Trigonometrie Esențială

Cheatsheet Content

### Definiții de Bază Trigonometria studiază relațiile dintre laturile și unghiurile triunghiurilor. - **Sinus ($\sin$):** Cateta opusă / Ipotenuză - **Cosinus ($\cos$):** Cateta alăturată / Ipotenuză - **Tangentă ($\tan$):** Cateta opusă / Cateta alăturată = $\sin / \cos$ - **Cotangentă ($\cot$):** Cateta alăturată / Cateta opusă = $\cos / \sin = 1 / \tan$ #### Cercul Trigonometric Un cerc cu raza 1 centrat în origine. Unghiurile sunt măsurate de la axa pozitivă Ox în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic). - Punctul $P(x,y)$ pe cerc corespunde unui unghi $\alpha$. - $x = \cos(\alpha)$ - $y = \sin(\alpha)$ ### Conversii Unghiuri Unghiurile pot fi exprimate în grade (sexagesimale) sau radiani. #### Grade în Radiani Pentru a converti un unghi $G$ din grade în radiani $R$: $$ R = G \times \frac{\pi}{180^\circ} $$ #### Radiani în Grade Pentru a converti un unghi $R$ din radiani în grade $G$: $$ G = R \times \frac{180^\circ}{\pi} $$ #### Exemple - $30^\circ = 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ rad - $45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ rad - $90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ rad - $180^\circ = \pi$ rad - $360^\circ = 2\pi$ rad ### Valori Speciale ale Funcțiilor Trigonometrice | Unghi (Grade) | Unghi (Radiani) | $\sin(\alpha)$ | $\cos(\alpha)$ | $\tan(\alpha)$ | $\cot(\alpha)$ | |---------------|-----------------|----------------|----------------|----------------|----------------| | $0^\circ$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | Nedefinit | | $30^\circ$ | $\pi/6$ | $1/2$ | $\sqrt{3}/2$ | $1/\sqrt{3}$ | $\sqrt{3}$ | | $45^\circ$ | $\pi/4$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $1$ | $1$ | | $60^\circ$ | $\pi/3$ | $\sqrt{3}/2$ | $1/2$ | $\sqrt{3}$ | $1/\sqrt{3}$ | | $90^\circ$ | $\pi/2$ | $1$ | $0$ | Nedefinit | $0$ | | $180^\circ$ | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ | Nedefinit | | $270^\circ$ | $3\pi/2$ | $-1$ | $0$ | Nedefinit | $0$ | | $360^\circ$ | $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ | Nedefinit | ### Identități Trigonometrice Fundamentale - $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ - $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ - $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ - $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$ - $1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = \sec^2(\alpha)$ - $1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} = \csc^2(\alpha)$ ### Semnele Funcțiilor Trigonometrice pe Cadrane | Cadran | Unghi $\alpha$ | $\sin(\alpha)$ | $\cos(\alpha)$ | $\tan(\alpha)$ | $\cot(\alpha)$ | |--------|----------------|----------------|----------------|----------------|----------------| | I | $0 - \pi/2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | | II | $\pi/2 - \pi$ | $+$ | $-$ | $-$ | $-$ | | III | $\pi - 3\pi/2$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | | IV | $3\pi/2 - 2\pi$| $-$ | $+$ | $-$ | $-$ | ### Formule de Reducere la Primul Cadran Aceste formule ajută la calculul valorilor funcțiilor pentru unghiuri în afara primului cadran. #### Unghiuri Suplementare ($\pi - \alpha$ sau $180^\circ - \alpha$) - $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$ - $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$ - $\tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha)$ - $\cot(\pi - \alpha) = -\cot(\alpha)$ #### Unghiuri Anti-suplementare ($\pi + \alpha$ sau $180^\circ + \alpha$) - $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$ - $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$ - $\tan(\pi + \alpha) = \tan(\alpha)$ - $\cot(\pi + \alpha) = \cot(\alpha)$ #### Unghiuri Complementare ($\pi/2 - \alpha$ sau $90^\circ - \alpha$) - $\sin(\pi/2 - \alpha) = \cos(\alpha)$ - $\cos(\pi/2 - \alpha) = \sin(\alpha)$ - $\tan(\pi/2 - \alpha) = \cot(\alpha)$ - $\cot(\pi/2 - \alpha) = \tan(\alpha)$ #### Unghiuri la $3\pi/2$ ($270^\circ$) - $\sin(3\pi/2 - \alpha) = -\cos(\alpha)$ - $\cos(3\pi/2 - \alpha) = -\sin(\alpha)$ - $\tan(3\pi/2 - \alpha) = \cot(\alpha)$ - $\cot(3\pi/2 - \alpha) = \tan(\alpha)$ - $\sin(3\pi/2 + \alpha) = -\cos(\alpha)$ - $\cos(3\pi/2 + \alpha) = \sin(\alpha)$ - $\tan(3\pi/2 + \alpha) = -\cot(\alpha)$ - $\cot(3\pi/2 + \alpha) = -\tan(\alpha)$ #### Unghiuri Negative ($-\alpha$) - $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ - $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ - $\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$ - $\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha)$ #### Periodicitate - $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha)$ - $\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha)$ - $\tan(\alpha + k\pi) = \tan(\alpha)$ - $\cot(\alpha + k\pi) = \cot(\alpha)$ unde $k$ este un număr întreg. ### Formule pentru Suma și Diferența Unghiurilor - $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ - $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ - $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ ### Formule pentru Unghi Dublu - $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ - $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ - $\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$ ### Formule pentru Unghi pe Jumătate - $\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$ - $\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ - $\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{1 - \cos A}{\sin A} = \frac{\sin A}{1 + \cos A}$ *Semnul depinde de cadranul în care se află $A/2$.* ### Formule de Transformare Sumă/Diferență în Produs - $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ #### Formule de Transformare Produs în Sumă/Diferență - $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ - $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ - $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ ### Ecuații Trigonometrice Fundamentale #### 1. Ecuația $\sin x = a$ - **Condiție:** $-1 \le a \le 1$ - **Soluție generală:** $$ x = (-1)^k \arcsin(a) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - **Cazuri particulare:** - $\sin x = 0 \implies x = k\pi$ - $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ - $\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ #### 2. Ecuația $\cos x = a$ - **Condiție:** $-1 \le a \le 1$ - **Soluție generală:** $$ x = \pm \arccos(a) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - **Cazuri particulare:** - $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ - $\cos x = 1 \implies x = 2k\pi$ - $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2k\pi$ #### 3. Ecuația $\tan x = a$ - **Condiție:** $a \in \mathbb{R}$ - **Soluție generală:** $$ x = \arctan(a) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - **Caz particular:** - $\tan x = 0 \implies x = k\pi$ #### 4. Ecuația $\cot x = a$ - **Condiție:** $a \in \mathbb{R}$ - **Soluție generală:** $$ x = \operatorname{arccot}(a) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - **Caz particular:** - $\cot x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ #### Ecuații de tip $\sin x = \sin y$, $\cos x = \cos y$, etc. - $\sin x = \sin y \implies x = y + 2k\pi$ sau $x = \pi - y + 2k\pi$ - $\cos x = \cos y \implies x = \pm y + 2k\pi$ - $\tan x = \tan y \implies x = y + k\pi$ (cu condițiile de existență) - $\cot x = \cot y \implies x = y + k\pi$ (cu condițiile de existență) ### Inecuații Trigonometrice Fundamentale Rezolvarea inecuațiilor trigonometrice implică identificarea intervalelor pe cercul trigonometric unde funcția respectivă satisface condiția dată. Se folosesc graficele funcțiilor sau cercul trigonometric. #### Pași Generali: 1. **Rezolvați ecuația asociată:** Găsiți punctele critice unde egalitatea este valabilă. 2. **Identificați intervalele:** Pe cercul trigonometric (sau pe grafic), determinați intervalele unde inegalitatea este satisfăcută. 3. **Generalizați soluția:** Adăugați periodicitatea corespunzătoare ($2k\pi$ pentru $\sin, \cos$; $k\pi$ pentru $\tan, \cot$). 4. **Atenție la condițiile de existență:** Pentru $\tan$ și $\cot$, excludeți valorile care le fac nedefinite. #### Exemple Simple: #### 1. Inecuația $\sin x > a$ - Găsiți $x_1 = \arcsin(a)$ și $x_2 = \pi - \arcsin(a)$ - Dacă $\sin x > a$, atunci $x \in (\arcsin(a) + 2k\pi, \pi - \arcsin(a) + 2k\pi)$ #### 2. Inecuația $\cos x > a$ - Găsiți $x_1 = \arccos(a)$ și $x_2 = -\arccos(a)$ - Dacă $\cos x > a$, atunci $x \in (-\arccos(a) + 2k\pi, \arccos(a) + 2k\pi)$ #### 3. Inecuația $\tan x > a$ - Găsiți $x_0 = \arctan(a)$ - Dacă $\tan x > a$, atunci $x \in (\arctan(a) + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ *Atenție: $\tan x$ nu este definită la $\frac{\pi}{2} + k\pi$.* #### 4. Inecuația $\cot x > a$ - Găsiți $x_0 = \operatorname{arccot}(a)$ - Dacă $\cot x > a$, atunci $x \in (k\pi, \operatorname{arccot}(a) + k\pi)$ *Atenție: $\cot x$ nu este definită la $k\pi$.* #### Alte Tipuri de Inecuații: - Inecuații cu funcții trigonometrice multiple (ex: $\sin x + \cos x > 1$) se pot rezolva prin transformări (ex: la unghi dublu, sumă în produs) sau substituții (ex: $t = \tan(x/2)$). - Inecuații care implică pătrate (ex: $\sin^2 x > 1/2$) pot fi rezolvate prin reducerea la inecuații fundamentale sau prin analiza semnelor.