Peluang Matematika

Cheatsheet Content

### 🎲 Pengantar Dunia Peluang Peluang itu tentang seberapa mungkin sesuatu terjadi. Dari melempar dadu sampai undian berhadiah, konsep ini ada di mana-mana! - **Peluang (Probabilitas):** Angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan sebuah kejadian akan terjadi. Nilainya antara 0 (mustahil) dan 1 (pasti). - **Ruang Sampel ($S$):** Kumpulan SEMUA hasil yang mungkin dari suatu percobaan. - *Contoh:* Melempar dadu 6 sisi, $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. - **Titik Sampel:** Setiap anggota dari ruang sampel. - *Contoh:* Pada dadu, 1 adalah titik sampel, 2 juga, dst. - **Kejadian (Event):** Satu atau lebih hasil yang kita inginkan dari ruang sampel. - *Contoh:* Kejadian "muncul mata dadu genap" adalah $A = \{2, 4, 6\}$. ### 🎯 Rumus Inti Peluang Bagaimana menghitung peluang suatu kejadian? Gampang! $$P(A) = \frac{\text{Banyaknya kejadian } A \text{ terjadi}}{\text{Total semua hasil yang mungkin}} = \frac{n(A)}{n(S)}$$ Dimana: - $P(A)$ = Peluang kejadian $A$ - $n(A)$ = Jumlah anggota dalam kejadian $A$ - $n(S)$ = Jumlah anggota dalam ruang sampel #### ✨ Sifat-sifat Penting Peluang - Peluang selalu di antara 0 dan 1: $0 \le P(A) \le 1$. - Peluang kejadian yang pasti terjadi (seluruh ruang sampel) adalah 1: $P(S) = 1$. - Peluang kejadian yang mustahil terjadi adalah 0: $P(\emptyset) = 0$. ### 📈 Frekuensi Harapan & Komplemen Melihat peluang dalam skala yang lebih besar! #### Frekuensi Harapan Jika kita melakukan percobaan berkali-kali, berapa kali kira-kira kejadian yang kita inginkan akan muncul? $$F_h(A) = P(A) \times N$$ Dimana: - $F_h(A)$ = Frekuensi harapan kejadian $A$ - $P(A)$ = Peluang kejadian $A$ - $N$ = Total banyaknya percobaan #### Komplemen Kejadian Kejadian yang "bukan" $A$. Jika $A$ terjadi, maka $A^c$ (dibaca "A komplemen") tidak terjadi, dan sebaliknya. $$P(A^c) = 1 - P(A)$$ *Artinya, peluang sesuatu TIDAK terjadi adalah 1 dikurangi peluang sesuatu ITU terjadi.* ### 🔢 Kaidah Pencacahan: Menghitung Kemungkinan! Sebelum menghitung peluang, kita seringkali perlu menghitung *berapa banyak* cara suatu kejadian bisa terjadi. Di sinilah Kaidah Pencacahan berperan! #### 1. Aturan Perkalian (Dasar Menghitung Pilihan) Jika ada beberapa tahap atau pilihan yang harus diambil secara berurutan, maka total cara adalah hasil kali dari banyaknya pilihan di setiap tahap. $$n_1 \times n_2 \times \ldots \times n_k$$ **Contoh:** Dari kota A ke B ada 3 jalur, B ke C ada 2 jalur. Berapa total jalur dari A ke C lewat B? **Jawab:** $3 \times 2 = 6$ jalur. #### 2. Permutasi (Urutan itu PENTING!) Menyusun $k$ objek dari $n$ objek yang tersedia, di mana URUTAN susunan sangat diperhatikan. $$P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$$ **Contoh:** Berapa banyak cara menyusun 3 huruf dari A, B, C, D? (ABC beda dengan ACB) **Jawab:** $n=4, k=3$. $$P(4, 3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24 \text{ cara}$$ ##### Permutasi Khusus: - **Dengan Unsur yang Sama:** Jika ada objek yang berulang. $$P = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$$ **Contoh:** Berapa susunan huruf dari kata "MATEMATIKA"? ($n=10$, M ada 2, A ada 3, T ada 2) **Jawab:** $$P = \frac{10!}{2! \times 3! \times 2!} = 151.200 \text{ susunan}$$ - **Siklis (Duduk Melingkar):** Untuk objek yang disusun melingkar. $$P_{siklis} = (n-1)!$$ **Contoh:** 4 orang duduk mengelilingi meja bundar. **Jawab:** $(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ cara}$$ #### 3. Kombinasi (Urutan TIDAK PENTING!) Memilih $k$ objek dari $n$ objek yang tersedia, di mana URUTAN pemilihan TIDAK diperhatikan. (Hanya kelompoknya saja yang penting) $$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ **Contoh:** Dari 5 siswa, dipilih 3 untuk lomba. (ABC sama dengan ACB) **Jawab:** $n=5, k=3$. $$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ cara}$$ ### 🤝 Kejadian Majemuk: Peluang Lebih dari Satu Kejadian Bagaimana jika ada dua atau lebih kejadian yang saling berhubungan? #### 1. Gabungan Dua Kejadian ($A$ atau $B$) Peluang salah satu dari dua kejadian atau keduanya terjadi. - **Saling Lepas (Tidak Bisa Terjadi Bersamaan):** Jika $A$ dan $B$ tidak memiliki irisan (contoh: muncul ganjil DAN genap pada satu lemparan dadu). $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ - **Tidak Saling Lepas (Bisa Terjadi Bersamaan):** Jika $A$ dan $B$ mungkin memiliki irisan (contoh: muncul genap DAN prima pada satu lemparan dadu, yaitu angka 2). $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ #### 2. Irisan Dua Kejadian ($A$ dan $B$) Peluang kedua kejadian terjadi secara bersamaan. - **Saling Bebas (Satu Tidak Mempengaruhi yang Lain):** Contoh: Melempar koin dua kali. Hasil pertama tidak mempengaruhi hasil kedua. $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$ - **Tidak Saling Bebas (Bersyarat):** Peluang kejadian $A$ terjadi, DENGAN SYARAT kejadian $B$ sudah terjadi. $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Dari rumus ini, kita juga bisa dapatkan: $$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$$ *Contoh:* Peluang mengambil kartu As kedua, setelah kartu As pertama sudah diambil (tanpa dikembalikan).