Corpo Rolando Sem Deslizar

Cheatsheet Content

### Introdução ao Rolamento Sem Deslizar O rolamento sem deslizar (ou rolamento puro) ocorre quando um corpo rígido (como uma roda ou esfera) gira e se move translacionalmente de tal forma que o ponto de contato com a superfície de apoio tem velocidade instantânea nula em relação à superfície. - **Condição essencial:** Não há atrito cinético (deslizamento) no ponto de contato. Existe apenas atrito estático. - **Importância:** Fundamental para entender o movimento de veículos, engrenagens e outros sistemas rotacionais. - **Exemplos práticos:** Uma roda de bicicleta rolando no asfalto, uma bola de boliche girando sem deslizar na pista, um cilindro descendo uma rampa sem escorregar. ### Condição de Rolamento Sem Deslizar Para um corpo rolando sobre uma superfície plana: - **Velocidade do centro de massa (CM):** $v_{CM}$ - **Velocidade angular:** $\omega$ - **Raio do corpo:** $R$ (distância do CM ao ponto de contato) A condição para rolamento sem deslizar é: $$v_{CM} = \omega R$$ **Explicação:** O ponto de contato atinge velocidade zero em relação ao solo porque a velocidade translacional do CM é exatamente cancelada pela velocidade tangencial devido à rotação. - **Velocidade do ponto de contato ($v_P$):** - $v_P = v_{CM} - \omega R$ (considerando o sentido positivo para a frente e o sentido horário para $\omega$ para um ponto "abaixo" do CM) - Para rolamento sem deslizar, $v_P = 0$, então $v_{CM} = \omega R$. **Aceleração:** De forma análoga, para aceleração sem deslizar: $$a_{CM} = \alpha R$$ Onde $\alpha$ é a aceleração angular. ### Energia Cinética de Rolamento A energia cinética total de um corpo rolando sem deslizar é a soma da energia cinética translacional e rotacional. $$K_{total} = K_{translacional} + K_{rotacional}$$ $$K_{total} = \frac{1}{2} m v_{CM}^2 + \frac{1}{2} I_{CM} \omega^2$$ Onde: - $m$ é a massa do corpo - $I_{CM}$ é o momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa Substituindo $\omega = v_{CM}/R$: $$K_{total} = \frac{1}{2} m v_{CM}^2 + \frac{1}{2} I_{CM} \left(\frac{v_{CM}}{R}\right)^2$$ $$K_{total} = \frac{1}{2} v_{CM}^2 \left(m + \frac{I_{CM}}{R^2}\right)$$ **Exemplos de Momento de Inércia ($I_{CM}$):** - **Anel/Cilindro oco:** $mR^2$ - **Cilindro sólido/Disco:** $\frac{1}{2} mR^2$ - **Esfera sólida:** $\frac{2}{5} mR^2$ - **Esfera oca:** $\frac{2}{3} mR^2$ ### Forças e Torques no Rolamento Para um corpo rolando sem deslizar em uma superfície horizontal sob a ação de uma força externa: 1. **Segunda Lei de Newton para translação:** $$\sum F_x = m a_{CM}$$ A força de atrito estático ($f_s$) é crucial para gerar o torque que causa a rotação. 2. **Segunda Lei de Newton para rotação (em torno do CM):** $$\sum \tau_{CM} = I_{CM} \alpha$$ Onde $\tau_{CM}$ é o torque em relação ao centro de massa. **Força de Atrito Estático ($f_s$):** - É a força que impede o deslizamento e causa a rotação. - **Direção:** Opõe-se à tendência de deslizamento no ponto de contato. - **Magnitude:** $f_s \leq \mu_s N$, onde $\mu_s$ é o coeficiente de atrito estático e $N$ é a força normal. - **Importante:** A força de atrito estático não realiza trabalho no rolamento puro porque o ponto de aplicação da força está instantaneamente em repouso. ### Rolamento em um Plano Inclinado Considere um corpo rolando sem deslizar em um plano inclinado com ângulo $\theta$. **Forças atuantes:** - Peso ($mg$) - Força Normal ($N$) - Força de Atrito Estático ($f_s$) **Equações de movimento:** 1. **Translação (ao longo do plano inclinado):** $$mg \sin\theta - f_s = m a_{CM}$$ 2. **Rotação (em torno do CM):** $$f_s R = I_{CM} \alpha$$ 3. **Condição de rolamento sem deslizar:** $$a_{CM} = \alpha R \implies \alpha = \frac{a_{CM}}{R}$$ Substituindo $\alpha$ na equação de rotação: $$f_s R = I_{CM} \frac{a_{CM}}{R} \implies f_s = \frac{I_{CM} a_{CM}}{R^2}$$ Substituindo $f_s$ na equação de translação: $$mg \sin\theta - \frac{I_{CM} a_{CM}}{R^2} = m a_{CM}$$ $$mg \sin\theta = a_{CM} \left(m + \frac{I_{CM}}{R^2}\right)$$ $$a_{CM} = \frac{mg \sin\theta}{m + \frac{I_{CM}}{R^2}}$$ $$a_{CM} = \frac{g \sin\theta}{1 + \frac{I_{CM}}{mR^2}}$$ **Conclusão:** Corpos com menor $I_{CM}/(mR^2)$ (ou seja, que concentram mais massa no centro) terão maior aceleração e chegarão primeiro ao final do plano inclinado. Por exemplo, uma esfera sólida rola mais rápido que um cilindro sólido, que por sua vez rola mais rápido que um anel.