ਗਣਿਤ 9ਵੀਂ ਤੇ 10ਵੀਂ (PSEB)

Cheatsheet Content

### ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (Real Numbers) - **ਯੂਕਲਿਡ ਦੀ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ:** $a = bq + r$, ਜਿੱਥੇ $0 \le r < b$ - **ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ:** ਹਰੇਕ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। - **ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ:** $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$ ਆਦਿ। **ਉਦਾਹਰਨ:** - 135 ਅਤੇ 225 ਦਾ HCF ਯੂਕਲਿਡ ਦੀ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨਾਲ: $225 = 135 \times 1 + 90$ $135 = 90 \times 1 + 45$ $90 = 45 \times 2 + 0$ HCF = 45 ### ਬਹੁਪਦ (Polynomials) - **ਘਾਤ:** ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਚੱਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ। - **ਰੇਖੀ ਬਹੁਪਦ:** $ax + b$, ਘਾਤ 1 - **ਦੋਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ:** $ax^2 + bx + c$, ਘਾਤ 2 - **ਤਿੰਨਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ:** $ax^3 + bx^2 + cx + d$, ਘਾਤ 3 - **ਸਿਫਰਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧ (ਦੋਘਾਤੀ ਲਈ):** - ਸਿਫਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: $\alpha + \beta = -b/a$ - ਸਿਫਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ: $\alpha \beta = c/a$ - **ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ:** $p(x) = g(x)q(x) + r(x)$ ### ਦੋ ਚੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ (Pair of Linear Equations in Two Variables) - **ਆਮ ਰੂਪ:** $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ਅਤੇ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ - **ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ:** - **ਅਨੋਖਾ ਹੱਲ (ਇੱਕ ਹੱਲ):** $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$ (ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ) - **ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ:** $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ (ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ) - **ਅਨੰਤ ਹੱਲ:** $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (ਰੇਖਾਵਾਂ ਸੰਪਾਤੀ ਹਨ) - **ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਢੰਗ:** - ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਢੰਗ - ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਢੰਗ (Substitution Method) - ਵਿਲੋਪਨ ਢੰਗ (Elimination Method) - ਵਜਰ ਗੁਣਨ ਢੰਗ (Cross-Multiplication Method) ### ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (Quadratic Equations) - **ਆਮ ਰੂਪ:** $ax^2 + bx + c = 0$, ਜਿੱਥੇ $a \ne 0$ - **ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਸੁਭਾਅ (ਵਿਵੇਚਕ $D = b^2 - 4ac$):** - $D > 0$: ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੂਲ - $D = 0$: ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੂਲ - $D < 0$: ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੂਲ ਨਹੀਂ - **ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ:** $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ### ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ (Arithmetic Progressions - AP) - **ਆਮ ਰੂਪ:** $a, a+d, a+2d, ...$ - **$n$ਵਾਂ ਪਦ:** $a_n = a + (n-1)d$ - **ਪਹਿਲੇ $n$ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ:** $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ ਜਾਂ $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ - $a$: ਪਹਿਲਾ ਪਦ - $d$: ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ### ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ (Triangles) - **ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜ:** - **AAA ਸਮਰੂਪਤਾ:** ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ। - **SSS ਸਮਰੂਪਤਾ:** ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। - **SAS ਸਮਰੂਪਤਾ:** ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੂਜੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਅੰਤਰਗਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੋਣ। - **ਥੇਲਜ਼ ਪ੍ਰਮੇਯ (ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ):** ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਕੋਈ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੀ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਬਾਕੀ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ। - **ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ:** ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ, ਕਰਣ ਦਾ ਵਰਗ ਬਾਕੀ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। $h^2 = b^2 + p^2$ ### ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ (Coordinate Geometry) - **ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ:** ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ $(x_1, y_1)$ ਅਤੇ $(x_2, y_2)$ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ: $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ - **ਵੰਡ ਸੂਤਰ:** ਬਿੰਦੂ $(x,y)$ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ $(x_1, y_1)$ ਅਤੇ $(x_2, y_2)$ ਨੂੰ $m_1 : m_2$ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ: $x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}$, $y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}$ - **ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ:** $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$ - **ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ:** ਬਿੰਦੂਆਂ $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ: $A = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ ### ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦਾ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ (Introduction to Trigonometry) - **ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਅਨੁਪਾਤ:** - $\sin A = \frac{\text{ਲੰਬ}}{\text{ਕਰਣ}}$ - $\cos A = \frac{\text{ਆਧਾਰ}}{\text{ਕਰਣ}}$ - $\tan A = \frac{\text{ਲੰਬ}}{\text{ਆਧਾਰ}}$ - $\csc A = \frac{1}{\sin A}$ - $\sec A = \frac{1}{\cos A}$ - $\cot A = \frac{1}{\tan A}$ - **ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ:** - $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ - $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$ - $\csc^2 A - \cot^2 A = 1$ - **ਖਾਸ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਮੁੱਲ:** | ਕੋਣ ($\theta$) | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | |-------------|---------|----------|----------|----------|----------| | $\sin \theta$ | 0 | $1/2$ | $1/\sqrt{2}$ | $\sqrt{3}/2$ | 1 | | $\cos \theta$ | 1 | $\sqrt{3}/2$ | $1/\sqrt{2}$ | $1/2$ | 0 | | $\tan \theta$ | 0 | $1/\sqrt{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ | ### ਚੱਕਰ (Circles) - **ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ:** $\pi r^2$ - **ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ:** $2\pi r$ - **ਅਰਧ ਵਿਆਸ:** $r$ - **ਵਿਆਸ:** $d = 2r$ - **ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ:** ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਛੂਹਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ। - **ਪ੍ਰਮੇਯ:** ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ, ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 'ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ### ਚੱਕਰਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ (Areas Related to Circles) - **ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ:** $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ - **ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ:** $\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ - **ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ:** ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ - ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ($\theta$ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਹੈ।) ### ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ (Surface Areas and Volumes) | ਆਕਾਰ | ਵਕਰ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (CSA) | ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (TSA) | ਆਇਤਨ (Volume) | |-----------|-------------------------|---------------------------|----------------| | ਘਣ (Cube) | $4a^2$ | $6a^2$ | $a^3$ | | ਘਣਾਵ (Cuboid) | $2h(l+b)$ | $2(lb+bh+hl)$ | $lbh$ | | ਵੇਲਣ (Cylinder) | $2\pi rh$ | $2\pi r(r+h)$ | $\pi r^2h$ | | ਸਤਹ (Cone) | $\pi rl$ | $\pi r(l+r)$ | $\frac{1}{3}\pi r^2h$ | | ਗੋਲਾ (Sphere) | $4\pi r^2$ | $4\pi r^2$ | $\frac{4}{3}\pi r^3$ | | ਅਰਧ-ਗੋਲਾ (Hemisphere) | $2\pi r^2$ | $3\pi r^2$ | $\frac{2}{3}\pi r^3$ | ### ਅੰਕੜਾ ਵਿਗਿਆਨ (Statistics) - **ਮੱਧਮਾਨ (Mean):** - ਸਿੱਧਾ ਢੰਗ: $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$ - ਕਲਪਿਤ ਮੱਧਮਾਨ ਢੰਗ: $\bar{x} = A + \frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}$ - ਪਦ-ਵਿਚਲਨ ਢੰਗ: $\bar{x} = A + \left(\frac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}\right)h$ - **ਮੱਧਕ (Median):** $M_e = l + \left(\frac{n/2 - cf}{f}\right)h$ - **ਬਹੁਲਕ (Mode):** $M_o = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right)h$ ### ਸੰਭਾਵਨਾ (Probability) - **ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਸੂਤਰ:** $P(E) = \frac{\text{ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ}}{\text{ਕੁੱਲ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ}}$ - **ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ:** $0 \le P(E) \le 1$ - **ਪੂਰਕ ਘਟਨਾ:** $P(E) + P(\text{ਨਾ }E) = 1$ - **ਅਸੰਭਵ ਘਟਨਾ:** $P(E) = 0$ - **ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਟਨਾ:** $P(E) = 1$