전력전자 정상상태 모델링 요약

Cheatsheet Content

### 14주차 강의 흐름 요약 이번 14주차 자료는 **Steady-State Modeling II**라는 제목으로 시작해서 최종적으로 DC-DC 컨버터의 핵심인 **Buck converter(강압 컨버터)와 Boost converter(승압 컨버터)의 정상상태(steady-state)** 동작을 심층적으로 다루고 있습니다. 주요 내용은 다음과 같은 흐름으로 진행됩니다: 1. **Buck converter 분석**: 회로를 ON/OFF 주기별로 나누어 **sub-circuit(세부 회로)**을 분석하고, **small ripple approximation(소신호 리플 근사)**을 적용하여 인덕터 전압($v_L$)과 커패시터 전류($i_C$)를 구합니다. 2. **Voltage-second balance(전압-시간 균형)**: 인덕터에 대한 voltage-second balance 원리를 사용하여 Buck converter의 **평균 전압 이득(average voltage gain)** $V_{OUT} = D \cdot V_{IN}$을 유도합니다. (12주차에서 배운 내용이 중요하게 다시 나옵니다!) 3. **Current-second balance(전류-시간 균형)**: 커패시터에 대한 current-second balance 원리를 사용하여 Buck converter의 **평균 전류 관계(average current gain)** $I_L = V/R$을 분석합니다. (마찬가지로 12주차 내용의 응용입니다!) 4. **리플 분석**: 실제 컨버터에서 발생하는 **인덕터 전류 리플($\Delta i_L$)**과 **출력 전압 리플($\Delta v_{ac}$)**을 정량적으로 계산하는 방법을 알아봅니다. 5. **Boost converter 분석**: Buck converter와 대칭적인 관점에서 **Boost converter(승압 컨버터)**의 동작 원리 및 **평균 전압 이득** 공식($V_{OUT} = V_{IN} / (1-D)$)을 유도합니다. 6. **Piecewise linear analysis(구간별 선형 분석)**: Boost converter 또한 ON/OFF 주기별로 나누어 sub-circuit을 분석하고, 이를 통해 전압 이득을 다시 한번 확인합니다. 7. **기생 저항(Parasitic element)** 영향: 실제 컨버터에서 발생하는 **인덕터 저항($R_L$)**과 같은 기생 요소가 이상적인 전압 이득에 어떤 영향을 미치는지 분석하고, **보정된 전압 이득(corrected voltage gain)**을 도출하여 실제 Boost converter의 출력 한계를 이해합니다. 전체적으로 12주차에 배운 **voltage-second balance(인덕터에 적용)**와 **current-second balance(커패시터에 적용)**를 활용하여 Buck/Boost 컨버터의 평균값 모델을 분석하고, 나아가 실제 회로에서 발생하는 리플과 손실까지 고려하는 방법을 배우는 것이 핵심입니다. 단순히 공식을 암기하기보다는 각 원리가 어떻게 적용되어 결과가 나오는지 이해하는 것이 중요합니다! ### 2. 핵심 개념 정리 본 섹션은 시험에 나올 만한 핵심 개념들을 모아 정리했습니다. #### Steady-state modeling (정상상태 모델링) * **개념 설명:** 컨버터가 스위칭 동작을 반복하며 안정적인 상태에 도달했을 때의 동작을 분석하는 것. 전압, 전류 등이 주기적으로 반복되는 상태를 의미한다. * **시험 포인트:** 정상상태에서는 한 주기 동안 인덕터 전압의 평균값은 0, 커패시터 전류의 평균값은 0이라는 원리(voltage-second balance, current-second balance)를 사용한다. * **헷갈리는 표현:** 동적 모델링(dynamic modeling)과 대비되는 개념으로, 동적 모델링은 과도상태(transient state) 응답을 분석한다. * **꼭 기억할 한 줄:** "정상상태에서는 인덕터와 커패시터의 평균 전압/전류가 0이다!" #### Buck converter (강압 컨버터) * **개념 설명:** 입력 전압($V_S$)보다 낮은 출력 전압($V_{OUT}$)을 얻기 위한 DC-DC 컨버터. 스위치의 ON/OFF 듀티 비(D)에 의해 출력 전압이 제어된다. * **시험 포인트:** $V_{OUT} = D \cdot V_S$ 공식을 유도하는 과정과 각 부품(스위치, 다이오드, 인덕터, 커패시터)의 역할을 이해해야 한다. * **헷갈리는 표현:** Boost converter(승압 컨버터)와 구성 요소의 위치는 비슷하지만 동작 및 전압 이득이 다르다. * **꼭 기억할 한 줄:** "Buck은 입력 전압을 강압(step-down)하며, $V_{OUT}$은 듀티 비 $D$에 비례한다." #### Sub-circuit analysis (세부 회로 분석) & ON/OFF period * **개념 설명:** 컨버터의 스위치(switch)가 켜지는 **ON period**와 꺼지는 **OFF period**로 나누어 각 주기 동안의 회로 동작을 개별적으로 분석하는 방법. * **시험 포인트:** 각 주기에서 스위치, 다이오드가 어떤 상태(ON/OFF)가 되는지 정확히 파악하고, 이에 따라 인덕터와 커패시터에 걸리는 전압/전류 식을 세울 수 있어야 한다. * **헷갈리는 표현:** ON/OFF 주기에서 다이오드의 동작 상태(순방향/역방향 바이어스)를 혼동하지 않도록 주의. * **꼭 기억할 한 줄:** "컨버터는 스위치 ON/OFF에 따라 다른 회로가 된다!" #### Small ripple approximation (소신호 리플 근사) * **개념 설명:** 정상상태에서 인덕터 전류($i_L$)와 커패시터 전압($v_C$)의 변동(리플)이 평균값에 비해 매우 작다고 가정하여, 계산을 간소화하는 방법. 즉, $i_L \approx I_L$ (평균 인덕터 전류), $v_C \approx V$ (평균 출력 전압)로 간주한다. * **시험 포인트:** 언제 이 근사가 적용되는지(보통 평균값 해석 시) 이해하고, 이를 통해 식이 어떻게 단순화되는지 알아야 한다. * **헷갈리는 표현:** 리플 자체를 무시하는 것은 아니며, 리플 계산 시에는 다시 고려해야 한다. 평균값 계산 시에만 사용된다! * **꼭 기억할 한 줄:** "평균값 구할 때는 $i_L$과 $v_C$를 평균값 $I_L$과 $V$로 바꿔서 계산하자!" #### Voltage-second balance (전압-시간 균형) * **개념 설명:** 정상상태에서 인덕터에 걸리는 전압 파형의 한 주기 동안의 면적(전압-시간 곱)의 합은 0이 되어야 한다는 원리. $\int_0^{T_S} v_L(t) dt = 0$ * **시험 포인트:** 인덕터가 에너지를 저장하고 방출하는 과정을 설명하며 Buck/Boost 컨버터의 전압 이득을 유도하는 핵심 원리이다. * **헷갈리는 표현:** 커패시터에 적용되는 current-second balance와 혼동하지 말 것. * **꼭 기억할 한 줄:** "인덕터는 한 주기 동안 전압 면적이 0이 되어야 한다." #### Current-second balance (전류-시간 균형) * **개념 설명:** 정상상태에서 커패시터에 흐르는 전류 파형의 한 주기 동안의 면적(전류-시간 곱)의 합은 0이 되어야 한다는 원리. $\int_0^{T_S} i_C(t) dt = 0$ * **시험 포인트:** 커패시터가 에너지를 충전하고 방전하는 과정을 설명하며 컨버터의 전류 관계를 유도하는 핵심 원리이다. * **헷갈리는 표현:** 인덕터에 적용되는 voltage-second balance와 혼동하지 말 것. * **꼭 기억할 한 줄:** "커패시터는 한 주기 동안 전류 면적이 0이 되어야 한다." #### Average voltage gain (평균 전압 이득) * **개념 설명:** 컨버터의 출력 평균 전압($V_{OUT}$)과 입력 평균 전압($V_{IN}$)의 비율. Buck에서는 $D$, Boost에서는 $1/(1-D)$이다. * **시험 포인트:** 각 컨버터에서 이득이 어떻게 결정되는지, 듀티 비 $D$와 어떤 관계를 갖는지 수식을 통해 명확히 이해해야 한다. * **헷갈리는 표현:** 이상적인 값과 기생 저항이 고려된 실제 값은 다르다. * **꼭 기억할 한 줄:** "듀티 비 $D$가 컨버터의 전압 이득을 결정한다." #### Average current gain (평균 전류 이득) * **개념 설명:** 컨버터의 평균 출력 전류와 평균 입력 전류의 비율. 또는 인덕터 평균 전류와 출력 부하 전류의 관계. $I_L = V/R$ (Buck), $I_L = V_O / [R(1-D)]$ (Boost). * **시험 포인트:** current-second balance를 통해 유도되며, 컨버터 내부 인덕터에 흐르는 평균 전류가 부하 전류와 어떤 관계를 갖는지 보여준다. * **헷갈리는 표현:** 전압 이득만큼 중요하게 다루어지지 않지만, 컨버터 내부 에너지 흐름 이해에 필수적이다. * **꼭 기억할 한 줄:** "커패시터를 통해 평균 전류가 흐르지 않으므로 $I_C$의 평균은 0이다." #### Inductor current ripple (인덕터 전류 리플) * **개념 설명:** 인덕터 전류가 스위칭 주기에 따라 변동하는 정도. 보통 피크-투-피크 값($\Delta i_L$)으로 표현된다. * **시험 포인트:** $\Delta i_L = (V_S - V)/L \cdot D T_S$ 또는 $\Delta i_L = V/L \cdot D’ T_S$와 같이 한쪽 구간의 인덕터 전압과 시간으로 계산됨을 이해해야 한다. 최대/최소 전류 계산에도 사용된다. * **헷갈리는 표현:** $\Delta i_L$은 평균값 $I_L$이 아니라 변동 폭이다. * **꼭 기억할 한 줄:** "인덕터 전류는 스위칭에 따라 삼각형으로 오르내린다." #### Switch current (스위치 전류) & Diode current (다이오드 전류) * **개념 설명:** Buck converter에서 스위치(Switch)와 다이오드(Diode)에 흐르는 평균 전류. 스위치는 ON 주기, 다이오드는 OFF 주기 동안 인덕터 전류를 흘려준다. * **시험 포인트:** $I_Q = I_L D$ (스위치)와 $I_D = I_L D’$ (다이오드) 공식을 유도하는 과정과 의미를 파악해야 한다. * **헷갈리는 표현:** 평균 전류는 스위칭 주기 동안의 전류 파형을 평균 낸 값이다. 순간 전류와 혼동하지 말 것. * **꼭 기억할 한 줄:** "스위치와 다이오드는 ON/OFF 주기에 따라 교대로 인덕터 전류를 흘려준다." #### Capacitor current (커패시터 전류) * **개념 설명:** 커패시터에 흐르는 전류. 정상상태에서 DC 성분은 0이고, 인덕터 전류 리플의 AC 성분만 흐른다. * **시험 포인트:** DC에서는 커패시터 임피던스($Z_C$)가 무한대(open)이므로 DC 전류가 흐르지 않는다는 것을 이해해야 한다. 인덕터 전류 리플의 AC 성분과 커패시터 전류의 관계를 파악하는 것이 중요하다. * **헷갈리는 표현:** 인덕터 전류 파형에서 평균값을 뺀 부분이 커패시터 전류 파형이 된다. * **꼭 기억할 한 줄:** "커패시터는 DC 전류를 통과시키지 않고, 리플 전류(AC)만 흘려준다." #### Output voltage ripple (출력 전압 리플) * **개념 설명:** 커패시터에 흐르는 리플 전류로 인해 출력 전압이 스위칭 주기에 따라 변동하는 정도. * **시험 포인트:** 리플 전압($\Delta v_{ac}$)이 커패시터에 저장되는 전하($\Delta q$) 변화량과 관련됨을 이해해야 한다. $\Delta v_{ac} = \Delta q / C$ 공식을 유도하고, 각 변수의 영향(L, C, $T_S$, D)을 분석할 수 있어야 한다. * **헷갈리는 표현:** 입력 전압 리플과 혼동하지 말 것. 출력 리플은 주로 부하 커패시터에 의해 결정된다. * **꼭 기억할 한 줄:** "커패시터가 AC 전류를 충전/방전하며 출력 전압에 리플을 만든다." #### Boost converter (승압 컨버터) * **개념 설명:** 입력 전압($V_S$)보다 높은 출력 전압($V_{OUT}$)을 얻기 위한 DC-DC 컨버터. Buck과 유사하게 스위치 듀티 비 $D$에 의해 출력 전압이 제어되지만, 그 관계는 $V_{OUT} = V_S / (1-D)$이다. * **시험 포인트:** Buck과의 대칭성을 이해하고 구조를 파악하는 것이 중요하다. 전압 이득 공식의 유도 과정 또한 중요하다. * **헷갈리는 표현:** D가 1에 가까워질수록 출력 전압이 이상적으로 무한대에 가까워지는 점을 주목해야 한다. * **꼭 기억할 한 줄:** "Boost는 입력 전압을 승압(step-up)하며, $V_{OUT}$은 듀티 비 $D$가 클수록 커진다." #### Duty cycle (D), D’ = 1 - D (듀티 비) * **개념 설명:** 스위칭 주기($T_S$) 동안 스위치가 ON 상태로 있는 시간($D T_S$)의 비율($D = T_{ON} / T_S$). $D’$는 스위치가 OFF 상태로 있는 시간($T_{OFF}$)의 비율($D' = T_{OFF} / T_S = 1-D$). * **시험 포인트:** $D$와 $D’$가 컨버터의 전압 이득, 전류 관계, 리플 등 모든 계산에 핵심적으로 사용된다. $0 \leq D \leq 1$ 범위 내에서 동작한다. * **헷갈리는 표현:** Buck과 Boost에서 D가 전압 이득에 미치는 영향이 다르다 ($D$ 증가 시 Buck은 $V_{OUT}$ 증가, Boost도 $V_{OUT}$ 증가). * **꼭 기억할 한 줄:** "컨버터 제어의 핵심, 듀티 비!" #### Parasitic element (기생 요소) & Inductor resistor ($R_L$) * **개념 설명:** 실제 회로에서 이상적이지 않은(존재하지 않아야 할) 저항, 인덕턴스, 커패시턴스 성분들. 특히 인덕터의 직렬 저항($R_L$)은 컨버터의 효율과 출력 전압에 중요한 영향을 미친다. * **시험 포인트:** 기생 저항이 포함될 경우 Buck/Boost 컨버터의 전압 이득 공식이 어떻게 수정되는지 이해해야 한다. $R_L$은 전압 이득을 감소시키는 주원인이 된다. * **헷갈리는 표현:** 부하 저항 $R$과 인덕터 저항 $R_L$은 다른 개념이다. * **꼭 기억할 한 줄:** "세상에 이상적인 부품은 없다! 기생 저항이 성능을 낮춘다." #### Ideal voltage gain (이상적인 전압 이득) * **개념 설명:** 기생 요소(손실)가 전혀 없는 이상적인 컨버터 모델에서 계산된 전압 이득. Buck은 $D$, Boost는 $1/(1-D)$이다. * **시험 포인트:** 실제 컨버터의 동작을 이해하기 위한 기준점 역할을 한다. * **꼭 기억할 한 줄:** "손실 없는 회로에서 이론적으로 얻을 수 있는 최대 이득." #### Corrected voltage gain (보정된 전압 이득) * **개념 설명:** 인덕터 저항($R_L$)과 같은 기생 요소를 고려하여 수정된 실제 전압 이득. Boost 컨버터의 경우 $V_{OUT}/V_S = \frac{1}{1-D} \cdot \frac{1}{1 + R_L/(R(1-D)^2)}$ 로 표현된다. * **시험 포인트:** 기생 저항이 전압 이득을 감소시키는 효과를 정량적으로 보여준다. 이로 인해 $D$가 1에 가까워져도 출력 전압이 무한히 증가하지 않는 이유를 설명할 수 있다. * **꼭 기억할 한 줄:** "기생 저항 때문에 이득이 줄어든다." #### Voltage gain limit (전압 이득 한계) * **개념 설명:** 실제 컨버터에서 기생 저항으로 인해 듀티 비를 아무리 키워도 출력 전압 이득이 특정 값 이상 증가하지 않거나 오히려 감소하는 현상. * **시험 포인트:** Boost 컨버터 그래프에서 $R_L/R$ 값에 따라 전압 이득이 어떻게 변하는지, 특히 $D$가 1에 가까울 때 이득이 감소하는 지점을 이해해야 한다. 시험에서 객관식 지문으로 나올 확률이 높다. * **꼭 기억할 한 줄:** "실제 Boost 컨버터는 무한히 승압되지 않는다!" ### 3. Buck converter 정상상태 해석 정리 Buck converter는 스위칭 소자의 ON/OFF 동작에 따라 회로의 토폴로지가 변합니다. 이를 **sub-circuit analysis**를 통해 해석합니다. #### ON period (스위치 ON) * **회로 상태:** 스위치(Switch)는 닫혀(ON) 있고, 다이오드(Diode)는 역방향 바이어스되어 열려(OFF) 있습니다. * **인덕터 전압($v_L$)**: * 인덕터에는 입력 전압 $V_S$와 출력 전압 $v$의 차이가 걸립니다. * $v_L = v_S - v$ * **Small ripple approximation (소신호 리플 근사) 적용**: 출력 전압 $v$를 평균값 $V$로 근사하면, * $v_L = V_S - V$ * **커패시터 전류($i_C$)**: * 인덕터 전류 $i_L$ 중 부하 저항 $R$으로 흐르는 전류($v/R$)를 제외한 나머지가 커패시터로 흐릅니다. * $i_C = i_L - v/R$ * **Small ripple approximation 적용**: $i_L$을 평균값 $I_L$, $v$를 평균값 $V$로 근사하면, * $i_C = I_L - V/R$ #### OFF period (스위치 OFF) * **회로 상태:** 스위치(Switch)는 열려(OFF) 있고, 인덕터 전류의 연속성을 유지하기 위해 다이오드(Diode)는 순방향 바이어스되어 닫혀(ON) 있습니다. * **인덕터 전압($v_L$)**: * 스위치가 OFF 되면 입력 전원과 분리되고, 인덕터에 저장된 에너지가 다이오드를 통해 부하로 방출됩니다. 인덕터에는 출력 전압 $v$의 역방향으로 전압이 걸립니다. * $v_L = -v$ * **Small ripple approximation 적용**: 출력 전압 $v$를 평균값 $V$로 근사하면, * $v_L = -V$ * **커패시터 전류($i_C$)**: * 마찬가지로 인덕터 전류 $i_L$ 중 부하 저항 $R$으로 흐르는 전류($v/R$)를 제외한 나머지가 커패시터로 흐릅니다. * $i_C = i_L - v/R$ * **Small ripple approximation 적용**: $i_L$을 평균값 $I_L$, $v$를 평균값 $V$로 근사하면, * $i_C = I_L - V/R$ 이러한 두 가지 구간의 해석을 기반으로 **voltage-second balance**와 **current-second balance**를 적용하여 정상상태 방정식을 유도합니다. ### 4. Buck converter의 voltage-second balance 정리 **Voltage-second balance(전압-시간 균형)**는 인덕터에 저장되는 에너지와 방출되는 에너지가 정상상태에서 균형을 이루어야 한다는 원리입니다. 즉, 한 주기($T_S$) 동안 인덕터에 걸리는 평균 전압은 0이 되어야 합니다. $$\int_0^{T_S} v_L(t) dt = 0$$ 이를 ON period와 OFF period로 나누어 적용합니다. 1. **ON period 동안의 인덕터 전압 면적**: * $$v_L = V_S - V$$ * 기간: $$DT_S$$ * 면적: $$(V_S - V)DT_S$$ 2. **OFF period 동안의 인덕터 전압 면적**: * $$v_L = -V$$ * 기간: $$D'T_S = (1-D)T_S$$ * 면적: $$-V D'T_S$$ 정상상태 조건에 따라, 두 면적의 합은 0이 되어야 합니다. $$(V_S - V)DT_S + (-V D'T_S) = 0$$ $$ (V_S - V)D = V D' $$ $$ V_S D - VD = V D' $$ $$ V_S D = V D + V D' $$ $$ V_S D = V (D + D') $$ 여기서 $D + D' = 1$이므로: $$ V_S D = V \cdot 1 $$ $$ V = D V_S $$ 이 식은 **Buck converter의 평균 전압 이득(Average Voltage Gain)**을 나타냅니다. 즉, Buck converter는 입력 전압 $V_S$에 듀티 비 $D$를 곱한 값으로 출력 전압 $V$를 만듭니다. 듀티 비 $D$는 $0$과 $1$ 사이의 값을 가지므로, 항상 출력 전압 $V$는 입력 전압 $V_S$보다 작거나 같게 됩니다. 따라서 Buck converter는 **step-down converter(강압 컨버터)**라고 불립니다. ### 5. Buck converter의 current-second balance 정리 **Current-second balance(전류-시간 균형)**는 커패시터에 저장되는 전하량과 방출되는 전하량이 정상상태에서 균형을 이루어야 한다는 원리입니다. 즉, 한 주기($T_S$) 동안 커패시터에 흐르는 평균 전류는 0이 되어야 합니다. $$\int_0^{T_S} i_C(t) dt = 0$$ 이를 ON period와 OFF period로 나누어 small ripple approximation을 적용한 커패시터 전류식을 사용합니다. 1. **ON period 동안의 커패시터 전류 면적**: * $$i_C = I_L - V/R$$ * 기간: $$DT_S$$ * 면적: $$(I_L - V/R)DT_S$$ 2. **OFF period 동안의 커패시터 전류 면적**: * $$i_C = I_L - V/R$$ * 기간: $$D'T_S = (1-D)T_S$$ * 면적: $$(I_L - V/R)D'T_S$$ 정상상태 조건에 따라, 두 면적의 합은 0이 되어야 합니다. $$(I_L - V/R)DT_S + (I_L - V/R)D'T_S = 0$$ $$(I_L - V/R)(D + D')T_S = 0 $$ 여기서 $$(D + D') = 1$$ 이므로: $$(I_L - V/R)T_S = 0$$ $$I_L - V/R = 0$$ $$I_L = V/R$$ 이 식은 **정상상태에서 인덕터의 평균 전류($I_L$)가 부하 전류($V/R$)와 같다**는 것을 의미합니다. 이는 커패시터는 DC 전류를 흘리지 않고, 부하에 필요한 평균 전류는 인덕터를 통해 공급된다는 중요한 관계를 보여줍니다. ### 6. Buck converter 인덕터 전류 리플 정리 실제 인덕터 전류($i_L$)는 완전히 일정하지 않고, 스위칭 주기에 따라 삼각형 형태의 변동(ripple)을 갖습니다. 이 변동 폭을 **인덕터 전류 리플($\Delta i_L$)**이라고 합니다. 전류 변화량은 인덕터에 걸리는 전압($v_L$)과 시간($\Delta t$)의 관계로 구할 수 있습니다: $$v_L = L \frac{di_L}{dt} \implies \Delta i_L = \frac{v_L}{L} \Delta t$$ 1. **ON period 동안의 전류 증가량**: * 인덕터 전압 $$v_L = V_S - V$$ * 기간: $$DT_S$$ * 따라서 인덕터 전류 증가량: $$\Delta i_L = \frac{V_S - V}{L} \cdot DT_S$$ 2. **OFF period 동안의 전류 감소량**: * 인덕터 전압 $$v_L = -V$$ * 기간: $$D'T_S$$ * 따라서 인덕터 전류 감소량: $$\Delta i_L = \frac{-(-V)}{L} \cdot D'T_S = \frac{V}{L} \cdot D'T_S$$ * **Voltage-second balance**에 의해 ON period 동안 증가한 전류량과 OFF period 동안 감소한 전류량은 동일해야 합니다. 즉, 위의 두 $\Delta i_L$ 식은 같은 값을 가집니다. ($V = D V_S$를 대입하여 확인 가능.) 인덕터 전류의 **최대값($i_{L,max}$)**과 **최소값($i_{L,min}$)**은 평균값 $I_L$을 기준으로 다음과 같이 표현됩니다: * $$i_{L,max} = I_L + \frac{1}{2} \Delta i_L$$ * $$i_{L,min} = I_L - \frac{1}{2} \Delta i_L$$ **시험 포인트**: 인덕터 전류의 평균값, 최대값, 최소값을 계산하는 문제에 활용될 수 있으며, 리플의 크기가 L, $V_S$, R, $D$, $T_S$ 등에 따라 어떻게 변하는지 이해하는 것이 중요합니다. ### 7. Switch current와 diode current 정리 Buck converter에서 스위치(Switch)와 다이오드(Diode)는 인덕터 전류를 ON/OFF 주기별로 번갈아 흘려주는 역할을 합니다. 1. **Switch current (스위치 전류, $I_Q$)**: * 스위치는 **ON period ($DT_S$)** 동안에만 동작하여 인덕터 전류를 흘려줍니다. * OFF period에는 스위치가 개방되므로 전류가 흐르지 않습니다. * 스위치에 흐르는 **평균 전류($I_Q$)**는 인덕터 평균 전류($I_L$)의 듀티 비 $D$를 곱한 값과 같습니다. $$I_Q = I_L \cdot D$$ * **이해를 위한 보충**: 스위치에 흐르는 전류 파형은 ON 주기 동안 $i_L$과 같고, OFF 주기 동안 0입니다. 이 파형을 한 주기 $T_S$로 평균 낸 값이 $I_Q$입니다. 2. **Diode current (다이오드 전류, $I_D$)**: * 다이오드는 스위치가 꺼지는 **OFF period ($D'T_S$)** 동안에만 동작하여 인덕터 전류를 흘려줍니다 (인덕터 전류 연속성 유지). * ON period에는 다이오드가 역방향 바이어스되어 전류가 흐르지 않습니다. * 다이오드에 흐르는 **평균 전류($I_D$)**는 인덕터 평균 전류($I_L$)의 듀티 비 $D'$를 곱한 값과 같습니다. $$I_D = I_L \cdot D'$$ * 여기서 $$D' = 1-D$$ 입니다. **시험 포인트**: 스위치와 다이오드의 평균 전류가 인덕터 평균 전류와 듀티 비의 곱으로 표현되는 이유를 이해하고 있어야 합니다. 컨버터 효율 및 소자 선택에 중요한 요소입니다. 교대로 동작하며 항상 $I_Q + I_D = I_L$이 성립합니다. ### 8. Capacitor current와 output voltage ripple 정리 #### Capacitor current (커패시터 전류) 1. **DC current가 흐르지 않는 이유**: * 커패시터($C$)의 임피던스($Z_C$)는 주파수($\omega$)에 반비례합니다: $$Z_C = \frac{1}{\omega C}$$ * DC(직류)의 경우 주파수 $\omega = 0$ 이므로, 임피던스 $Z_C = \infty$ (무한대)가 됩니다. * 이는 DC에서는 커패시터가 **개방 회로(open circuit)**와 같다는 의미이므로, 커패시터에는 DC current가 흐르지 않습니다. * **시험 포인트**: \"다음 중 커패시터에 DC 전류가 흐르지 않는 이유로 옳은 것은?\"과 같은 객관식 문제에서 $Z_C = 1/(\omega C)$ 개념이 사용될 수 있습니다. 2. **커패시터 전류의 구성**: * 인덕터 전류($i_L$)는 평균 전류($I_L$)와 리플 전류(AC 성분)의 합으로 구성됩니다. * 부하 저항($R$)에는 출력 전압의 평균값($V$)에 해당하는 DC 전류($V/R$)와 약간의 리플 전류가 흐릅니다. * **current-second balance**에 의해 $I_L = V/R$ 이므로, 인덕터 전류의 평균값은 부하의 DC 전류와 같습니다. * 결론적으로, 인덕터 전류 리플($\Delta i_L$)에서 부하로 흐르는 평균 전류를 제외한 **AC 성분**이 주로 커패시터로 흘러 **커패시터를 충전/방전**시키며 출력 전압 리플을 발생시킵니다. 커패시터 전류 파형은 인덕터 전류 파형에서 평균값 $I_L$을 뺀 형태가 됩니다. #### Output voltage ripple (출력 전압 리플) 출력 전압 리플($\Delta v_{ac}$)은 커패시터에 저장되는 전하($\Delta q$)의 변화량으로 계산됩니다. 1. **전하 변화량($\Delta q$)**: * 커패시터 전류 파형은 인덕터 전류 파형에서 평균($I_L$)을 뺀 형태이며, 리플 전류의 절반 주기 동안 커패시터로 전하가 충전됩니다. * 자료에서는 커패시터 전류 파형의 삼각형 면적을 이용해 전하 변화량을 계산합니다: * 삼각형의 밑변: $T_S/2$ (리플의 절반 주기) * 삼각형의 높이: $\Delta i_L / 2$ (커패시터 전류 피크값) * $$\Delta q = \text{면적} = \frac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$$ * $$\Delta q = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{T_S}{2}\right) \cdot \left(\frac{\Delta i_L}{2}\right)$$ * $$\Delta q = \frac{\Delta i_L T_S}{8}$$ 2. **전하와 전압 리플의 관계**: * 커패시터에 저장된 전하($Q$)와 전압($V_C$)의 관계는 $Q = C V_C$ 이므로, 전하 변화량과 전압 리플의 관계는 다음과 같습니다: $$\Delta q = C \Delta v_{ac}$$ * 따라서 출력 전압 리플 $\Delta v_{ac}$는: $$\Delta v_{ac} = \frac{\Delta q}{C} = \frac{\Delta i_L T_S}{8C}$$ 3. **최종 출력 전압 리플 식 유도**: * 앞서 구한 인덕터 전류 리플 식 $\Delta i_L = \frac{V}{L} D'T_S = \frac{V}{L} (1-D)T_S$ 를 대입합니다. * $$\Delta v_{ac} = \frac{1}{C} \cdot \frac{V}{L} (1-D)T_S \cdot \frac{T_S}{8}$$ * $$\Delta v_{ac} = \frac{1}{8} \cdot \frac{V}{LC} \cdot (1-D) \cdot T_S^2$$ **시험 포인트**: 이 최종 식에서 각 변수가 출력 전압 리플에 어떻게 영향을 미치는지 이해해야 합니다. * 인덕턴스($L$)와 커패시턴스($C$)가 클수록 리플은 줄어듭니다. * 스위칭 주기($T_S$)가 짧을수록 (스위칭 주파수 $f_S = 1/T_S$가 높을수록) 리플은 줄어듭니다. * 듀티 비($D$)의 영향은 $(1-D)$ 항에 의해 결정됩니다. 이러한 관계들은 **객관식 문제**에서 \"L, C 값을 증가시키면 출력 전압 리플이 어떻게 변하는가?\"와 같은 형태로 출제될 수 있으니 반드시 알아두세요. ### 9. Boost converter 기본 개념 정리 **Boost converter(승압 컨버터)**는 입력 전압($V_S$)보다 높은 출력 전압($V_{OUT}$, 또는 $V_O$)을 얻기 위한 DC-DC 컨버터입니다. 이름 그대로 전압을 '승압(step-up)'하는 역할을 합니다. #### Boost converter 구조의 이해 (Buck converter와의 대칭성) Boost converter의 구조는 Buck converter와 여러 면에서 대칭적인 관계를 가집니다. 자료에서는 이를 다음과 같이 설명합니다: 1. **전원(source)과 부하(load) 역전**: Buck converter에서 전원과 부하의 위치를 바꿉니다. 2. **능동 소자(active device)와 수동 소자(passive device) 교환**: Buck converter에서 스위치와 다이오드의 위치를 교환합니다. 3. **커패시터 위치 변경**: 출력단에 평활 커패시터를 배치합니다. 이러러한 대칭적인 관점에서 Boost converter의 구조를 이해할 수 있습니다. #### 이상적인 Boost converter의 전압 이득 이상적인 Boost converter에서 출력 전압과 입력 전압의 관계는 듀티 비($D$)에 의해 결정됩니다. **voltage-second balance** 원리를 통해 다음과 같은 전압 이득 공식이 유도됩니다: $$V_O = \frac{1}{1-D} \cdot V_S$$ * **듀티 비($D$)의 영향**: $D$는 $0$부터 $1$ 사이의 값($0 \le D ### 10. Boost converter piecewise linear analysis 정리 Boost converter의 동작도 Buck converter와 마찬가지로 스위치의 ON/OFF 동작에 따라 두 개의 "구간별 선형(piecewise linear)" 회로로 나누어 분석할 수 있습니다. #### Sub-circuit 1: Switch ON (ON period) * **회로 상태**: 스위치(Switch)는 닫혀(ON) 있고, 다이오드(Diode)는 역방향 바이어스되어 열려(OFF) 있습니다. * **인덕터 동작**: 입력 전압 $V_S$는 인덕터에 직접 연결되어, 인덕터에 에너지를 축적합니다. * 인덕터 전압($v_L$): $$v_L = V_S$$ * 인덕터 전류($i_L$): 인덕터에 $V_S$만큼의 전압이 걸리므로 $i_L$은 선형적으로 증가합니다 ($di_L/dt = V_S/L$). * **출력단 동작**: 다이오드가 OFF 상태이므로 출력 커패시터($C$)와 부하($R$)는 인덕터와 분리됩니다. 이 시간 동안 커패시터에 저장된 에너지가 부하로 공급됩니다. * 커패시터 전류($i_C$): $$i_C = -v_O/R$$ (출력 전압 $v_O$가 부하 $R$을 통해 흐르면서 커패시터는 방전) * **Small ripple approximation 적용**: $v_O$를 평균값 $V_O$로 근사하면 $$i_C = -V_O/R$$ #### Sub-circuit 2: Switch OFF (OFF period) * **회로 상태**: 스위치(Switch)는 열려(OFF) 있고, 인덕터 전류의 연속성을 유지하기 위해 다이오드(Diode)는 순방향 바이어스되어 닫혀(ON) 있습니다. * **인덕터 동작**: 인덕터에 저장된 에너지는 다이오드를 통해 출력단으로 전달됩니다. * 인덕터 전압($v_L$): 입력 전압 $V_S$와 출력 전압 $V_O$ 사이에 인덕터가 걸립니다. * $$v_L = V_S - v_O$$ * 인덕터 전류($i_L$): 인덕터 전압이 음수($V_S - V_O ### 11. Boost converter voltage-second balance 정리 Boost converter의 정상상태에서 인덕터에 대한 **voltage-second balance(전압-시간 균형)**를 적용합니다. 한 주기 동안 인덕터 전압의 평균은 0이 되어야 합니다. $$\int_0^{T_S} v_L(t) dt = 0$$ 1. **ON period 동안의 인덕터 전압 면적**: * $$v_L = V_S$$ * 기간: $$DT_S$$ * 면적: $$V_S \cdot DT_S$$ 2. **OFF period 동안의 인덕터 전압 면적**: * $$v_L = V_S - V_O$$ * 기간: $$D'T_S = (1-D)T_S$$ * 면적: $$(V_S - V_O) \cdot D'T_S$$ 정상상태 조건에 따라, 두 면적의 합은 0이 되어야 합니다. $$V_S DT_S + (V_S - V_O) D'T_S = 0$$ $$V_S D + (V_S - V_O) D' = 0$$ $$V_S D + V_S D' - V_O D' = 0$$ $$V_S (D + D') - V_O D' = 0$$ 여기서 $D + D' = 1$이므로: $$V_S - V_O D' = 0$$ $$V_S = V_O D'$$ $$V_O = \frac{V_S}{D'} = \frac{V_S}{1-D}$$ 이 식은 **Boost converter의 이상적인 평균 전압 이득(Ideal Average Voltage Gain)**을 나타냅니다. #### Buck converter와 Boost converter의 전압 이득 비교 * **Buck converter**: $$V = D \cdot V_S$$ * **Boost converter**: $$V_O = \frac{1}{1-D} \cdot V_S$$ **비교 포인트**: * Buck 컨버터는 $D$ 값이 $0$에서 $1$로 증가함에 따라 출력 전압도 선형적으로 증가합니다. * Boost 컨버터는 $D$ 값이 $0$에서 $1$로 증가함에 따라 출력 전압이 비선형적으로 증가하며 $D$가 $1$에 가까워질수록 이론적으로는 무한대에 수렴합니다. * 두 컨버터의 전압 이득 식은 Duty Cycle $D$에 의해 제어되지만, 그 관계가 서로 다름을 명확히 이해해야 합니다. ### 12. Boost converter current-second balance 정리 Boost converter의 정상상태에서 커패시터에 대한 **current-second balance(전류-시간 균형)**를 적용합니다. 한 주기 동안 커패시터 전류의 평균은 0이 되어야 합니다. $$\int_0^{T_S} i_C(t) dt = 0$$ 1. **ON period 동안의 커패시터 전류 면적**: * $$i_C = -V_O/R$$ (커패시터 방전) * 기간: $$DT_S$$ * 면적: $$(-V_O/R) DT_S$$ 2. **OFF period 동안의 커패시터 전류 면적**: * $$i_C = I_L - V_O/R$$ (인덕터 전류 일부가 커패시터와 부하로 흐름) * 기간: $$D'T_S = (1-D)T_S$$ * 면적: $$(I_L - V_O/R) D'T_S$$ 정상상태 조건에 따라, 두 면적의 합은 0이 되어야 합니다. $$(-V_O/R) DT_S + (I_L - V_O/R) D'T_S = 0$$ $$-V_O/R \cdot D + (I_L - V_O/R) D' = 0$$ $$-V_O D/R + I_L D' - V_O D'/R = 0$$ $$I_L D' = V_O D/R + V_O D'/R$$ $$I_L D' = (V_O/R) (D + D')$$ 여기서 $D + D' = 1$이므로: $$I_L D' = V_O/R$$ $$I_L = \frac{V_O}{R D'} = \frac{V_O}{R (1-D)}$$ 이 식은 Boost converter에서 **인덕터의 평균 전류($I_L$)가 출력 부하 전류($V_O/R$)보다 크다**는 것을 의미합니다. $D'$는 $0$에서 $1$ 사이의 값을 가지므로, $(1-D) V_O/R$이 됩니다. **이 의미**: 입력에서 인덕터로 공급되는 전류는 스위칭 동작을 통해 전압을 승압하는만큼 더 많은 전류를 흘려야 합니다. 이는 전력 보존 관점($P_{in} \approx P_{out}$)에서 $V_S I_{IN} \approx V_O I_{OUT}$ 이므로, $V_S I_{OUT}$ 이어야 함과도 일치합니다 (인덕터 전류 $I_L$은 입력 전류 $I_{IN}$과 직접적으로 관련됩니다). **시험 포인트**: Buck 컨버터의 $I_L = V/R$과 Boost 컨버터의 $I_L = V_O / [R(1-D)]$ 관계를 비교하여 이해하는 것이 중요합니다. ### 13. 기생저항이 포함된 Boost converter 정리 실제 Boost converter는 인덕터에 직렬로 연결된 저항($R_L$), 스위치/다이오드의 도통 저항 등 다양한 **parasitic element(기생 요소)**를 가지고 있습니다. 이 중 **인덕터 저항 $R_L$**은 컨버터의 성능에, 특히 높은 듀티 비($D$)에서 큰 영향을 미칩니다. 이 $R_L$ 때문에 이상적인 전압 이득보다 실제 전압 이득이 낮아지게 됩니다. #### $R_L$을 포함한 voltage-second balance 수정 인덕터 저항 $R_L$이 포함되면 인덕터 전압($v_L$)은 인덕터 자체에 걸리는 전압뿐만 아니라 $R_L$에 의한 전압 강하($i_L R_L$)도 고려해야 합니다. 1. **ON period (Switch ON)**: * 스위치를 통해 입력 전원 $V_S$와 인덕터($L$) 및 인덕터 저항($R_L$)이 연결됩니다. * $$v_L = V_S - I_L R_L$$ (인덕터와 $R_L$에 걸리는 순수한 전압) * (여기서 small ripple approximation을 통해 $$i_L$$은 평균값 $$I_L$$로 간주합니다.) * 면적: $$(V_S - I_L R_L) D T_S$$ 2. **OFF period (Switch OFF)**: * 인덕터($L$), 인덕터 저항($R_L$), 다이오드, 출력단($C$, $R$)이 연결됩니다. * $$v_L = V_S - I_L R_L - V_O$$ * 면적: $$(V_S - I_L R_L - V_O) D' T_S$$ Voltage-second balance $($면적의 합$=0)$를 다시 적용하면: $$(V_S - I_L R_L) D + (V_S - I_L R_L - V_O) D' = 0$$ $$V_S(D + D') - I_L R_L(D + D') - V_O D' = 0$$ $$V_S - I_L R_L - V_O D' = 0$$ $$V_S = I_L R_L + V_O D'$$ --- (1) #### $R_L$을 포함한 current-second balance 수정 커패시터 전류에 대한 current-second balance는 입력 저항이 커패시터에 직접적인 영향을 주지 않으므로, 이상적인 경우와 동일하게 유지됩니다: $$I_L = \frac{V_O}{R (1-D)}$$ --- (2) #### 보정된 전압 이득(Corrected Voltage Gain) 유도 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 $I_L$을 제거하면 $V_O$와 $V_S$의 관계를 얻을 수 있습니다. $$V_S = \left(\frac{V_O}{R(1-D)}\right) R_L + V_O (1-D)$$ $$V_S = V_O \left( \frac{R_L}{R(1-D)} + (1-D) \right)$$ $$V_S = V_O \left( \frac{R_L + R(1-D)^2}{R(1-D)} \right)$$ 따라서 보정된 전압 이득은: $$\frac{V_O}{V_S} = \frac{R(1-D)}{R_L + R(1-D)^2}$$ 이 식을 이상적인 이득 공식과 비교하기 위해 정리하면: $$\frac{V_O}{V_S} = \frac{1}{1-D} \cdot \frac{R(1-D)^2}{R_L + R(1-D)^2}$$ $$\frac{V_O}{V_S} = \frac{1}{1-D} \cdot \frac{1}{1 + \frac{R_L}{R(1-D)^2}}$$ 이 식에서: * 앞부분 $\frac{1}{1-D}$은 **이상적인 Boost converter 전압 이득(Ideal Voltage Gain)**입니다. * 뒷부분 $\frac{1}{1 + \frac{R_L}{R(1-D)^2}}$은 **기생 저항에 의한 correction factor(보정 계수)**입니다. * $R_L = 0$ (이상적인 경우)이면 correction factor는 1이 되어 이상적인 이득과 같아집니다. * $R_L > 0$ 이면 correction factor는 항상 1보다 작으므로, 실제 전압 이득은 이상적인 이득보다 작아집니다. **시험 포인트**: 이 공식 유도 과정과 correction factor의 의미를 정확히 이해해야 합니다. 특히 $R_L$이 존재할 때 $D$가 1에 가까워질수록 correction factor 분모의 $R(1-D)^2$ 항이 0에 가까워지면서 correction factor가 급격히 작아져 전압 이득이 떨어지는 현상을 설명할 수 있어야 합니다. ### 14. Boost converter 출력 한계 정리 기생 저항 $R_L$이 포함된 보정된 전압 이득 식을 다시 보면: $$\frac{V_O}{V_S} = \frac{1}{1-D} \cdot \frac{1}{1 + \frac{R_L}{R(1-D)^2}}$$ **그래프($V_O/V_S$ vs $D$) 해석**: * **이상적인 경우 ($R_L = 0$)**: 듀티 비 $D$가 증가할수록 전압 이득은 선형적으로 증가하여 $D$가 $1$에 가까워지면 무한대에 수렴합니다. * **실제 경우 ($R_L > 0$)**: * $D$ 값이 작을 때는 ($D \approx 0$) 이상적인 이득과 큰 차이가 없습니다. * 하지만 $D$ 값이 증가하면서 특히 $D$가 $1$에 가까워질수록, 분모의 $R_L / (R(1-D)^2)$ 항이 매우 커지게 됩니다. 이는 $1-D$ 항이 작아지면서 제곱 항이 더 빠르게 작아지기 때문입니다. * 이 때문에 correction factor는 $0$에 가까워지고 전체 전압 이득은 크게 감소하게 됩니다. 심지어 $D$ 값이 특정 지점(피크 이득 지점)을 넘어서면 오히려 이득이 떨어지는 현상(negative slope)이 발생합니다. * 그래프에서 $R_L/R$ 값이 클수록 (즉, 인덕터 저항이 크거나 부하 저항이 작을수록) 피크 이득 지점은 더 낮은 $D$에서 나타나고, 최대 이득 값도 작아집니다. **결론 (시험 포인트)**: * **실제 Boost converter에서는 듀티 비 $D$를 무작정 1에 가깝게 키운다고 해서 출력 전압이 계속 증가하지 않습니다.** 오히려 손실이 급격히 증가하여 효율이 떨어지고, 출력 전압 이득은 최대값 이후 감소하게 됩니다. * 이러한 현상은 **기생 저항($R_L$)과 부하 저항($R$)의 비율($R_L/R$)**에 크게 의존합니다. $R_L/R$이 클수록 출력 전압의 한계가 더 낮아지고, 최대로 얻을 수 있는 이득이 제한됩니다. * 객관식 문제 \"`RL` 값 증가 시 이득 곡선은 어떻게 변하는가?\" 또는 \"실제 Boost 컨버터의 전압 이득이 무한하지 않은 이유는?\"과 같은 질문이 나올 수 있습니다. ### 15. Buck converter와 Boost converter 비교 | 항목 | Buck Converter (강압 컨버터) | Boost Converter (승압 컨버터) | | :---------------------- | :------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------------- | | **기능** | 입력 전압보다 낮은 출력 전압 (Step-down) | 입력 전압보다 높은 출력 전압 (Step-up) | | **이상적인 전압 이득** | $$V_{OUT} = D \cdot V_{IN}$$ | $$V_{OUT} = \frac{1}{1-D} \cdot V_{IN}$$ | | **인덕터 평균 전류** | $$I_L = V_{OUT}/R$$ (부하 전류와 동일) | $$I_L = \frac{V_{OUT}}{R(1-D)}$$ (부하 전류보다 큼) | | **스위치 ON (DTs) 시 인덕터 전압($v_L$)** | $$V_{IN} - V_{OUT}$$ (인덕터 충전) | $$V_{IN}$$ (인덕터 충전) | | **스위치 OFF (D'Ts) 시 인덕터 전압($v_L$)** | $$-V_{OUT}$$ (인덕터 방전) | $$V_{IN} - V_{OUT}$$ (인덕터 방전) | | **Voltage-second balance** | 인덕터에 적용하여 전압 이득 유도 (두 컨버터 모두 적용) | 인덕터에 적용하여 전압 이득 유도 (두 컨버터 모두 적용) | | **Current-second balance** | 커패시터에 적용하여 인덕터/부하 전류 관계 유도 (두 컨버터 모두 적용) | 커패시터에 적용하여 인덕터/부하 전류 관계 유도 (두 컨버터 모두 적용) | | **기생 저항($R_L$) 영향** | 효율 감소 | 전압 이득 한계 발생, 특정 D 이상에서 이득 감소 (심화) | | **Duty Cycle($D$) 증가 시 출력** | 출력 전압 증가($0 \le D \le 1$) | 출력 전압 증가 ($0 \le D ### 16. 공식 및 그래프 해석 정리 #### Buck converter * **인덕터 전압 (ON period)** * **식:** $$v_L = V_S - V$$ * **의미:** 스위치 ON 시 인덕터에 걸리는 전압으로, 인덕터를 충전하여 전류를 증가시킴. * **변수 설명:** $$V_S$$: 입력 전압, $$V$$: 출력 평균 전압. * **시험에서 헷갈릴 점:** 리플 근사 적용 시 $v$ 대신 $V$ 사용. * **인덕터 전압 (OFF period)** * **식:** $$v_L = -V$$ * **의미:** 스위치 OFF 시 인덕터에 걸리는 전압으로, 인덕터를 방전하여 전류를 감소시킴. * **변수 설명:** $$V$$: 출력 평균 전압. * **시험에서 헷갈릴 점:** 스위치 OFF 시 입력 전원과 분리되고 다이오드를 통해 인덕터가 방전되는 점. * **커패시터 전류 (ON/OFF period)** * **식:** $$i_C = I_L - V/R$$ * **의미:** 인덕터 평균 전류와 부하 전류의 차이가 커패시터로 흐르는 전류. * **변수 설명:** $$I_L$$: 인덕터 평균 전류, $$V$$: 출력 평균 전압, $$R$$: 부하 저항. * **시험에서 헷갈릴 점:** 소신호 리플 근사 적용된 평균값을 사용하며, 한 주기 평균은 0이어야 함. * **평균 전압 이득 (이상적)** * **식:** $$V = D V_S$$ * **의미:** Buck 컨버터의 핵심 출력 전압 공식. 출력 전압이 입력 전압에 듀티 비를 곱한 값으로 강압됨. * **변수 설명:** $$D$$: 듀티 비. * **시험에서 헷갈릴 점:** $D$가 1보다 작으므로 항상 $V V_S$이며, $v_L$은 음수). * **시험에서 헷갈릴 점:** $V_S - V_O$는 음수이므로 인덕터가 방전된다는 의미. * **커패시터 전류 (ON period)** * **식:** $$i_C = -V_O/R$$ * **의미:** 스위치 ON 시 출력 커패시터가 부하에 전류를 공급하며 방전됨. * **시험에서 헷갈릴 점:** 인덕터 전류와 무관하게 출력에서만 전류가 흐름. * **커패시터 전류 (OFF period)** * **식:** $$i_C = I_L - V_O/R$$ * **의미:** 스위치 OFF 시 인덕터 전류가 커패시터와 부하로 나뉘어 흐름. * **시험에서 헷갈릴 점:** $I_L$은 인덕터 평균 전류. * **평균 전압 이득 (이상적)** * **식:** $$V_O = \frac{V_S}{1-D}$$ * **의미:** Boost 컨버터의 핵심 출력 전압 공식. 출력 전압이 입력 전압보다 승압됨. * **시험에서 헷갈릴 점:** $D$가 1에 가까워질수록 $V_O$는 무한대에 수렴 (이론적으로). * **인덕터 평균 전류 (이상적)** * **식:** $$I_L = \frac{V_O}{R(1-D)}$$ * **의미:** Boost 컨버터에서 인덕터 평균 전류는 부하 전류보다 항상 큼. * **시험에서 헷갈릴 점:** $I_L$이 $V_O/R$보다 큰 이유를 에너지 보존 관점에서 이해. * **Voltage-second balance (기생 저항 포함)** * **식:** $$V_S = I_L R_L + V_O D'$$ * **의미:** 인덕터의 직렬 저항 $R_L$에 의한 전압 강하 $I_L R_L$이 고려된 새로운 전압-시간 균형식. * **시험에서 헷갈릴 점:** $R_L$ 항이 추가되어 복잡해짐. * **Current-second balance (기생 저항 포함)** * **식:** $$I_L = \frac{V_O}{R(1-D)}$$ * **의미:** $R_L$은 커패시터 전류에 직접 영향을 주지 않으므로 이상적인 경우와 동일함. * **보정된 전압 이득 (기생 저항 포함)** * **식:** $$\frac{V_O}{V_S} = \frac{1}{1-D} \cdot \frac{1}{1 + \frac{R_L}{R(1-D)^2}}$$ * **의미:** 인덕터 저항 $R_L$을 고려한 실제 Boost 컨버터의 전압 이득. 이상적인 이득에 correction factor가 곱해짐. * **시험에서 헷갈릴 점:** $R_L$이 0이 아닐 때 이득이 1에 가까워질수록 감소하는 현상 이해. $R_L/(R(1-D)^2)$ 항의 영향. * **전압 이득 그래프 (기생 저항 포함)** * **그래프:** OCR 페이지 26 참조. * **의미:** $R_L/R$ 값에 따라 Boost 컨버터의 전압 이득 곡선이 어떻게 변하는지 보여줌. $R_L/R$이 클수록 최대 이득이 감소하고, 최대 이득을 보이는 $D$ 값이 작아짐. * **시험에서 헷갈릴 점:** $D$가 1에 가까워질수록 실제 이득이 급감하는 현상 (이론과 실제의 차이). ### 17. 시험 직전 10분 요약 시험 직전에 빠르게 훑어볼 수 있도록 핵심만 다시 정리해 줄게! * **반드시 외울 개념:** * **정상상태(Steady-state):** 인덕터 평균 전압 = 0, 커패시터 평균 전류 = 0. * **Voltage-second balance:** 인덕터에 적용, 전압 이득 유도. * **Current-second balance:** 커패시터에 적용, 전류 관계 유도. * **Small ripple approximation:** $$v \approx V, i_L \approx I_L$$ (평균값 모델링 시 사용). * **D, D' = 1-D:** 듀티 비! 컨버터 제어의 핵심. * **기생 저항($R_L$):** 특히 Boost 컨버터에서 출력 전압 한계를 만드는 주범. * **Buck converter 전압 이득:** * $$V = D V_S$$ * **강압(Step-down) 컨버터.** 항상 출력 전압이 입력보다 작다. * **Buck converter 전류 관계:** * $$I_L = V/R$$ (인덕터 평균 전류는 부하 전류와 같음). * 스위치 평균 전류: $$I_Q = I_L D$$ * 다이오드 평균 전류: $$I_D = I_L D'$$ * **인덕터 전류 리플($\Delta i_L$) 계산 흐름:** 1. ON/OFF 주기 동안 인덕터 전압($v_L$)을 파악. 2. $\Delta i_L = (v_L/L) \cdot \Delta t$ 공식 적용. 3. $$i_{L,max} = I_L + \frac{1}{2}\Delta i_L$$, $$i_{L,min} = I_L - \frac{1}{2}\Delta i_L$$ * **커패시터 전압 리플($\Delta v_{ac}$) 계산 흐름:** 1. **커패시터에 DC 전류 안 흐름! ($Z_C=\infty$ at DC)** 2. 인덕터 전류 리플의 AC 성분이 커패시터 전류. 3. $\Delta q = \text{삼각형 면적} = \frac{\Delta i_L T_S}{8}$ (전하 변화량) 4. $\Delta v_{ac} = \Delta q / C = \frac{\Delta i_L T_S}{8C}$ (출력 전압 리플) 5. 최종 식: $$\Delta v_{ac} = \frac{1}{8} \cdot \frac{V}{LC} \cdot (1-D) \cdot T_S^2$$ (L, C, $T_S$가 클수록 리플 작아짐) * **Boost converter 전압 이득:** * $$V_O = \frac{V_S}{1-D}$$ * **승압(Step-up) 컨버터.** $D \to 1$일 때 이론적으로 $$V_O \to \infty$$. * **Boost converter 전류 관계:** * $$I_L = \frac{V_O}{R(1-D)}$$ (인덕터 평균 전류가 부하 전류보다 큼). * **Boost converter ON/OFF 동작:** * **ON:** 스위치 ON, 다이오드 OFF. 인덕터 충전 ($v_L = V_S$), 커패시터 부하에 방전 ($i_C = -V_O/R$). * **OFF:** 스위치 OFF, 다이오드 ON. 인덕터 방전 ($v_L = V_S - V_O$), 인덕터 전류가 커패시터/부하로 ($i_C = I_L - V_O/R$). * **기생 저항($R_L$)이 전압 이득에 미치는 영향 (Boost):** * **이상적인 이득:** $$\frac{1}{1-D}$$ * **보정된 이득:** $$\frac{1}{1-D} \cdot \frac{1}{1 + \frac{R_L}{R(1-D)^2}}$$ * $R_L > 0$ 이면 이득이 이상값보다 작아지고, $D \to 1$일 때 오히려 이득이 급격히 감소함. **무한 승압 불가능!** * **교수님이 객관식으로 꼬아서 낼 만한 포인트:** * **Buck/Boost 전압 이득 식 비교:** \"다음 중 Buck 컨버터의 전압 이득으로 옳은 것은? (Boost 이득 식을 선지로 놓기)\" * **$R_L$의 영향:** \"Boost 컨버터에서 듀티 비를 1에 가깝게 증가시켜도 출력 전압이 무한히 증가하지 않는 이유는?\" * **리플 영향 요소:** \"출력 전압 리플을 줄이기 위한 방법으로 옳지 않은 것은? (L, C, $T_S$와 리플의 관계)\" * **Balance 원리 적용 부품:** \"Voltage-second balance는 어디에 적용되는가? Current-second balance는 어디에 적용되는가? (서로 바꿔서 낼 수 있음)\" * **$D'$의 의미:** $D'$가 (1-D)인 것 활용해서 복잡하게 계산한 선지. * **Sub-circuit 분석:** 특정 구간에서 다이오드 온/오프 상태, 인덕터 전압/전류 방향, 커패시터 전류 방향.