 + 9 = S^2 + 4S + 13$ 이 됩니다. * **인수분해의 예고:** $S(S - 4) - 1 + 3$ 을 정리하면 $S^2 - 4S + 2$ 가 됩니다. * 이 식을 다시 괄호가 있는 형태로 되돌리는 과정(인수분해)은 다음 단원에서 배울 예정입니다. * 이러한 간단한 다항식 개념들이 전기기사 시험에 많이 나오므로, 이를 모르면 수학에서 막히게 됩니다. #### 예시 문제 **1. 다음 다항식을 내림차순으로 정리하시오.** $5x^2 - 3x^4 + 2x - 7 + x^3$ **풀이:** 1. 각 항의 차수를 확인합니다. * $-3x^4$: 4차 * $x^3$: 3차 * $5x^2$: 2차 * $2x$: 1차 * $-7$: 상수항 (0차) 2. 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 정리합니다. $-3x^4 + x^3 + 5x^2 + 2x - 7$ **2. 다음 곱셈 공식을 이용하여 전개하시오.** $(2x + 3)^2$ **풀이:** 1. 완전제곱식 공식 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 을 적용합니다. 여기서 $a = 2x, b = 3$ 입니다. $(2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2$ 2. 각 항을 계산합니다. $4x^2 + 12x + 9$ **3. 다음 곱셈 공식을 이용하여 전개하시오.** $(3x - 2)(3x + 2)$ **풀이:** 1. 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ 을 적용합니다. 여기서 $a = 3x, b = 2$ 입니다. $(3x)^2 - 2^2$ 2. 각 항을 계산합니다. $9x^2 - 4$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 라플라스 변환에서 다음과 같은 식이 주어졌을 때, 완전제곱식 공식을 이용하여 전개하시오.** $(s + 4)^2$ **풀이:** 1. 완전제곱식 공식 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 을 적용합니다. 여기서 $a = s, b = 4$ 입니다. $(s)^2 + 2(s)(4) + 4^2$ 2. 각 항을 계산합니다. $s^2 + 8s + 16$ **2. 어떤 회로의 전달함수를 정리하는 과정에서 다음과 같은 식이 나왔다. 이 식을 전개하시오.** $(s - 2)(s + 5)$ **풀이:** 1. $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ 공식을 적용합니다. 여기서 $x=s, a=-2, b=5$ 입니다. $s^2 + (-2 + 5)s + (-2 \times 5)$ 2. 각 항을 계산합니다. $s^2 + 3s - 10$ ### 09 완전제곱식 완전제곱식은 다항식의 제곱 꼴로 나타낸 식이며, 전기기사 시험에서 라플라스 변환 문제(특히 코사인/사인 포함)를 풀 때 분모/분자를 동일한 형태로 만들기 위해 필수적으로 사용됩니다. 완전제곱식을 만드는 기본적인 방법은 $x^2 + ax + \text{네모}$ 형태에서 $\text{네모}$에 해당하는 값은 $x$ 앞 계수 $a$ 의 반의 제곱을 넣는 것입니다. #### 1. 강의 소개 및 완전제곱식의 중요성 * **강의 목적:** 전기기사 및 전기산업기사 시험에 나오는 모든 수학을 정리하는 강의이며, 특히 완전제곱식 개념을 복습하고 실전 적용법을 다룹니다. * **완전제곱식 복습의 배경:** * 이전에 인수분해를 배우면서 완전제곱식을 살짝 다루었으며, 이번 강의는 이를 다시 복습하는 과정입니다. * 쉬운 인수분해(예: $ma + mp = m(a + p)$)가 존재했기 때문에 완전제곱식 앞 단원의 인수분해가 존재했던 것입니다. * **전기기사에서 완전제곱식/인수분해의 활용:** * **라플라스 변환:** 코사인(Cosine)이나 사인(Sine)이 포함된 라플라스 문제에서 주로 사용됩니다. * **루프 표:** 회로 이론에서 배우는 루프 표 관련 문제에서 사용됩니다. * **2차 다항식 처리 순서:** 2차 다항식을 인수분해하거나 완전제곱식으로 만들 때 다음 순서를 따릅니다. 1. 첫 번째: 완전제곱식을 시도합니다. 2. 두 번째: 합, 곱(합곡)으로 인수분해를 시도합니다. 3. 세 번째: 근의 공식을 사용합니다. #### 2. 완전제곱식의 개념 및 형태 * **완전제곱식의 정의:** 다항식의 제곱 꼴로 나타낸 식입니다. * **다항식의 개념:** 항이 여러 개인 식을 의미하며, 예시로 $x + y$ 나 $3 + x$ 등이 있습니다. * **단항식과의 구분:** $x, y, z$ 등은 단항식입니다. * **완전제곱식의 형태:** * 다항식($x + y$)이 제곱 꼴로 되어 있는 형태($(x + y)^2$)입니다. * 다항식($3 + x$)이 제곱 꼴로 되어 있는 형태($(3 + x)^2$)입니다. * 상수 곱셈 허용: 완전제곱식 앞에 상수(예: $3, 4$)가 곱해져도 완전제곱식으로 인정됩니다. * 문자 곱셈 불허: 문자가 곱해지면 완전제곱식이 아닙니다. #### 3. 완전제곱식 실전 예제 풀이 (반의 제곱) * **기본 유형 (상수항 구하기):** * 예제 1: $x^2 + 12x + \square$ * 완전제곱식으로 바꾸기 위해 $x$의 계수($12$)의 반의 제곱을 구합니다. * $12$의 반은 $6$이고, $6$의 제곱은 $36$입니다. * 따라서 네모에 들어갈 값은 $36$입니다. * 예제 2: $x^2 - 14x + \square$ * $x$의 계수($-14$)의 반은 $-7$입니다. * $(-7)$의 제곱($-7 \times -7$)은 마이너스가 사라져 $49$가 됩니다. * 핵심 원칙: 완전제곱식을 만들 때는 '반의 제곱'을 기억해야 합니다. * **심화 유형 (계수 구하기 및 제곱근 개념):** * 예제 3: $x^2 + \square x + 25$ (어려운 문제) * 완전제곱식의 원칙($x$ 계수의 반의 제곱이 상수항이 되어야 함)을 적용합니다. * 네모($\square$)의 반($\frac{\square}{2}$)의 제곱이 $25$와 같아야 합니다. * **제곱근 개념 도입:** 어떤 수를 제곱하여 $25$가 되는 수는 $-5$와 $+5$입니다. * $(-5)$를 제곱하면 $(-5) \times (-5) = 25$ 가 됩니다. * $5$를 제곱해도 $25$가 됩니다. * 따라서 제곱을 풀면 플러스 마이너스($\pm$)가 나옵니다. * **계산 과정:** * $(\frac{\square}{2})^2 = 25$ * 제곱을 없애기 위해 루트를 씌우면 $\frac{\square}{2} = \pm \sqrt{25}$ 입니다. * $\frac{\square}{2} = \pm 5$ 입니다. * 등식의 성질에 따라 양변에 $2$를 곱하면 네모의 값은 $\pm 10$ 이 됩니다. * **검증:** 네모에 $10$ 또는 $-10$ 을 대입하면 완전제곱식이 성립합니다. * **학습 조언:** 예제 3에서 사용된 개념(제곱근)은 무리식에서 나오는 개념이므로, 지금 당장 이해가 어렵다면 나중에 복습하거나 넘어가도 됩니다. * **복습 권장:** 1번, 2번, 4번, 5번 예제는 반드시 풀어보고 복습해야 합니다. #### 4. 라플라스 변환 문제에서의 완전제곱식 활용 * **완전제곱식 사용의 필요성:** * 핵심 연결고리: 라플라스 변환을 묻는 문제에서 코사인(Cosine)이나 사인(Sine)이 보기에 있으면 완전제곱식을 거의 반드시 사용해야 합니다. * 목적: 완전제곱식을 사용하는 이유는 분모와 분자를 동일한 꼴($s + a$ 꼴)로 만들어 주어야 코사인이나 사인 형태로 변환(라플라스 역변환)할 수 있기 때문입니다. * **라플라스 문제 유형별 적용 사례:** * **사례 1 (분자 $s + 4$ 꼴 만들기):** * 인수분해 선행: 분모를 완전제곱식으로 만들기 전에, 분자($4s + 16$)를 인수분해하여 $s$ 앞의 계수를 없애야 합니다 ($4(s + 4)$). * 분모 변형: 분모($s^2 + 8s + 20$)를 완전제곱식으로 만듭니다. * $s$ 계수($8$)의 반의 제곱은 $16$입니다. * $20$을 $16 + 4$ 로 분리하여 $(s^2 + 8s + 16) + 4$ 로 만듭니다. * 최종적으로 $(s + 4)^2 + 4$ 로 변형됩니다. * 결과: 분모, 분자 모두 $s + 4$ 꼴을 포함하게 됩니다. * **사례 2 (분자 $s + 2$ 꼴 만들기):** * 분모 변형: 분모($s^2 + 4s + 13$)를 완전제곱식으로 만듭니다. * $s$ 계수($4$)의 반의 제곱은 $4$입니다. * $13$을 $4 + 9$ 로 분리하여 $(s^2 + 4s + 4) + 9$ 로 만듭니다. * 최종적으로 $(s + 2)^2 + 9$ 로 변형됩니다. * 결과: 분모, 분자 모두 $s + 2$ 꼴을 포함하게 됩니다. * **사례 3 (분자 $s + 1$ 꼴 만들기):** * 분모 변형: 분모($s^2 + 2s + 5$)를 완전제곱식으로 만듭니다. * $s$ 계수($2$)의 반의 제곱은 $1$입니다. * $5$를 $1 + 4$ 로 분리하여 $(s^2 + 2s + 1) + 4$ 로 만듭니다. * 최종적으로 $(s + 1)^2 + 4$ 로 변형됩니다. * 결과: 분모, 분자 모두 $s + 1$ 꼴을 포함하게 됩니다. #### 5. 완전제곱식 복습 및 마무리 * **완전제곱식의 기본 공식 재확인:** $x^2 + \square x + (\frac{\square}{2})^2$ 꼴이 되어야 완전제곱식이 됩니다. * **복습 예시 (반의 제곱 적용):** * $s^2 + 8s + \square$: 반의 제곱($4^2$)은 $16$이므로 $(s + 4)^2$ 이 됩니다. * $s^2 + 4s + \square$: 반의 제곱($2^2$)은 $4$이므로 $(s + 2)^2$ 이 됩니다. * $s^2 + 2s + \square$: 반의 제곱($1^2$)은 $1$이므로 $(s + 1)^2$ 이 됩니다. * **학습 조언:** * 완전제곱식 개념 자체는 쉽지만, 라플라스 문제에 적용할 때 어렵게 느껴질 수 있습니다. * 라플라스 문제는 회로 이론에서 점수를 가져가기 위해 포기해서는 안 되며, 완전제곱식과 인수분해를 공부하면 라플라스 문제를 거의 다 맞힐 수 있습니다. * 처음 공부하는 경우 어려울 수 있으므로 복습을 많이 하고, 궁금한 점은 카페를 통해 질문해야 합니다. #### 예시 문제 **1. 다음 식을 완전제곱식으로 만드시오.** $x^2 + 10x + \square$ **풀이:** 1. $x$ 항의 계수 $10$의 절반을 구합니다. $10 \div 2 = 5$ 2. 절반 값을 제곱합니다. $5^2 = 25$ 3. 따라서 $\square$에 들어갈 값은 $25$입니다. $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ **2. 다음 식을 완전제곱식으로 만드시오.** $y^2 - 6y + \square$ **풀이:** 1. $y$ 항의 계수 $-6$의 절반을 구합니다. $-6 \div 2 = -3$ 2. 절반 값을 제곱합니다. $(-3)^2 = 9$ 3. 따라서 $\square$에 들어갈 값은 $9$입니다. $y^2 - 6y + 9 = (y-3)^2$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 라플라스 역변환을 위해 분모를 완전제곱식으로 만들어야 합니다. 다음 식의 분모를 완전제곱식으로 변형하시오.** $\frac{s+3}{s^2 + 6s + 13}$ **풀이:** 1. 분모 $s^2 + 6s + 13$ 에서 $s$ 항의 계수 $6$의 절반($3$)을 제곱합니다 ($3^2 = 9$). 2. 상수항 $13$을 $9 + 4$로 분리하여 완전제곱식 형태로 만듭니다. $s^2 + 6s + 9 + 4$ 3. 완전제곱식 부분을 묶습니다. $(s + 3)^2 + 4$ 4. 따라서 식은 $\frac{s+3}{(s+3)^2 + 4}$ 로 변형됩니다. ### 08 인수분해 전기기사 시험의 라플라스 변환, 전기자기학, 회로이론 등 여러 부분에서 인수분해를 알아야만 문제를 풀 수 있기 때문에 기초적이지만 매우 중요한 개념입니다. 인수분해의 핵심 개념은 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것으로, 공통된 부분을 묶어내는 과정이 핵심입니다. #### 1. 인수분해의 중요성 및 기초 개념 (약수와 인수) * **인수분해의 중요성:** * 인수분해는 전기기사 및 전기산업기사 시험의 여러 부분에서 필수적으로 요구되는 기초 수학 개념입니다. * 특히 라플라스 변환(코사인 라플라스, 사인 라플라스) 문제를 해결하는 데 중요하게 사용됩니다. * **인수분해의 기본 개념: 약수 이해:** * 인수분해를 이해하기 위해서는 먼저 '약수'의 개념을 알아야 합니다. * '약수'는 '무엇으로 나누어지는가'를 의미하며, 나눗셈의 결과값이 정수가 되는 수입니다. * 예시 (6의 약수): 6을 나누었을 때 정수가 되는 수인 1, 2, 3, 6이 약수이며, 4와 5는 소수점이 나오므로 약수가 아닙니다. * 예시 (4의 약수): 4를 나누었을 때 정수가 되는 수인 1, 2, 4가 약수입니다. * **인수의 정의 및 예시:** * **인수(Factor)의 정의:** 하나의 다항식을 2개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 각각의 식을 처음 다항식의 '인수'라고 합니다. * **인수분해 예시 (공통 인수 묶기):** * $3x + 3y$ 는 공통 인수 $3$으로 묶어 $3(x + y)$ 로 나타낼 수 있으며, 여기서 $3$과 $(x + y)$ 가 인수입니다. * $x^2 - 1$ 은 $(x + 1)(x - 1)$ 로 나타낼 수 있으며, 여기서 $(x + 1)$ 과 $(x - 1)$ 이 인수입니다. * 다항식과 단항식: $3$은 단항식이지만, 다항식의 곱으로 나타낼 때 인수에 포함될 수 있습니다. * **인수분해의 목적:** 공통된 부분을 묶어 곱의 형태로 나타내는 것이 인수분해입니다. * **인수분해 예시 (공통 인수 묶기 연습):** * $3a + 3ab$ 는 공통 인수 $3a$ 로 묶어 $3a(1 + b)$ 로 나타낼 수 있습니다. * $2a^2b + 4ab$ 는 공통 인수 $2ab$ 로 묶어 $2ab(a + 2)$ 로 나타낼 수 있습니다. #### 2. 인수분해 3단계 전략 및 완전제곱식 활용 * **인수분해 3단계 문제 해결 전략:** 어떤 식을 인수분해 하려고 할 때, 다음의 순서대로 시도해야 합니다. 1. 1단계: 완전제곱식인지 확인합니다. 2. 2단계: 완전제곱식이 아니면 합곡(합과 곱) 형태로 바꾸려고 시도합니다. 3. 3단계: 합곡으로도 안 되면 근의 공식을 사용합니다. * **1단계: 완전제곱식의 이해 및 활용:** * **완전제곱식 공식:** $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 꼴로 나타낼 수 있습니다. * **예시 (증명):** $x^2 + 6x + 9$ 는 $(x + 3)^2$ 으로 나타낼 수 있으며, 이는 분배 법칙을 통해 $x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$ 로 증명됩니다. * **완전제곱식 판별 기준:** 완전제곱식은 가운데 항의 '반의 제곱'이 상수항과 같아야 합니다. * 예시: $x^2 + 8x + 16$ 에서 $8$의 반은 $4$이고, $4^2 = 16$ 이므로 완전제곱식입니다. * 예시: $x^2 + 10x + \square$ 에서 $\square$에 들어갈 값은 $10$의 반($5$)의 제곱인 $25$입니다. * **마이너스 부호가 있는 완전제곱식:** $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ 꼴도 동일하게 적용됩니다. * 예시: $x^2 - 4x + 4$ 에서 $-4$의 반은 $-2$이고, $(-2)^2 = 4$ 이므로 $(x - 2)^2$ 이 됩니다. * **전기 시험에서의 중요성:** 완전제곱식 개념을 알아야 라플라스 변환(코사인, 사인) 문제, 전기자기학, 회로이론 문제들을 풀 수 있습니다. * **상수가 곱해진 완전제곱식:** 다항식의 제곱에 상수가 곱해져도 완전제곱식으로 분류됩니다. * 예시: $3(x - 3)^2$ 도 완전제곱식입니다. #### 3. 인수분해 공식 활용: 제곱의 차와 합곡 공식 * **제곱의 차 공식 활용:** * **공식:** $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 로 인수분해할 수 있습니다. * **인수분해의 의미:** 어떤 식을 곱의 형태로 나타내는 것이 인수분해입니다. * 예시 1: $x^2 - 9^2$ 은 $a = x, b = 9$ 이므로 $(x + 9)(x - 9)$ 가 됩니다. * 예시 2 (제곱 꼴로 변형): $x^2 - 9$ 와 같이 제곱 꼴이 아닌 경우, $9$를 $3^2$ 으로 변형하여 $x^2 - 3^2$ 로 만든 후 $(x + 3)(x - 3)$ 으로 인수분해합니다. * 예시 3 (추가 연습): * $x^2 - 4$ 는 $x^2 - 2^2$ 이므로 $(x + 2)(x - 2)$ 가 됩니다. * $x^2 - 16$ 은 $x^2 - 4^2$ 이므로 $(x + 4)(x - 4)$ 가 됩니다. * $x^2 - 81$ 은 $x^2 - 9^2$ 이므로 $(x + 9)(x - 9)$ 가 됩니다. * 상수가 포함된 제곱의 차: $4a^2 - b^2$ 과 같이 앞에 상수가 있더라도 $4a^2$ 을 $(2a)^2$ 으로 묶어 $(2a + b)(2a - b)$ 로 인수분해할 수 있습니다. * **2단계: 합곡(합과 곱) 공식 활용:** * **합곡 공식:** $x^2 + (a + b)x + ab$ 꼴은 $(x + a)(x + b)$ 로 인수분해할 수 있습니다. * **합곡 공식 적용 순서:** * 1단계 (완전제곱식 확인): 먼저 완전제곱식인지 확인합니다. * 2단계 (합곡 적용): 합곡 공식을 적용할 때는 '곱이 되는 항'에 먼저 집중합니다. * 예시 1: $x^2 + 7x - 8$ 인수분해: * 곱해서 $-8$이 되는 정수 쌍을 찾습니다: $(1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4)$ * 이 중 더해서 $7$이 되는 쌍은 $(-1, 8)$ 입니다. * 따라서 인수분해 결과는 $(x - 1)(x + 8)$ 입니다. * 예시 2 (라플라스 변환 적용): $s^2 - 4s + 3$ 인수분해 (전기기사에서는 $x$ 대신 $s$ 를 많이 사용): * 완전제곱식 아님 ($-4$의 반의 제곱은 $4$인데 상수항은 $3$). * 곱해서 $3$이 되는 정수 쌍을 찾습니다: $(3, 1), (-3, -1)$ * 이 중 더해서 $-4$가 되는 쌍은 $(-3, -1)$ 입니다. * 따라서 인수분해 결과는 $(s - 3)(s - 1)$ 입니다. * 예시 3: $x^2 + 5x + 6$ 인수분해: * 곱해서 $6$이 되는 정수 쌍을 찾습니다: $(1, 6), (-1, -6), (2, 3), (-2, -3)$ * 이 중 더해서 $5$가 되는 쌍은 $(2, 3)$ 입니다. * 따라서 인수분해 결과는 $(x + 2)(x + 3)$ 입니다. * 예시 4: $x^2 - 8x + 12$ 인수분해: * 완전제곱식 아님 ($-8$의 반의 제곱은 $16$인데 상수항은 $12$). * 곱해서 $12$가 되는 정수 쌍을 찾습니다: $(1, 12), (-1, -12), (2, 6), (-2, -6), (3, 4), (-3, -4)$ * 이 중 더해서 $-8$이 되는 쌍은 $(-2, -6)$ 입니다. * 따라서 인수분해 결과는 $(x - 2)(x - 6)$ 입니다. #### 4. 기출 문제 풀이 및 인수분해 3단계 적용 연습 * **학습 방법 강조:** * 수학은 개념을 듣고 난 후 직접 해봐야 습득할 수 있습니다. * 기출문제에서 인수분해 부분이 나오면 공책에 따로 적어 스스로 풀 수 있는지 확인하는 반복 학습이 중요합니다. * **기출 문제 1: $r^2 - 2r - 3 = 0$ (2차 방정식 근 구하기):** * 1단계 (완전제곱식): $-2$의 반의 제곱은 $1$인데 상수항은 $-3$이므로 완전제곱식이 아닙니다. * 2단계 (합곡): * 곱해서 $-3$이 되는 쌍: $(1, -3), (3, -1)$ * 더해서 $-2$가 되는 쌍: $(1, -3)$ 입니다. * 인수분해 결과: $(r + 1)(r - 3) = 0$ 입니다. * 근 구하기: 이 식을 만족하는 $r$ 값은 $r = -1$ 또는 $r = 3$ 입니다. * 참고: 이 과정은 2차 방정식의 근을 구하는 과정이며, 이는 16단원에서 자세히 다룹니다. * **기출 문제 2: $(s + 1)(s + 6) - 14$ (정리 후 인수분해):** * 문제 인식: 식이 이미 곱의 형태로 보이지만, $-14$ 가 외톨이처럼 따로 있으므로 인수분해가 완료된 것이 아닙니다. * 풀이 단계: * 1단계 (정리): 분배 법칙을 사용하여 식을 전개합니다: $s^2 + 6s + s + 6 - 14$. * 2단계 (계산): 동류항을 정리합니다: $s^2 + 7s - 8$. * 3단계 (인수분해): * 완전제곱식 아님 ($7$의 반의 제곱이 $-8$이 아니다). * 합곡으로 푼다: 곱해서 $-8$이 되고 더해서 $7$이 되는 쌍은 $(-1, 8)$ 입니다. * 인수분해 결과: $(s + 8)(s - 1)$ 입니다. * 근 구하기: $s = 1$ 또는 $s = -8$ 입니다. * **기출 문제 3: $-3(s^2 + 4s + 3) = 0$ (등식의 성질 활용):** * 등식의 성질: 등식의 양변에 똑같은 수를 더하고 빼고 나누어도 등식은 성립합니다. * 식 변형: 양변에 $-\frac{1}{3}$ 을 곱하여 $-3$ 을 없애면 $s^2 + 4s + 3 = 0$ 이 됩니다. * 인수분해: * 완전제곱식 아님 ($4$의 반의 제곱은 $4$인데 상수항은 $3$). * 합곡으로 푼다: 곱해서 $3$이 되고 더해서 $4$가 되는 쌍은 $(1, 3)$ 입니다. * 인수분해 결과: $(s + 1)(s + 3)$ 입니다. * 근 구하기: $s = -1$ 또는 $s = -3$ 입니다. * **기출 문제 4: $(s + 2)(s + 2) - 2 = 0$ (정리 후 합곡):** * 식 정리: $(s + 2)^2 - 2 = 0$ 을 전개하여 $s^2 + 4s + 4 - 2 = 0$ 으로 만듭니다. * 정리된 식: $s^2 + 4s + 2 = 0$ 입니다. * 인수분해: * 완전제곱식 아님 ($4$의 반의 제곱은 $4$인데 상수항은 $2$). * 합곡으로 푼다: 곱해서 $2$가 되고 더해서 $4$가 되는 정수 쌍은 없습니다. * 참고: 이 문제는 합곡으로 풀리지 않으므로 근의 공식을 사용해야 합니다. * **기출 문제 5: $s(s - 4) + 3 = 0$ (정리 후 합곡):** * 식 정리: 분배 법칙을 사용하여 $s^2 - 4s + 3 = 0$ 으로 만듭니다. * 인수분해: * 완전제곱식 아님 ($-4$의 반의 제곱은 $4$인데 상수항은 $3$). * 합곡으로 푼다: 곱해서 $3$이 되고 더해서 $-4$가 되는 쌍은 $(-1, -3)$ 입니다. * 인수분해 결과: $(s - 1)(s - 3)$ 입니다. * 근 구하기: $s = 1$ 또는 $s = 3$ 입니다. * **기출 문제 6: $s^2 + 3s + 2$ (합곡):** * 인수분해: * 완전제곱식 아님 ($3$의 반의 제곱은 $\frac{9}{4}$ 인데 상수항은 $2$). * 합곡으로 푼다: 곱해서 $2$가 되고 더해서 $3$이 되는 쌍은 $(1, 2)$ 입니다. * 인수분해 결과: $(s + 1)(s + 2)$ 입니다. * 근 구하기: $s = -1$ 또는 $s = -2$ 입니다. * **기출 문제 7: $k^2 - 3k + 2 ### 10 비례, 반비례, 비례식 전기기사 기초수학에서 비례, 반비례, 비례식의 핵심 개념은 다음과 같습니다. 정비례는 $x$가 분자에, 반비례는 $x$가 분모에 위치하며, 비례식은 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 것이 핵심입니다. 각 개념의 그래프 형태는 다음과 같습니다. * **정비례:** 직선 * **반비례:** 곡선 #### 1. 전기기사 기초 수학: 정비례, 반비례, 비례식 개요 * **강의 목표 및 대상:** * 이 강의는 전기기사 및 전기산업기사 시험에 필요한 모든 수학을 정리하는 강좌입니다. * 초등학교, 중학교, 고등학교 때 수학을 배우지 않았더라도 괜찮으며, 수학적으로 부족한 분들을 위해 기초적인 내용부터 다룹니다. * 완전 초등수학 내용이라도 차곡차곡 학습하면 전기기사에 필요한 수학을 모두 배울 수 있습니다. * 다른 수학 강의에서는 다루지 않는 개념 설명과 쉽게 푸는 팁을 제공합니다. * **10단원 학습 내용:** * 10단원은 초등학교 6학년, 중학교 1학년 때 배우는 정비례, 반비례, 비례식에 대한 내용입니다. * 그래프 그리는 것은 중학교 1학년 과정이지만, 모르면 배워야 합니다. #### 2. 정비례 (Proportionality) 개념 및 그래프 * **정비례의 정의:** * $x$가 2배, 3배, 4배가 됨에 따라 $y$도 똑같이 2배, 3배, 4배가 되는 관계를 정비례라고 합니다. * $x$가 오르면 $y$도 오르는 관계입니다. * **정비례의 식 표현:** * 정비례 식은 $y = ax$ 로 표현하며, 여기서 $a$는 상수(숫자)입니다. * 예시 (닭의 다리 수): * 닭($x$)이 1마리일 때 다리($y$)는 2개, 2마리일 때 4개, 3마리일 때 6개입니다. * $x$가 증가함에 따라 $y$가 증가하는 정비례 관계입니다. * 이 관계를 식으로 표현하면 $y = 2x$ 가 됩니다. * **정비례 그래프의 특징:** * $y = 2x$ 식을 그래프로 그리면, $x$가 1일 때 $y$는 2, $x$가 2일 때 $y$는 4, $x$가 3일 때 $y$는 6이 됩니다. * $x$가 -1일 때 $y$는 -2가 되며, 이 점들을 연결하면 직선이 됩니다. * 상수 $a$의 영향: $a$가 클수록 그래프의 경사가 가파르다. * 예시: $y = 3x$ 는 $y = 2x$ 보다 더 가파른 그래프를 형성합니다. #### 3. 반비례 (Inverse Proportionality) 개념 및 그래프 * **반비례의 정의:** * 반비례는 '반대'의 의미에서 느껴지듯이, $x$가 증가하면 $y$는 감소하는 관계입니다. * 이를 역비례라고도 하지만, 전기기사에서는 역비례라는 표현을 사용하지 않습니다. * **반비례의 식 표현:** * 반비례 식은 $y = \frac{a}{x}$ 형태로 표현하며, $a$에는 숫자가 들어갑니다. * 예시 ($y = 5/x$): * $x$가 1일 때 $y$는 5, $x$가 2일 때 $y$는 $5/2$, $x$가 5일 때 $y$는 1입니다. * $x$ 값이 증가함에 따라 $y$ 값이 감소하는 것을 확인할 수 있습니다. * **반비례 그래프의 특징:** * $x$축(가로축)과 $y$축(세로축)에 $x$와 $y$ 값을 대입하여 점을 연결하면 곡선이 됩니다. * $x$ 값이 1, 2, 3으로 증가함에 따라 $y$ 값은 아래로 쭉쭉 내려가는 형태를 보입니다. #### 4. 비례식 (Proportion) 개념 및 활용 * **비례식의 정의:** * 비례식은 비율이 같은 두 비를 등식으로 나타낸 식입니다. * 비례식의 핵심 공식은 '내항의 곱과 외항의 곱은 같다'는 것입니다. * 즉, $a : b = c : d$ 일 때, $b \times c = a \times d$ 입니다. * **비례식 예시 (자동차 바퀴 수):** * 차(대수)와 바퀴(개수)는 정비례 관계입니다 (1대: 4개, 2대: 8개, 30대: 120개). * 이를 비례식으로 표현하면 $1 : 4 = 30 : 120$ 입니다. * 내항의 곱 ($4 \times 30 = 120$)과 외항의 곱 ($1 \times 120 = 120$)이 같음을 확인할 수 있습니다. * **비례식 문제 풀이:** * 전기기사 문제에서 $1 : 5 = 6 : x$ 와 같은 비례식이 주어지면, 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 식을 세워 $x$를 구합니다. * $5 \times 6 = 1 \times x$ 이므로, $x = 30$ 이 됩니다. * 등식의 성질 활용: $3 : 6 = x : 4$ 에서 $6x = 12$ 이므로, 양변을 $6$으로 나누어 $x = 2$ 를 구합니다. #### 5. 정비례/반비례 총정리 및 전기 공식 적용 핵심 팁 * **정비례와 반비례의 식 형태:** * **정비례:** $y = ax$ (예: $y = 3x$) * **반비례:** $y = \frac{a}{x}$ (예: $y = \frac{3}{x}$) * **전기 공식 해석을 위한 핵심 포인트:** * **정비례:** $x$가 분자에 있으면 정비례 관계입니다. * $y = 3x$ 는 $y = 3 \times \frac{x}{1}$ 로 볼 수 있으므로 $x$는 분자에 있습니다. * **반비례:** $x$가 분모에 있으면 반비례 관계입니다. * 이 분자/분모 위치를 파악하는 것이 전기기사 문제 풀이에서 매우 중요합니다. #### 6. 전기기사 공식에 정비례/반비례 적용 사례 (문제 풀이) * **자기 인덕턴스 및 옴의 법칙 적용:** * **환상 코일의 자기 인덕턴스 공식 ($L = \frac{\mu s n^2}{l}$):** * **정비례 (분자):** 투자율($\mu$), 단면적($s$), 권수($n$)의 제곱($n^2$) * **반비례 (분모):** 길이($l$) * **응용 문제:** 권수($n$)를 반으로 줄였을 때 인덕턴스($L$)를 일정하게 유지하려면? * 권수를 $\frac{n}{2}$ 로 대입하면, $L' = \frac{\mu s (\frac{n}{2})^2}{l} = \frac{\mu s \frac{n^2}{4}}{l} = \frac{1}{4} \frac{\mu s n^2}{l}$ 이 됩니다. * 이 $L'$ 이 원래 $L$ 과 같아지려면 분모의 $l$ 도 $\frac{l}{4}$ 로 줄여야 합니다. * 따라서 길이를 4분의 1로 하면 인덕턴스가 일정하게 유지됩니다. * **옴의 법칙 적용 ($V = IR$):** * 저항($R$)과 전류($I$)의 관계를 보기 위해 식을 $I = \frac{V}{R}$ 로 변환합니다. * **응용 문제:** 저항($R$) 값을 $20\%$ 감소시키면 전류($I$)는 몇 배가 되는가? * 저항 $20\%$ 감소는 $R' = R - 0.2R = 0.8R$ 을 의미합니다. ($0.2R$이 아님) * 새로운 전류 $I' = \frac{V}{0.8R}$ 입니다. * $0.8 = \frac{4}{5}$ 이므로, $I' = \frac{V}{\frac{4}{5}R}$ 입니다. * 번분수 성질에 의해 $I' = \frac{5}{4}\frac{V}{R}$ 이 되며, 여기서 $\frac{V}{R}$ 은 원래 전류 $I$ 입니다. * $\frac{5}{4} = 1.25$ 이므로, 전류는 원래 전류의 $1.25$배가 됩니다. * **전력 손실, 자기의 세기, 전계 공식 적용:** * **변압기 2차측 동손 공식 ($P_c = I^2R$):** * 이 공식은 분모에 있는 항이 없으므로, 전력 손실($P_c$)은 전류($I$)의 제곱과 저항($R$)에 정비례합니다. * **응용 문제:** 전류를 2배로 증가시키면 동손은 몇 배가 되는가? * $I \to 2I$ 를 대입하면, $P_c' = (2I)^2R = 4I^2R$ 이 됩니다. * 원래 동손($I^2R$)의 4배가 됩니다. * **표피 효과 침투 깊이 공식:** * 침투 깊이($\delta$) 공식에서 주파수($f$), 도전율($\sigma$), 투자율($\mu$)은 분모에 있으므로 침투 깊이와 반비례합니다. * 주의: 문제에서 묻는 것은 침투 깊이가 아니라 표피 효과입니다. * 표피 효과는 침투 깊이와 완전 반대 관계이므로, 침투 깊이와 반비례하는 요소들은 표피 효과와 정비례합니다. * 따라서 주파수($f$), 도전율($\sigma$), 투자율($\mu$)이 높아지면 표피 효과도 커집니다. * **자기의 세기 공식 ($H = \frac{I}{2\pi r}$):** * 자기의 세기($H$)는 거리($r$)에 반비례합니다 ($r$이 분모에 있음). * **응용 문제:** 거리가 $0.1$에서 $0.4$로 4배가 되면 자기의 세기는 몇 배가 되는가? * $r$이 4배가 되면 $H$는 반비례하므로 4분의 1배가 됩니다. * 원래 세기가 100이었다면, $100 \times \frac{1}{4} = 25$ 가 됩니다. * **선전하에 작용하는 힘 공식:** * 힘($F$) 공식에서 거리($h$)는 분모에 있으므로 힘($F$)은 거리($h$)에 반비례합니다. * 정비례하는 요소는 선전하 밀도($\lambda$)의 제곱($\lambda^2$)입니다. * **전기 쌍극자의 전위($V$) 및 전개($E$) 공식:** * **전위 ($V$):** 거리($r$)의 제곱($r^2$)에 반비례합니다. ($V \propto \frac{1}{r^2}$) * **전개 ($E$):** 거리($r$)의 세제곱($r^3$)에 반비례합니다. ($E \propto \frac{1}{r^3}$) * **전력 손실 공식 ($P_L \propto \frac{1}{V^2}$):** * 전력 손실($P_L$)은 전압($V$)의 제곱에 반비례합니다 ($V$가 분모에 있음). * 표현 방식: $V$ 제곱에 반비례한다는 것은 $V^2$ 의 역수인 $\frac{1}{V^2}$ 에 비례한다고도 쓸 수 있습니다. * **점전하에 의한 전계의 세기 공식:** * 전계의 세기($E$)는 거리($r$)의 제곱($r^2$)에 반비례합니다 ($r$이 분모에 있음). * 응용: $\frac{1}{r^2}$ 에 반비례한다는 것은 $r^2$ 에 비례한다고 할 수 있습니다. (원문 오류. $r^2$에 반비례하는 것은 $\frac{1}{r^2}$에 정비례하는 것입니다.) * **저항 공식 ($R = \rho \frac{L}{A}$):** * 저항($R$)은 면적($A$)에 반비례합니다 ($A$가 분모에 있음). * 저항($R$)은 길이($L$)와 비저항($\rho$)에 비례합니다. * **구체 전계 및 정전 용량 공식 적용:** * **구체 전계 공식:** * **구체 외부 전계:** 전계($E$)는 거리($r$)의 제곱($r^2$)에 반비례합니다 ($r$이 분모에 있음). * 공식의 상수($\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$)는 비례/반비례 관계에 영향을 주지 않습니다. * **구체 내부 전계:** 전계($E$)는 거리($r$)에 비례합니다 ($r$이 분자에 있음). * 반비례하는 요소는 반지름($a$)의 세제곱($a^3$)입니다. * **비례식 활용 (변압기 문제):** * $N_1 : N_2 = V_1 : V_2$ 와 같은 비례식에서 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 원리를 이용해 미지수를 구합니다. * **정전 용량 공식 및 로그 함수 적용:** * 정전 용량($C$) 공식에는 로그 함수($\log \frac{d}{r}$)가 분모에 포함되어 있습니다. * **로그 함수의 성질:** 밑이 1보다 큰 로그 그래프는 $x$가 커질수록 $y$도 커지는 형태입니다. * **인과 관계:** * 도체 간 거리($d$)가 커지면 로그 전체 값($\log \frac{d}{r}$)도 커집니다. * 이 로그 전체 값은 정전 용량($C$) 공식의 분모에 있으므로, 로그 값이 커지면 정전 용량($C$)은 감소합니다. #### 7. 최종 정리 및 학습 강조 사항 * **핵심 요약:** * 분모에 있다: 반비례 * 분자에 있다: 비례 (정비례) * 비례식: 내항의 곱과 외항의 곱은 같다. * **학습 조언:** * 수학은 한 가지 기능만 묻는 것이 아니라 여러 개념을 섞어서 물어보므로 어려울 수 있습니다. * 지금 다룬 내용 중 어려운 부분은 나중에 다시 배우게 될 것이므로 차근차근 정복해야 합니다. #### 예시 문제 **1. 다음 관계식에서 $y$는 $x$에 대해 어떤 관계를 가지는지 설명하시오.** $y = 3x$ **풀이:** 1. 변수 $x$가 분자에 있습니다. 2. 따라서 $y$는 $x$에 **정비례**합니다. ($x$가 $2$배, $3$배 되면 $y$도 $2$배, $3$배 됩니다.) **2. 다음 관계식에서 $y$는 $x$에 대해 어떤 관계를 가지는지 설명하시오.** $y = \frac{10}{x}$ **풀이:** 1. 변수 $x$가 분모에 있습니다. 2. 따라서 $y$는 $x$에 **반비례**합니다. ($x$가 $2$배, $3$배 되면 $y$는 $\frac{1}{2}$배, $\frac{1}{3}$배 됩니다.) #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 옴의 법칙에서 전류 $I = \frac{V}{R}$ 와 같습니다. 여기서 $V$는 전압, $R$은 저항입니다. 전류 $I$는 전압 $V$와 저항 $R$에 각각 어떤 관계를 가지는지 설명하시오.** **풀이:** 1. **전압 $V$와의 관계:** $I = \frac{1}{R} \times V$ 로 볼 수 있습니다. 여기서 $V$는 분자에 위치합니다. * 따라서 전류 $I$는 전압 $V$에 **정비례**합니다. (저항이 일정할 때 전압이 커지면 전류도 커집니다.) 2. **저항 $R$과의 관계:** $I = V \times \frac{1}{R}$ 로 볼 수 있습니다. 여기서 $R$은 분모에 위치합니다. * 따라서 전류 $I$는 저항 $R$에 **반비례**합니다. (전압이 일정할 때 저항이 커지면 전류는 작아집니다.) **2. 전력 손실 $P_L$은 송전 전압 $V$의 제곱에 반비례한다고 합니다. 이를 수식으로 표현하고, 송전 전압을 2배로 높이면 전력 손실은 몇 배가 되는지 구하시오.** **풀이:** 1. **수식 표현:** $P_L \propto \frac{1}{V^2}$ 또는 $P_L = \frac{k}{V^2}$ (여기서 $k$는 비례 상수) 2. **전압을 2배로 높였을 때 전력 손실 변화:** * 새로운 전압을 $V' = 2V$ 라고 합니다. * 새로운 전력 손실 $P_L'$은 $P_L' = \frac{k}{(V')^2} = \frac{k}{(2V)^2} = \frac{k}{4V^2}$ 입니다. * 원래 전력 손실 $P_L = \frac{k}{V^2}$ 이므로, $P_L' = \frac{1}{4} P_L$ 이 됩니다. 3. 따라서 송전 전압을 2배로 높이면 전력 손실은 **$\frac{1}{4}$배**로 줄어듭니다. ### 11 여러 함수의 그래프 전기기사 시험에 나오는 모든 수학을 정리하는 과정으로, 함수 그래프를 보고 어떤 함수인지 파악하고 응용하기 위함입니다. 여러 함수의 그래프 학습의 첫 단계는 좌표 평면에서 점을 표시하는 방법을 익히는 것으로, $x$축, $y$축, 사분면의 개념을 이해하고 특정 좌표를 그리는 연습을 합니다. #### 1. 함수와 그래프 학습의 필요성 및 좌표 평면의 이해 * **함수 학습의 중요성:** * **학습 배경:** 전기기사 및 전기산업기사 시험에 나오는 모든 수학을 정리하는 강의입니다. * **함수 활용:** 전기 공부를 하면서 함수를 많이 접하게 되며, 그래프를 보고 어떤 함수인지 끌어낼 수 있어야 합니다. * **응용성:** 함수와 그래프 해석은 어려운 내용이지만, 나중에 전기 이론에 응용되어 사용되므로 지금 배워두는 것이 중요합니다. * **범용성:** 함수 개념은 공학, 기계, 전기 등 여러 분야에서 사용되므로, 개념 정도는 알아두는 것이 좋습니다. * **좌표 평면의 기본 개념 및 사분면:** * **좌표 평면 정의:** 좌표 평면은 $x$축과 $y$축으로 구성되며, 변수에 따라 축의 이름이 바뀌기도 하지만 일반적으로 $x$축과 $y$축으로 봅니다. * **증가 방향:** 일반적으로 오른쪽으로 갈 때 $x$값이 증가하고, 위쪽으로 갈 때 $y$값이 증가하며, 원점은 $(0, 0)$입니다. * **좌표 표시:** 좌표는 $(x, y)$ 순서로 표현되며, $x$축은 오른쪽으로 $1, 2, 3, \dots$ (양수), 왼쪽으로 $-1, -2, -3, \dots$ (음수)로 표시됩니다. * **y축 표시:** $y$축은 위로 $1, 2, 3, \dots$ (양수), 아래로 $-1, -2, -3, \dots$ (음수)로 표시됩니다. * **사분면 구분:** 좌표 평면은 1, 2, 3, 4 순서로 1사분면, 2사분면, 3사분면, 4사분면으로 표현됩니다. * **좌표 평면에서 점 찍기 및 사분면 부호 확인:** * **점 표시 방법:** $x$값과 $y$값이 주어지면 좌표 평면 안에 점이 어디 있는지 표현할 수 있습니다. * 예시 1 $(3, 2)$: $x$는 $3$, $y$는 $2$인 점을 찾습니다. * 예시 2 $(-2, 3)$: $x$는 $-2$, $y$는 $3$인 점을 찾습니다. * 예시 3 $(3, -2)$: $x$는 $3$, $y$는 $-2$인 점을 찾습니다. * **사분면 부호:** * 1사분면: $x$와 $y$ 모두 플러스($+$)입니다 (예: $(4, 5)$). * 4사분면: $x$는 플러스($+$), $y$는 마이너스($-$)입니다 (예: $(3, -2)$). * 2사분면: $x$는 마이너스($-$), $y$는 플러스($+$)입니다 (예: $(-2, 2)$). * 3사분면: $x$와 $y$ 모두 마이너스($-$)입니다. * **축 위의 점:** $x$축이나 $y$축 위에 있는 점(예: $(4, 0)$ 또는 $(-4, 0)$)은 어떤 사분면에도 속하지 않는다고 정의합니다. * **학습 태도:** 개념을 이해하는 것보다 여러 번 시도하여 익숙하게 만드는 것이 중요하며, 이를 위해 문제를 많이 풀어봐야 합니다. #### 2. 일차함수의 그래프 해석: 기울기와 절편 * **일차함수의 정의 및 핵심 요소:** * **일차함수 정의:** 차수가 $1$차인 함수를 말하며, $x$의 $3$승이나 $4$승 같은 고차항이 없고 $x$에 $1$이 생략되어 있는 형태입니다. * **표현 형태:** $y = ax$ 또는 $y = ax + b$ 형태로 표현됩니다 (예: $y = 2x, y = -2x + 1, y = 3x$). * **그래프의 핵심:** 일차함수 그래프의 핵심은 '기울기'와 'y절편'입니다. * **기울기 개념:** 기울기는 직선이 기울어진 정도를 나타내며, 그래프의 모양을 결정합니다. * **기울기 구하는 방법 (두 점을 이용):** * **함수 그래프 그리기 예시 ($y = 2x$):** * $x$에 $1, 2, 3$을 대입하면 $y$값은 각각 $2, 4, 6$이 되어 점 $(1, 2), (2, 4), (3, 6)$을 얻는다. * 이 점들을 좌표 평면에 찍으면 $(1, 2)$와 $(2, 4)$ 두 점만 있어도 직선을 그을 수 있는데, 이는 두 점을 지나는 직선은 하나밖에 없기 때문입니다. * 이 직선이 $y = 2x$ 그래프입니다. * **기울기 공식:** 두 점을 알고 있을 때 기울기는 'x값의 증가량 분의 y값의 증가량' 공식으로 구합니다. * **기울기 계산 예시 $(1, 2)$와 $(2, 4)$:** * $x$값 증가량: $1$에서 $2$로 $1$만큼 증가했다. * $y$값 증가량: $2$에서 $4$로 $2$만큼 증가했다. * 기울기: $\frac{2}{1} = 2$ 이므로, 이 그래프는 $y = 2x$ 가 됩니다. * **기울기의 의미:** 기울기 $a$는 $x$가 $1$만큼 증가할 때 $y$값이 증가하는 양을 말합니다 (예: 기울기가 $2$이면 $x$가 $1$ 증가할 때 $y$는 $2$ 증가한다). * **기울기 계산 예시 $(3, 5)$와 $(4, 6)$:** * 증가량 비교: $x$는 $3$에서 $4$로 $1$만큼, $y$는 $5$에서 $6$으로 $1$만큼 증가했으므로 기울기는 $\frac{1}{1} = 1$ 입니다. * 차이 이용: $x$값의 차이($4 - 3$) 분의 $y$값의 차이($6 - 5$)를 계산해도 $\frac{1}{1} = 1$ 이 됩니다. * **기울기와 탄젠트 세타의 관계 (참고):** * **탄젠트 세타:** 직선의 기울기는 탄젠트 세타($\tan \theta$)로 표현될 수 있습니다. * **정의:** 직각삼각형에서 밑변을 $x$, 높이를 $y$라고 했을 때, $\tan \theta = \frac{y}{x}$ (밑변 분의 높이)입니다. * **학습 권고:** 이 내용은 전투수학 21단원에서 자세히 배우므로, 지금은 '기울기는 탄젠트 세타였지' 정도만 기억하면 됩니다. * **활용도:** 전기기사 시험에서 이 개념의 활용도는 매우 낮으므로, 기울기를 구하는 1번과 2번 방법(증가량, 차이)을 주로 사용합니다. * **y절편의 개념과 구하는 방법:** * **y절편 정의:** y절편은 $x$가 $0$일 때의 $y$값을 말합니다. * **그래프 해석:** 그래프가 $y$축과 만나는 지점, 즉 $x$가 $0$일 때 $y$축 상에서 얼만큼 올라가 있는지를 나타냅니다. * **구하는 방법:** 직선의 방정식($y = ax + b$)에 $x = 0$ 을 대입한 값입니다. * **예시 ($y = 2x + 1$):** * $x = 0$ 을 대입하면 $y = 2(0) + 1$ 이 되어 $y = 1$ 이 됩니다. * 따라서 y절편은 $1$이며, 좌표로 표현하면 $(0, 1)$입니다. * **일차함수 공식에서의 절편:** $y = ax + b$ 에서 기울기는 $a$이고, y절편은 $b$입니다. * **기울기와 y절편 구하기 연습:** * $y = -3x - 4$: 기울기는 $-3$, y절편은 $-4$입니다. * $y = \frac{2}{5}x + 10.2$: 기울기는 $\frac{2}{5}$, y절편은 $10.2$입니다. * **결론:** $1$차 함수에서는 그래프를 그릴 때 기울기와 y절편이 가장 중요합니다. #### 3. 상수 함수와 단위 계단 함수 (Unit Step Function) * **상수 함수 (Constant Function):** * **정의:** $y = c$ 꼴로 표현되며, $x$값에 관계없이 $y$값이 항상 일정한 함수입니다. * **그래프 특징:** $x$축에 평행한 직선 형태로 그려집니다. * **예시 ($y = 1$):** * y절편은 $x$가 $0$일 때 $y$값인 $1$입니다. * $x$가 $0$일 때 $(0, 1)$, $x$가 $1$일 때 $(1, 1)$, $x$가 $2$일 때 $(2, 1)$ 등 모든 $y$값이 $1$입니다. * $y = 1$ 그래프는 $y$값이 모두 $1$이므로 $x$값만 변한다. * 다른 예시: $y = 3$의 y절편은 $3$, $y = 10$의 y절편은 $10$입니다. * **단위 계단 함수 (Unit Step Function, $u(t)$):** * **개념:** 유닛 스텝 펑션(Unit Step Function)이라고 하며, '1개 단 올라오는 함수'로 이해할 수 있습니다. * **기본 형태:** * **크기 변화:** $u(t)$ 는 $1$만큼 올라가는 함수를 의미하며, 만약 $3$만큼 올라가면 $3u(t)$ 가 됩니다. * **시간 이동 (지연):** $0$이 아닌 시점($a$)에서 시작하여 이동했다면, $u(t - a)$ 로 표현합니다. * **그래프 해석 및 표현:** * 예시 1 ($4$만큼 상승, 원점 시작): $4u(t)$ 가 됩니다. * 예시 2 ($1$만큼 상승, $2$에서 시작): $u(t - 2)$ 가 됩니다. * 예시 3 ($2$만큼 상승, $1$에서 시작): $2u(t - 1)$ 이 됩니다. * **문제 풀이 연습:** * $1$만큼 상승, $4$에서 시작: $u(t - 4)$ 가 됩니다. * $3$만큼 상승, $0$에서 시작: $3u(t - 0)$ 이므로 $3u(t)$ 가 됩니다. * **중요성:** 단위 계단 함수는 나중에 라플라스 변환을 할 때 매우 중요하게 사용됩니다. * **단위 계단 함수를 이용한 구형파 표현 (라플라스 변환 응용):** * **구형파 표현:** 특정 구간에서만 값이 존재하는 구형파 형태의 그래프는 두 단위 계단 함수의 차이로 표현할 수 있습니다. * **정석적인 방법 (예시: $0$에서 $2$까지 $1$인 구형파):** * 1번 그래프 (UT): $0$에서 $1$만큼 증가한 함수 ($u(t - 0) = u(t)$). * 2번 그래프 (UT - 2): $2$에서 $1$만큼 증가한 함수 ($u(t - 2)$). * 결과: 1번에서 2번을 빼면 구형파가 되므로, $u(t) - u(t - 2)$ 로 표현됩니다. * **꼼수 방법 (변화 지점 활용):** * 변화 지점 파악: 함수가 변한 지점($0$과 $2$)을 찾습니다. * 함수 작성: $u(t)$ 와 $u(t - 2)$ 를 씁니다. * 증감량 곱하기: $0$에서 $1$만큼 증가했으므로 $1 \times u(t)$, $2$에서 $1$만큼 떨어졌으므로 $-1 \times u(t - 2)$ 를 계산하여 $u(t) - u(t - 2)$ 를 얻습니다. * **학습 권고:** 이 부분은 라플라스 변환 강의를 참고하여 복습하는 것이 좋습니다. #### 4. 지수 함수와 그래프 형태 * **선행 학습:** 지수 함수를 이해하려면 지수 법칙과 자연 상수 $e$에 대해 먼저 배워야 합니다 (전투수학 26단원). * **자연 상수 $e$:** * **정의:** $e$는 약 $2.71828\dots$ 로 끝없이 이어지는 무리수입니다 (원주율 $\pi$ 와 같은 무리수). * **의미:** 전기자기학이나 회로이론에서 많이 보게 되며, 증가에 대한 개념을 설명할 때 사용됩니다. * **지수 함수 그래프 ($y = a^x$):** * $a > 1$ 인 경우 (증가 함수): $y = 2^x, y = 3^x, y = e^x$ 등 밑($a$)이 $1$보다 큰 경우, 그래프는 오른쪽 위로 쭉 올라가는 형태로 그려집니다. * $y = e^{-t}$ 그래프 (감소 함수): $y = e^{-t}$ 형태는 오른쪽 아래로 내려가는 형태로 그려집니다. #### 5. 함수 그래프 해석 문제 풀이 및 복습 권고 * **2차 함수 (포물선) 및 기타 그래프:** * $r^2$ 그래프: $r^2$ 형태의 함수는 포물선 형태로 아래로 내려가는 모양으로 그려집니다. * 전기자기학 문제 예시: 직선으로 쭉 올라가는 그래프는 $1$차 함수이며, 'r'만큼 비례한다고 표현합니다. * **기울기를 이용한 함수식 도출 (전기 문제 응용):** * **1차 함수 그래프 해석:** $x$축이 $t$, $y$축이 $y$일 때, 함수는 $y = at$ 꼴입니다. * **기울기 계산:** 그래프에서 $x(t)$가 $1$만큼 증가할 때 $y$가 $10$만큼 증가했으므로, 기울기는 $\frac{10}{1} = 10$ 입니다. * **함수식:** 따라서 이 직선 구간의 함수식은 $y = 10t$ 입니다. * **상수 함수 그래프 해석:** 일자로 그어진 그래프는 상수 함수이며, $y$값이 $10$이므로 함수식은 $y = 10$ 입니다. * **활용:** 그래프를 보고 $y = 10t$ 와 $y = 10$ 이라는 함수식을 알아내야 적분 등을 통해 문제를 풀 수 있습니다. * **단위 계단 함수 그래프 그리기 연습:** * $u(t - a)$ 그래프: $u$ 앞에 아무것도 곱해져 있지 않으므로 $1$만큼 증가하며, $t - a$ 꼴이므로 $a$ 시점에서 증가합니다. * $u(t - a) - u(t - b)$ 그래프: * $u(t - a)$ 는 $a$에서 $1$만큼 증가한다. * $u(t - b)$ 는 $b$에서 $1$만큼 증가한다. * 두 함수의 차이는 $a$에서 $1$로 상승했다가 $b$에서 다시 $0$으로 깎이는 형태의 구형파를 만듭니다. * **최종 정리 및 학습 전략:** * **학습 내용:** 일차 함수, 상수 함수, 단위 함수, 지수 함수에 대해 다루었다. * **복습 전략:** 이 내용은 어려울 수 있으므로, 지금 당장 모두 외울 필요는 없으며, '이런 것을 배웠다' 정도만 알아두고 나중에 전기기사 공부를 하면서 필요할 때마다 11단원으로 다시 돌아와 복습해야 합니다. * **마무리:** 복습을 통해 개념을 다시 한번 확인하는 것이 중요합니다. #### 예시 문제 **1. 다음 두 점을 지나는 일차함수의 기울기를 구하시오.** 점 $(1, 3)$과 $(3, 7)$ **풀이:** 1. 기울기 공식: $\frac{\text{y값의 변화량}}{\text{x값의 변화량}}$ 2. $x$값의 변화량: $3 - 1 = 2$ 3. $y$값의 변화량: $7 - 3 = 4$ 4. 기울기: $\frac{4}{2} = 2$ **2. 일차함수 $y = -3x + 5$ 의 기울기와 y절편을 구하시오.** **풀이:** 1. 일차함수 $y = ax + b$ 에서 $a$는 기울기, $b$는 y절편입니다. 2. 기울기 $a = -3$ 3. y절편 $b = 5$ #### 전기기사 적용 문제 (예시) **1. 다음 그림과 같은 단위 계단 함수 $f(t)$를 수식으로 표현하시오.** (그림: $t=0$에서 $y=0$이었다가 $t=2$에서 $y=3$으로 상승하여 계속 $y=3$을 유지하는 그래프) **풀이:** 1. 단위 계단 함수는 $k \cdot u(t - a)$ 형태로 표현됩니다. 여기서 $k$는 상승 크기, $a$는 시작 시간입니다. 2. 그래프를 보면 $t=2$에서 $y$값이 $0$에서 $3$으로 상승했습니다. 3. 상승 크기 $k = 3$ 이고, 시작 시간 $a = 2$ 입니다. 4. 따라서 수식은 $f(t) = 3u(t - 2)$ 입니다. **2. 다음 두 지점의 전압 변화를 나타내는 그래프가 주어졌을 때, $t=1$초부터 $t=3$초까지의 구간에서 전압 $V(t)$를 나타내는 일차함수식을 구하시오.** ($t=1$일 때 $V=5$, $t=3$일 때 $V=9$) **풀이:** 1. 먼저 기울기 $a$를 구합니다. $a = \frac{\text{V값의 변화량}}{\text{t값의 변화량}} = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ 2. 일차함수의 식은 $V(t) = at + b$ 이므로, $V(t) = 2t + b$ 입니다. 3. 주어진 한 점(예: $t=1, V=5$)을 대입하여 $b$를 구합니다. $5 = 2(1) + b$ $5 = 2 + b$ $b = 3$ 4. 따라서 $t=1$초부터 $t=3$초까지의 전압 $V(t)$는 $V(t) = 2t + 3$ 입니다.