פתרון מערכות 3 משוואות

Cheatsheet Content

1. הבנה גיאומטרית: חיתוך מישורים במערכת של 3 משתנים ($x, y, z$), כל משוואה מייצגת מישור במרחב תלת-ממדי. משוואה אחת: מייצגת מישור. אינסוף פתרונות (נקודות על המישור). שתי משוואות: מייצגות שני מישורים הנחתכים בקו ישר. אינסוף פתרונות (נקודות על הקו). שלוש משוואות: מייצגות שלושה מישורים. נקודת החיתוך של שלושתם (אם קיימת) היא הפתרון היחיד (נקודה). X Z Y פתרון (x,y,z) 2. עקרון הצל: הפחתת ממדים הפתרון מבוסס על "העלמת" ממדים, צעד אחר צעד. שלב א': מ-3D ל-2D בחר משתנה אחד (לדוגמה $z$) שברצונך להעלים. קח שני זוגות שונים של משוואות מתוך השלוש המקוריות. לדוגמה: משוואה (1) ומשוואה (2) משוואה (1) ומשוואה (3) (או (2) ו-(3)) בכל זוג כזה, השתמש בשיטת ה"חיסור/חיבור" כדי להעלים את המשתנה שבחרת ($z$). תקבל שתי משוואות חדשות, שכל אחת מהן מכילה רק 2 משתנים (לדוגמה $x$ ו-$y$). זוהי מערכת 2D. שלב ב': מ-2D ל-1D פתור את מערכת שתי המשוואות החדשות (עם $x$ ו-$y$) בשיטות המוכרות (הצבה או השוואת מקדמים). תמצא את הערך של אחד המשתנים (לדוגמה $x$). שלב ג': שחזור (הצבה חוזרת) הצב את הערך שמצאת ($x$) באחת משתי המשוואות החדשות (של ה-2D) כדי למצוא את המשתנה השני ($y$). הצב את שני הערכים שמצאת ($x$ ו-$y$) באחת משלוש המשוואות המקוריות כדי למצוא את המשתנה השלישי ($z$). Eq 1 (x,y,z) Eq 2 (x,y,z) Eq 3 (x,y,z) Eq A (x,y) Eq B (x,y) x הצבה חוזרת מצא y מצא z 3. טיפים להתמודדות עם העומס הקוגניטיבי מספור משוואות: תמיד מספרו את המשוואות המקוריות (1), (2), (3). זה קריטי למעקב. החלטה מראש: לפני שמתחילים, החליטו איזה משתנה (לדוגמה $z$) אתם רוצים להעלים בשלב הראשון. דבקו בהחלטה זו! עקביות: אל תחליפו משתנה להעלמה באמצע התהליך. אם התחלתם עם $z$, תעלמו את $z$ משני הזוגות. כתיבה מסודרת: כתבו בבירור איזה פעולה אתם עושים: "נחסר (1) מ-(2) כדי להעלים את $z$". סמנו את המשוואות החדשות (לדוגמה (A) ו-(B)). בדיקה: בסיום, הציבו את הפתרון ($x,y,z$) בכל אחת משלוש המשוואות המקוריות כדי לוודא שהן מתקיימות. 4. מערכות מסוגים אחרים (פיזיקה/תנועה) בבעיות פיזיקליות (לדוגמה $d = v \cdot t$), הקשר הוא כפלי ולא חיבורי. במקום לחסר, נסו לחפש גודל שנשאר קבוע (אינווריאנט), לדוגמה המרחק $d$. אם $d_1 = v_1 t_1$ וגם $d_2 = v_2 t_2$ ונתון $d_1 = d_2$, אז ניתן להשוות: $v_1 t_1 = v_2 t_2$. לפעמים, חלוקת משוואות יכולה לפשט את המצב, במיוחד אם יש גודל שמתבטל (לדוגמה, חלוקת שתי משוואות שבהן $d$ הוא אותו דבר: $\frac{d}{d} = \frac{v_1 t_1}{v_2 t_2} \implies 1 = \frac{v_1 t_1}{v_2 t_2}$).