Spojité řízení - Otázky ke zko

Cheatsheet Content

### Historie kybernetiky a teorie systémů - **Kybernetika:** Věda o řízení a komunikaci v živých organismech a strojích (Norbert Wiener). - **Základní pojmy:** Systém, vstup, výstup, stav, zpětná vazba, řízení, regulace. ### Pojem systému a klasifikace - **Systém:** Souhrn prvků, které jsou ve vzájemné interakci a tvoří celek s určitými vlastnostmi. - **Klasifikace:** - **Lineární/Nelineární:** Zda platí princip superpozice. - **Spojitý/Diskrétní:** Zda se stav mění spojitě nebo v diskrétních krocích. - **Deterministický/Stochastický:** Zda je chování předvídatelné. - **Statický/Dynamický:** Zda závisí na čase. - **Regulační obvod:** Uzavřená smyčka s regulátorem, soustavou a zpětnou vazbou. - **Zpětná vazba:** Informace o výstupu systému ovlivňuje jeho vstup (kladná/záporná). ### Definice a vlastnosti LSDS - **Lineární Spojitý Dynamický Systém (LSDS):** Systém popsaný lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty. - **Vlastnosti:** - **Linearita:** Splňuje princip superpozice. - **Časová invariance:** Parametry se nemění v čase. - **Kauzalita:** Výstup nezávisí na budoucích vstupech. - **Konečná dimenze:** Popsatelný konečným počtem stavových proměnných. ### Laplaceova transformace (LT) - **Definice:** Integrální transformace převádějící funkci času $f(t)$ na funkci komplexní proměnné $F(s)$. $$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)e^{-st} dt$$ - **Účel:** Zjednodušuje řešení lineárních diferenciálních rovnic (převádí je na algebraické rovnice). ### Vlastnosti LT, vzory a obrazy funkcí - **Vlastnosti:** Linearita, posuv, derivace, integrace, konvoluce. - **Vzory a obrazy:** - $1 \leftrightarrow \frac{1}{s}$ - $t \leftrightarrow \frac{1}{s^2}$ - $e^{-at} \leftrightarrow \frac{1}{s+a}$ - $\sin(\omega t) \leftrightarrow \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$ ### Rozklad na parciální zlomky a Heavisideův rozvoj - **Rozklad na parciální zlomky:** Metoda pro rozklad racionálních lomených funkcí na součet jednodušších zlomků, které lze snadno inverzně transformovat. - **Heavisideův rozvoj:** Specifická metoda pro určení koeficientů parciálních zlomků, zejména pro jednoduché póly. ### Zpětná LT a věta o residuích - **Zpětná LT:** Transformace z $F(s)$ zpět na $f(t)$. $$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)e^{st} ds$$ - **Věta o residuích:** Používá se pro výpočet zpětné LT pomocí komplexní integrace kolem pólů funkce $F(s)$. ### Využití zpětné LT pro řešení diferenciálních rovnic - Převod diferenciální rovnice na algebraickou rovnici v obraze $s$. - Řešení algebraické rovnice pro $F(s)$. - Provedení zpětné LT pro získání řešení $f(t)$ v časové oblasti. ### Způsoby popisu LSDS (vnější, vnitřní) - **Vnější popis:** Popisuje vztah mezi vstupem a výstupem bez ohledu na vnitřní stav (např. přenosová funkce, impulsní odezva). - **Vnitřní popis:** Popisuje dynamiku systému pomocí stavových proměnných (např. stavové rovnice). ### Přenos systému, impulsní a přechodová funkce LSDS - **Přenosová funkce $G(s)$:** Poměr Laplaceovy transformace výstupu k Laplaceově transformaci vstupu za nulových počátečních podmínek. - **Impulsní odezva $h(t)$:** Výstup systému na Diracův impuls na vstupu. - **Přechodová funkce $k(t)$:** Výstup systému na jednotkový skok na vstupu. ### Nuly a póly přenosu LSDS, řád, relativní řád, dopravní zpoždění - **Póly:** Kořeny jmenovatele přenosové funkce; určují stabilitu a dynamické chování systému. - **Nuly:** Kořeny čitatele přenosové funkce; ovlivňují tvar odezvy. - **Řád systému:** Nejvyšší stupeň jmenovatele přenosové funkce (po zkrácení společných členů). - **Relativní řád:** Rozdíl mezi stupněm jmenovatele a čitatele. - **Dopravní zpoždění:** Zpoždění, které signál projde systémem (např. $e^{-sT_d}$). ### Frekvenční přenos, frekvenční charakteristiky (Nyquist, Bode) - **Frekvenční přenos:** Získaný dosazením $s=j\omega$ do přenosové funkce $G(j\omega)$. Popisuje odezvu systému na harmonický vstup. - **Nyquistův diagram:** Graf $G(j\omega)$ v komplexní rovině pro $\omega \in (-\infty, \infty)$. Používá se pro posouzení stability. - **Bodeho diagram:** Dva grafy - modul $|G(j\omega)|$ v logaritmické škále (dB) a fáze $\arg(G(j\omega))$ ve stupních (nebo radiánech) proti $\log(\omega)$. ### Stabilita LSDS, Ljapunovova a BIBO stabilita - **Stabilita:** Schopnost systému vrátit se do rovnovážného stavu po poruše nebo omezit výstup pro omezený vstup. - **Ljapunovova stabilita:** Založena na existenci Ljapunovovy funkce (energetická funkce), která klesá podél trajektorií systému. - **BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilita:** Systém je BIBO stabilní, pokud pro každý omezený vstup je i výstup omezený. Pro LSDS to znamená, že všechny póly přenosové funkce leží v levé polorovině komplexní roviny (Re(s) < 0). ### Nutná podmínka stability, stabilní a nestabilní polynomy - **Nutná podmínka stability:** Pro stabilní systém musí mít všechny koeficienty charakteristického polynomu stejné znaménko (obvykle kladné) a žádný koeficient nesmí chybět (vyjma $s^0$ pokud je kořen). - **Stabilní polynom:** Všechny jeho kořeny (póly systému) leží v levé polorovině komplexní roviny. - **Nestabilní polynom:** Alespoň jeden kořen leží v pravé polorovině nebo na imaginární ose s multiplicitou větší než jedna. ### Algebraická kritéria stability - **Routhovo-Hurwitzovo kritérium:** Algoritmus pro určení počtu kořenů charakteristického polynomu v pravé polorovině bez jejich výpočtu. Založeno na konstrukci Routhovy tabulky. - **Hurwitzovo kritérium:** Využívá determinanty Hurwitzových matic sestavených z koeficientů charakteristického polynomu. ### Geometrická kritéria stability - **Nyquistovo kritérium stability:** Používá Nyquistův diagram. Systém je stabilní, pokud Nyquistova křivka neobklopuje bod $(-1, 0)$ v komplexní rovině (s ohledem na počet pólů v pravé polorovině). - **Kořenové místo:** Grafické znázornění trajektorie kořenů charakteristické rovnice v závislosti na parametru (např. zesílení regulátoru). ### Dopravní zpoždění, Smithův prediktor, aproximace dopravního zpoždění - **Dopravní zpoždění ($e^{-sT_d}$):** Čas, po který se signál šíří systémem. Způsobuje zhoršení stability a dynamiky. - **Smithův prediktor:** Kompenzátor pro systémy s dopravním zpožděním. Předpovídá budoucí výstup systému a na základě toho generuje řídicí signál. - **Aproximace dopravního zpoždění:** Nahrazení $e^{-sT_d}$ racionální lomenou funkcí (např. pomocí Taylorova rozvoje nebo Padé aproximace) pro snazší analýzu. ### Stavový (SS) vnitřní popis LSDS, Nejednoznačnost SS popisu - **Stavový popis:** Sada diferenciálních rovnic prvního řádu (stavové rovnice) a algebraických rovnic (výstupní rovnice). $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$$ $$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t)$$ kde $\mathbf{x}$ je vektor stavových proměnných, $\mathbf{u}$ vstup, $\mathbf{y}$ výstup. - **Nejednoznačnost SS popisu:** Pro daný systém existuje nekonečně mnoho stavových reprezentací (různé volby stavových proměnných vedou k různým maticím A, B, C, D, které jsou si podobné). ### Převod vnějšího (TF) popisu na vnitřní SS - **Metody:** - **Přímá transformace:** Z přenosové funkce $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$ lze odvodit stavové rovnice. - **Frakční reprezentace:** Rozklad na parciální zlomky. - **Kanálová forma:** Např. řídicí kanonická forma, pozorovatelná kanonická forma. ### Přímé metody převodu TF na SS (Frobeniův kanonický tvar, metoda postupné integrace) - **Frobeniův kanonický tvar (řízení):** Pro $G(s) = \frac{b_m s^m + \dots + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_0}$ lze vytvořit matice A, B, C, D ve specifickém tvaru, kde koeficienty polynomu se objeví v posledním řádku A, a B je vektor s 1 na konci. - **Metoda postupné integrace:** Postupné integrace diferenciální rovnice od vstupu k výstupu. ### Převod vnitřního SS popisu na TF (přenos) - Z rovnic stavového prostoru: $$(s\mathbf{I} - \mathbf{A})\mathbf{X}(s) = \mathbf{B}\mathbf{U}(s)$$ $$\mathbf{Y}(s) = \mathbf{C}\mathbf{X}(s) + \mathbf{D}\mathbf{U}(s)$$ - Přenosová funkce: $$G(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D}$$ ### Singulární systémy, neminimální realizace LSDS a její důsledky - **Singulární systémy:** Systémy, kde matice $E$ v popisu $E\dot{x} = Ax + Bu$ je singulární. - **Neminimální realizace:** Stavový popis, který má více stavových proměnných, než je řád systému (obsahuje neřiditelné nebo nepozorovatelné módy). - **Důsledky:** Skryté módy, které se neprojeví na výstupu nebo nejsou ovlivnitelné vstupem, mohou ovlivnit stabilitu systému. ### Standardní fundamentální matice systému, její výpočet a vlastnosti - **Fundamentální matice $\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t}$:** Řešení homogenní stavové rovnice $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t)$ pro $\mathbf{x}(0) = \mathbf{I}$. - **Výpočet:** - Pomocí Laplaceovy transformace: $\mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\}$ - Pomocí řady: $e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{I} + \mathbf{A}t + \frac{(\mathbf{A}t)^2}{2!} + \dots$ - Pomocí vlastních čísel a vektorů matice $\mathbf{A}$. - **Vlastnosti:** $\mathbf{\Phi}(0) = \mathbf{I}$, $\mathbf{\Phi}(t_1+t_2) = \mathbf{\Phi}(t_1)\mathbf{\Phi}(t_2)$, $\mathbf{\Phi}^{-1}(t) = \mathbf{\Phi}(-t)$. ### Řešení homogenní stavové rovnice - **Homogenní rovnice:** $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t)$ - **Řešení:** $\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0) = \mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}(0)$ ### Řešení nehomogenní stavové rovnice - **Nehomogenní rovnice:** $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$ - **Řešení:** $$\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0) + \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) d\tau$$ $$\mathbf{x}(t) = \mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}(0) + \int_0^t \mathbf{\Phi}(t-\tau)\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau) d\tau$$ ### Vlastnosti systémů (řiditelnost, pozorovatelnost) - **Řiditelnost:** Schopnost převést systém z libovolného počátečního stavu do libovolného koncového stavu v konečném čase pomocí vhodného vstupu. - **Kalmanovo kritérium (řiditelnost):** Matice řiditelnosti $\mathbf{R} = [\mathbf{B} \quad \mathbf{AB} \quad \dots \quad \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}]$ musí mít plnou hodnost $n$. - **Pozorovatelnost:** Schopnost určit počáteční stav systému z měřených výstupů a známých vstupů v konečném čase. - **Kalmanovo kritérium (pozorovatelnost):** Matice pozorovatelnosti $\mathbf{P} = [\mathbf{C}^T \quad (\mathbf{CA})^T \quad \dots \quad (\mathbf{CA}^{n-1})^T]^T$ musí mít plnou hodnost $n$. ### Deterministický (Luenbergův) pozorovatel stavu, proporcionální stavový regulátor - **Luenbergův pozorovatel:** Dynamický systém, který odhaduje stavové proměnné systému na základě vstupních a výstupních dat. $$\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) + \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t))$$ kde $\mathbf{L}$ je matice zesílení pozorovatele. - **Proporcionální stavový regulátor:** Řídí systém na základě zpětné vazby od stavových proměnných. $$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\mathbf{x}(t) + \mathbf{r}(t)$$ kde $\mathbf{K}$ je matice zesílení stavové zpětné vazby. ### PID regulátory – popis (model v časové oblasti i pomocí přenosu), vlastnosti - **PID regulátor (Proporcionální-Integrační-Derivační):** Nejčastější typ regulátoru v průmyslu. - **Časová oblast:** $$u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t) dt + K_d \frac{de(t)}{dt}$$ kde $e(t)$ je regulační odchylka. - **Přenosová funkce:** $$G_{PID}(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s\right)$$ - **Vlastnosti:** - **P složka:** Reaguje na současnou odchylku, zrychluje odezvu, ale může vést k trvalé odchylce. - **I složka:** Eliminuje trvalou odchylku, ale zpomaluje odezvu a může způsobit překmity. - **D složka:** Reaguje na rychlost změny odchylky, zlepšuje stabilitu a potlačuje překmity, ale je citlivá na šum. ### Klasické metody nastavení PID - **Ziegler-Nicholsova metoda:** Experimentální metoda založená na oscilačním chování systému. - **Metoda s otevřenou smyčkou:** Měří se odezva na jednotkový skok. - **Metoda s uzavřenou smyčkou:** Určuje se kritické zesílení a perioda oscilací. - **Metoda Cohen-Coon:** Vylepšená Ziegler-Nicholsova metoda, vhodná pro systémy s dopravním zpožděním. - **Nastavení podle kritérií:** Nastavení regulátoru pro splnění specifických kritérií (např. minimální integrál absolutní chyby - IAE, ITAE). ### Polynomiální metoda syntézy regulátoru (přiřazení pólů), Diofantické rovnice v okruhu polynomů - **Přiřazení pólů:** Metoda návrhu regulátoru, která umísťuje póly uzavřeného systému na požadovaná místa v komplexní rovině, čímž se určuje dynamika systému. - **Diofantické rovnice:** Algebraické rovnice, kde se hledají řešení v okruhu polynomů. V řízení se používají pro návrh regulátorů, zejména pro stabilizaci a přiřazení pólů. - Např. pro regulátor $R(s)$ a soustavu $G(s) = B(s)/A(s)$ se hledají polynomy $P(s), Q(s)$ pro regulátor tak, aby charakteristický polynom uzavřeného systému $A(s)P(s) + B(s)Q(s) = A_c(s)$ měl požadované kořeny. ### Mnohorozměrné (MIMO) systémy, popis, maticový přenos (levý maticový zlomek) - **MIMO (Multiple Input Multiple Output) systémy:** Systémy s více vstupy a více výstupy. - **Popis:** Obvykle pomocí stavového prostoru (matice A, B, C, D) nebo maticových přenosových funkcí. - **Maticový přenos:** Matice $G(s)$, jejíž prvky jsou přenosové funkce mezi jednotlivými vstupy a výstupy. - **Levý maticový zlomek (LMF):** Reprezentace maticového přenosu jako $G(s) = A_L^{-1}(s)B_L(s)$, kde $A_L(s)$ a $B_L(s)$ jsou matice polynomů. ### Stabilita MIMO systémů, maticové diofantické rovnice (výpočet pravého maticového zlomku) - **Stabilita MIMO:** Určuje se z pólů determinantů maticových přenosových funkcí nebo z vlastních čísel matice A stavového popisu. Všechny póly musí ležet v levé polorovině. - **Maticové diofantické rovnice:** Používají se pro návrh regulátorů pro MIMO systémy, obdobně jako pro SISO systémy, ale s maticovými polynomy. - **Pravý maticový zlomek (PMF):** Reprezentace maticového přenosu jako $G(s) = B_R(s)A_R^{-1}(s)$, kde $A_R(s)$ a $B_R(s)$ jsou matice polynomů. Využívá se pro analýzu a syntézu regulátorů.