Résolution EDO Linéaires & Non Linéaires

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1. EDO Linéaires du 1er Ordre Forme Générale $y'(x) + a(x)y(x) = b(x)$ Méthode de Résolution Homogène associée: Résoudre $y_h'(x) + a(x)y_h(x) = 0$. Séparer les variables: $\frac{dy_h}{y_h} = -a(x)dx$ Intégrer: $\ln|y_h| = -\int a(x)dx + C_0$ Solution homogène: $y_h(x) = C e^{-\int a(x)dx}$ Solution particulière (Variation de la constante): Poser $y_p(x) = C(x)e^{-\int a(x)dx}$ Dériver $y_p(x)$ et substituer dans l'EDO complète. On doit trouver $C'(x)e^{-\int a(x)dx} = b(x)$, donc $C'(x) = b(x)e^{\int a(x)dx}$ Intégrer $C'(x)$ pour trouver $C(x)$. Solution générale: $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ Astuces Le facteur intégrant $e^{\int a(x)dx}$ peut simplifier l'équation si on multiplie toute l'EDO par lui. 2. EDO Linéaires du 2nd Ordre à Coefficients Constants Forme Générale $ay''(x) + by'(x) + cy(x) = f(x)$ Méthode de Résolution Homogène associée: $ay_h''(x) + by_h'(x) + cy_h(x) = 0$ Équation caractéristique: $ar^2 + br + c = 0$ Racines $r_1, r_2$: $\Delta > 0$: $y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ $\Delta = 0$: $y_h(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$ (où $r = r_1 = r_2$) $\Delta Solution particulière $y_p(x)$ (pour $f(x) \neq 0$): Méthode des coefficients indéterminés: (pour $f(x)$ de forme spécifique: polynôme, exponentielle, trigonométrique) Si $f(x)$ est polynôme: $y_p(x)$ est polynôme de même degré (ou degré augmenté si $0$ est racine de l'équation caractéristique). Si $f(x) = P(x)e^{\alpha x}$: $y_p(x) = Q(x)e^{\alpha x}$ (où $Q(x)$ est polynôme de même degré que $P(x)$, multiplié par $x^k$ si $\alpha$ est racine d'ordre $k$ de l'équation caractéristique). Si $f(x) = P(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ ou $P(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x)$: $y_p(x) = x^k e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ (où $Q_1, Q_2$ sont polynômes de même degré que $P(x)$, $k$ est l'ordre de multiplicité de $\alpha + i\beta$ comme racine). Méthode de variation des paramètres: (plus générale, pour tout $f(x)$) Soit $y_1, y_2$ des solutions fondamentales de l'homogène. Poser $y_p(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)$ Résoudre le système: $u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0$ $u_1'y_1' + u_2'y_2' = f(x)/a$ Intégrer $u_1'$ et $u_2'$ pour trouver $u_1$ et $u_2$. Solution générale: $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ Astuces Pour les coefficients indéterminés, si $f(x)$ est une somme de termes, traiter chaque terme séparément et sommer les solutions particulières. Vérifier toujours que $y_p(x)$ n'est pas une solution de l'équation homogène. Si c'est le cas, multiplier par $x$ (ou $x^2$). Le Wronskien peut être utile pour vérifier l'indépendance linéaire des solutions homogènes. 3. EDO Non Linéaires - Méthodes de Résolution Généralités Les EDO non linéaires sont beaucoup plus difficiles à résoudre analytiquement. Souvent, des méthodes numériques ou des approximations sont nécessaires. Il n'y a pas de méthode générale unique. a) EDO à Variables Séparables Forme: $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ Méthode: $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$. Intégrer les deux côtés. Astuces Attention aux valeurs de $y$ pour lesquelles $g(y)=0$. Ce sont des solutions d'équilibre. b) EDO Homogènes au 1er Ordre Forme: $\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})$ Méthode: Substitution $y = vx \implies y' = v'x + v$. L'EDO devient à variables séparables en $v$ et $x$. Astuces Après avoir résolu pour $v(x)$, n'oubliez pas de revenir à $y(x) = v(x)x$. c) EDO Exactes Forme: $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ où $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ Méthode: Il existe une fonction $F(x,y)$ telle que $\frac{\partial F}{\partial x} = M$ et $\frac{\partial F}{\partial y} = N$. Intégrer $M$ par rapport à $x$: $F(x,y) = \int M(x,y)dx + h(y)$. Dériver $F$ par rapport à $y$ et égaliser à $N$: $\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\int M(x,y)dx) + h'(y) = N(x,y)$. Résoudre pour $h'(y)$, puis intégrer pour $h(y)$. La solution implicite est $F(x,y) = C$. Astuces Si l'EDO n'est pas exacte, chercher un facteur intégrant $\mu(x,y)$. Si $\frac{M_y - N_x}{N}$ ne dépend que de $x$, alors $\mu(x) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N}dx}$. Si $\frac{N_x - M_y}{M}$ ne dépend que de $y$, alors $\mu(y) = e^{\int \frac{N_x - M_y}{M}dy}$. d) Équation de Bernoulli Forme: $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ (où $n \neq 0, 1$) Méthode: Diviser par $y^n$: $y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)$. Substitution $v = y^{1-n}$. Alors $v' = (1-n)y^{-n}y'$. L'EDO devient linéaire en $v$: $\frac{1}{1-n}v' + P(x)v = Q(x)$. Résoudre l'EDO linéaire en $v$, puis substituer $y = v^{\frac{1}{1-n}}$. e) Équation de Riccati Forme: $y' = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2$ Méthode: Si une solution particulière $y_1(x)$ est connue, on peut la transformer. Substitution $y(x) = y_1(x) + \frac{1}{v(x)}$. L'EDO se transforme en une EDO linéaire du 1er ordre en $v(x)$. f) Méthodes d'Approximation/Numériques Séries de Taylor: Peut être utilisée pour trouver des solutions sous forme de séries si les conditions initiales sont données. Méthode d'Euler: $y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$ (simple mais peu précise). Runge-Kutta (RK4): Méthode numérique plus robuste et précise. Analyse Qualitative: Pour comprendre le comportement des solutions sans les calculer explicitement (ex: plans de phases, points d'équilibre, stabilité). 4. Astuces Générales & Pièges à Éviter Conditions Initiales: Toujours utiliser les conditions initiales à la fin pour déterminer les constantes d'intégration ($C_1, C_2$). Domaine de Définition: Soyez attentif au domaine de définition de la solution et des fonctions impliquées. Vérification: Toujours substituer votre solution dans l'EDO originale pour vérifier. Factorisation: Cherchez à factoriser ou à simplifier l'équation avant d'appliquer une méthode. Changement de Variable: Ne sous-estimez jamais la puissance d'un bon changement de variable pour transformer une EDO complexe en une EDO plus simple (linéaire, séparable, etc.). Solutions Singulières: Pour les EDO non linéaires, des solutions peuvent être perdues lors de divisions (ex: par $y$ dans les séparables). Vérifier si les valeurs qui annulent le diviseur sont des solutions. Linéarisation: Pour les EDO non linéaires autour de points d'équilibre, il est souvent possible de les linéariser pour analyser la stabilité locale.