Gerak Harmonik Sederhana

Cheatsheet Content

### Pengantar Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Gerak Harmonik Sederhana (GHS) adalah gerak bolak-balik suatu benda melalui titik kesetimbangan. Ini adalah model ideal dari banyak fenomena fisik, seperti pegas dan bandul kecil. GHS ditandai oleh gaya pemulih yang sebanding dengan simpangan dan selalu mengarah ke titik kesetimbangan. **Contoh:** * Ayunan bandul sederhana (untuk sudut simpangan kecil) * Massa pada pegas * Getaran senar gitar ### Besaran-besaran Dasar GHS GHS dijelaskan oleh beberapa besaran penting: * **Simpangan (Y atau x):** Jarak benda dari titik kesetimbangan pada suatu waktu. * **Amplitudo (A):** Simpangan maksimum dari titik kesetimbangan. * **Fase ($\phi$):** Posisi atau tahapan osilasi pada suatu waktu, menunjukkan di mana benda dalam siklus geraknya. * **Sudut Fase ($\theta$):** Argumen dari fungsi sinusoidal yang menggambarkan GHS. * **Frekuensi Sudut ($\omega$):** Kecepatan perubahan sudut fase, diukur dalam radian per detik (rad/s). * **Frekuensi (f):** Jumlah siklus atau getaran per detik, diukur dalam Hertz (Hz). * **Perioda (T):** Waktu yang dibutuhkan untuk satu siklus atau getaran penuh, diukur dalam detik (s). * **Kecepatan (v):** Laju perubahan simpangan. * **Percepatan (a):** Laju perubahan kecepatan. ### Persamaan Gerak Harmonik #### Simpangan Simpangan GHS umumnya dinyatakan dalam bentuk fungsi sinusoidal: * Jika dimulai dari titik kesetimbangan (simpangan nol) dan bergerak ke arah positif: $$Y(t) = A \sin(\omega t)$$ * Jika terdapat sudut fase awal ($\theta_0$): $$Y(t) = A \sin(\omega t + \theta_0)$$ Di mana: * $Y(t)$ = simpangan pada waktu $t$ * $A$ = amplitudo * $\omega$ = frekuensi sudut * $t$ = waktu * $\theta_0$ = sudut fase awal (dalam radian) **Contoh Soal 1: Menentukan Simpangan** Sebuah benda melakukan GHS dengan amplitudo 10 cm dan frekuensi 5 Hz. Jika pada $t=0$ benda berada di titik kesetimbangan dan bergerak ke arah positif, tentukan simpangan benda pada $t = 0.05$ sekon. **Penyelesaian:** 1. **Cari frekuensi sudut ($\omega$):** $\omega = 2\pi f = 2\pi (5) = 10\pi \text{ rad/s}$ 2. **Tentukan persamaan simpangan:** Karena dimulai dari titik kesetimbangan dan bergerak ke arah positif, $\theta_0 = 0$. $Y(t) = A \sin(\omega t) = 10 \sin(10\pi t)$ cm 3. **Substitusi $t = 0.05$ s:** $Y(0.05) = 10 \sin(10\pi \times 0.05)$ $Y(0.05) = 10 \sin(0.5\pi)$ $Y(0.05) = 10 \sin(\frac{\pi}{2})$ $Y(0.05) = 10 \times 1 = 10 \text{ cm}$ (Artinya pada $t=0.05$ s, benda berada pada simpangan maksimum positif, yaitu amplitudo) #### Kecepatan Kecepatan diperoleh dengan menurunkan simpangan terhadap waktu: $$v(t) = \frac{dY}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \theta_0)$$ Kecepatan maksimum ($v_{max}$) terjadi saat $\cos(\omega t + \theta_0) = \pm 1$, yaitu $v_{max} = A\omega$. **Contoh Soal 2: Menentukan Kecepatan** Menggunakan data dari Contoh Soal 1, tentukan kecepatan benda pada $t = 0.05$ sekon. **Penyelesaian:** 1. **Persamaan kecepatan:** $v(t) = A\omega \cos(\omega t)$ (karena $\theta_0 = 0$) $v(t) = (10)(10\pi) \cos(10\pi t) = 100\pi \cos(10\pi t)$ cm/s 2. **Substitusi $t = 0.05$ s:** $v(0.05) = 100\pi \cos(10\pi \times 0.05)$ $v(0.05) = 100\pi \cos(0.5\pi)$ $v(0.05) = 100\pi \cos(\frac{\pi}{2})$ $v(0.05) = 100\pi \times 0 = 0 \text{ cm/s}$ (Ini masuk akal, karena pada simpangan maksimum, kecepatan benda sesaat adalah nol sebelum berbalik arah). #### Percepatan Percepatan diperoleh dengan menurunkan kecepatan terhadap waktu: $$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \theta_0)$$ Karena $Y(t) = A \sin(\omega t + \theta_0)$, maka: $$a(t) = -\omega^2 Y(t)$$ Percepatan maksimum ($a_{max}$) terjadi saat $\sin(\omega t + \theta_0) = \pm 1$, yaitu $a_{max} = A\omega^2$. Tanda negatif menunjukkan bahwa percepatan selalu berlawanan arah dengan simpangan, mengarah ke titik kesetimbangan. **Contoh Soal 3: Menentukan Percepatan** Menggunakan data dari Contoh Soal 1, tentukan percepatan benda pada $t = 0.05$ sekon. **Penyelesaian:** 1. **Persamaan percepatan:** $a(t) = -\omega^2 Y(t)$ Kita sudah tahu $Y(0.05) = 10$ cm dan $\omega = 10\pi$ rad/s. $a(0.05) = -(10\pi)^2 \times 10$ $a(0.05) = -100\pi^2 \times 10$ $a(0.05) = -1000\pi^2 \text{ cm/s}^2$ (Tanda negatif menunjukkan percepatan mengarah ke titik kesetimbangan, yaitu ke arah negatif). ### Hubungan Frekuensi, Perioda, dan Frekuensi Sudut * **Perioda (T):** Waktu yang dibutuhkan untuk satu getaran penuh. $$T = \frac{1}{f}$$ * **Frekuensi (f):** Banyaknya getaran per satuan waktu. $$f = \frac{1}{T}$$ Untuk menghitung perioda dari banyak getaran ($n$) dalam waktu ($t$): $$T = \frac{t}{n}$$ * **Frekuensi Sudut ($\omega$):** $$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$ Dari sini, perioda juga bisa ditulis sebagai: $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$ ### Satuan Sudut: Radian dan Derajat Dalam GHS, sudut fase ($\theta$) dan sudut fase awal ($\theta_0$) umumnya menggunakan satuan **radian (rad)**. * **Satu lingkaran penuh:** * $360^\circ$ * $2\pi \text{ radian}$ (sekitar $6.28 \text{ rad}$) #### Konversi Satuan Sudut * **Derajat ke Radian:** $$\text{radian} = \text{derajat} \times \frac{\pi}{180^\circ}$$ Contoh: $90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$ Atau secara perkiraan: $\text{radian} = \text{derajat} \times \frac{1}{57.3^\circ}$ * **Radian ke Derajat:** $$\text{derajat} = \text{radian} \times \frac{180^\circ}{\pi}$$ Contoh: $\frac{\pi}{2} \text{ rad} = \frac{\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = 90^\circ$ Atau secara perkiraan: $\text{derajat} = \text{radian} \times 57.3^\circ$ **Penting:** Saat menggunakan fungsi trigonometri seperti $\sin$ atau $\cos$ dalam rumus GHS, pastikan kalkulator atau perhitungan Anda menggunakan mode radian. ### Fase Gelombang Fase adalah bagian dari satu siklus getaran yang telah diselesaikan. Ini sering dinyatakan sebagai pecahan dari satu perioda. * **Fase ($\phi$):** $$\phi = \frac{t}{T} = \frac{\omega t + \theta_0}{2\pi}$$ Fase dapat bernilai dari 0 hingga 1. * **Beda Fase ($\Delta \phi$):** Perbedaan fase antara dua titik atau dua waktu. $$\Delta \phi = \frac{\Delta t}{T} = \frac{\Delta x}{\lambda}$$ (Untuk gelombang, $\lambda$ adalah panjang gelombang) **Contoh Fase:** * Jika sebuah benda bergetar pada pegas, dan ditarik kemudian dilepas dari posisi terjauh (+A), maka fase awalnya adalah $\frac{\pi}{2}$ rad atau $90^\circ$ (karena $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, simpangan maksimum). * Jika dilepas dari posisi terjauh (-A), fase awalnya adalah $\frac{3\pi}{2}$ rad atau $270^\circ$ (karena $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, simpangan minimum).