CIAM Série D - Corrigé Type

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1. Nombres complexes 1.1. Formes des nombres complexes Forme algébrique : $z = a + ib$, avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$. Partie réelle : $\text{Re}(z) = a$ Partie imaginaire : $\text{Im}(z) = b$ Forme trigonométrique (polaire) : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, où $r = |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$. Module : $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ Argument : $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$ Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$ 1.2. Opérations Conjugué : $\bar{z} = a - ib = r(\cos\theta - i\sin\theta) = re^{-i\theta}$ Addition/Soustraction (forme algébrique) : $(a+ib) \pm (c+id) = (a \pm c) + i(b \pm d)$ Multiplication : Algébrique : $(a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)$ Exponentielle : $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ Division : Algébrique : $\frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}$ Exponentielle : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ 1.3. Théorème de Moivre $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ ou $(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$ 1.4. Racines n-ièmes Les $n$ racines $n$-ièmes de $Z = Re^{i\Phi}$ sont $z_k = \sqrt[n]{R}e^{i\frac{\Phi+2k\pi}{n}}$, pour $k = 0, 1, ..., n-1$. 2. Fonctions numériques 2.1. Limites Formes indéterminées : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0$ Techniques : Factorisation, conjugaison, taux d'accroissement, théorème des gendarmes, comparaison, équivalents. 2.2. Continuité $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a,b]$, pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$. 2.3. Dérivabilité $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie (nombre dérivé $f'(a)$). Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ Règles de dérivation : $(u+v)' = u'+v'$ $(uv)' = u'v + uv'$ $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ $(f \circ g)' = f'(g(x)) \times g'(x)$ Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ $(\sin x)' = \cos x$ $(\cos x)' = -\sin x$ $(e^x)' = e^x$ $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ 2.4. Étude de fonctions Domaine de définition. Parité (paire $f(-x)=f(x)$, impaire $f(-x)=-f(x)$). Périodicité. Limites aux bornes du domaine. Asymptotes (verticales, horizontales, obliques). Calcul de la dérivée $f'(x)$. Signe de $f'(x)$ pour sens de variation. Tableau de variation. Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$. Signe de $f''(x)$ pour convexité/concavité et points d'inflexion. Tracé de la courbe. 3. Intégration 3.1. Primitives $F$ est une primitive de $f$ si $F'(x) = f(x)$. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F(x) + C$ est l'ensemble de toutes les primitives. Primitives usuelles : $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (pour $n \neq -1$) $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int \sin x dx = -\cos x + C$ 3.2. Intégrale définie $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ (Théorème Fondamental de l'Analyse). Propriétés : Linéarité, relation de Chasles, positivité. Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ 3.3. Calcul d'aires et de volumes Aire sous la courbe : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$ (si l'unité d'aire est spécifiée). Volume de révolution autour de l'axe des abscisses : $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ 4. Équations différentielles 4.1. Équations différentielles du premier ordre Forme $y' = ay + b$ : Solution générale : $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$) Si $a=0$, $y' = b \Rightarrow y(x) = bx + C$ Résolution : Résoudre l'équation homogène $y' = ay \Rightarrow y_h(x) = Ce^{ax}$. Chercher une solution particulière $y_p(x)$ (constante si $b$ est constant). La solution générale est $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$. Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ pour trouver $C$. 4.2. Équations différentielles du second ordre (linéaires à coefficients constants) Forme $ay'' + by' + cy = 0$ (homogène) : Équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Cas 1 : $\Delta > 0$, deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$. Solution : $y(x) = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$ Cas 2 : $\Delta = 0$, une racine réelle double $r_0$. Solution : $y(x) = (Ax + B)e^{r_0 x}$ Cas 3 : $\Delta Solution : $y(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x))$ Forme $ay'' + by' + cy = f(x)$ (avec second membre) : Résoudre l'équation homogène associée pour trouver $y_h(x)$. Chercher une solution particulière $y_p(x)$ (méthode de variation de la constante ou identification si $f(x)$ est simple : polynôme, exponentielle, trigonométrique). La solution générale est $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$. Utiliser les conditions initiales pour trouver $A$ et $B$. 5. Probabilités et Statistiques 5.1. Probabilités Vocabulaire : Expérience aléatoire, événement, univers ($\Omega$), événement élémentaire. Calcul des probabilités : Pour un univers fini et équiprobable, $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$. Probabilité conditionnelle : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (si $P(B) \neq 0$). Événements indépendants : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ si $A$ et $B$ sont indépendants. Formule des probabilités totales : Si $(B_i)$ est un système complet d'événements, $P(A) = \sum P(A \cap B_i) = \sum P(A|B_i)P(B_i)$. Formule de Bayes : $P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$ 5.2. Variables aléatoires Variable aléatoire discrète : Loi de probabilité : $P(X=x_i)$. Espérance : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$. Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum (x_i - E(X))^2 P(X=x_i)$. Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Lois discrètes usuelles : Loi de Bernoulli $B(p)$ : $P(X=1)=p, P(X=0)=1-p$. $E(X)=p, V(X)=p(1-p)$. Loi Binomiale $B(n,p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. $E(X)=np, V(X)=np(1-p)$. Variable aléatoire continue : Fonction de densité $f(x)$ : $f(x) \ge 0$, $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$. $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$. Espérance : $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$. Variance : $V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx$. Loi normale (Gauss) $N(\mu, \sigma^2)$ : Densité : $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$. Variable centrée réduite : $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$. Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite $\Phi(z) = P(Z \le z)$. 5.3. Statistiques Statistiques descriptives : Moyenne, médiane, mode, variance, écart-type, quartiles. Séries statistiques à deux variables : Nuage de points, point moyen $G(\bar{x}, \bar{y})$. Ajustement linéaire (régression linéaire) : Droite de régression $y = ax+b$. $a = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}$ $b = \bar{y} - a\bar{x}$ Coefficient de corrélation linéaire : $r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$, avec $-1 \le r \le 1$. 6. Géométrie dans l'espace 6.1. Vecteurs et points Coordonnées : $\vec{u}(x,y,z)$, $A(x_A, y_A, z_A)$. Distance entre deux points : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$. Milieu d'un segment : $M(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2})$. Produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cos(\vec{u}, \vec{v}) = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$. Orthogonalité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}$. 6.2. Droites dans l'espace Représentation paramétrique : Droite passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a,b,c)$. $x = x_A + at$ $y = y_A + bt$ $z = z_A + ct$ pour $t \in \mathbb{R}$. 6.3. Plans dans l'espace Équation cartésienne : $ax+by+cz+d=0$. Vecteur normal : $\vec{n}(a,b,c)$ est un vecteur normal au plan. Plan passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ : $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$. Distance d'un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $P: ax+by+cz+d=0$ : $D(M_0, P) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ 6.4. Positions relatives Droites et plans : Parallélisme : $\vec{u}$ (directeur de D) et $\vec{n}$ (normal à P) sont orthogonaux ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$). Sécantes : Non parallèles, un point d'intersection. Plans : Parallèles : Leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Sécants : Non parallèles, leur intersection est une droite. 7. Algorithmique et Programmation (selon le programme) 7.1. Variables et Types Déclaration de variables (entier, réel, chaîne de caractères, booléen). 7.2. Structures de contrôle Conditionnelles : SI condition ALORS instructions FIN SI SI condition ALORS instructions 1 SINON instructions 2 FIN SI Boucles : POUR i ALLANT DE début À fin FAIRE instructions FIN POUR TANT QUE condition FAIRE instructions FIN TANT QUE 7.3. Fonctions et Procédures Définition d'une fonction/procédure avec paramètres et valeur de retour. 7.4. Tableaux Déclaration et manipulation de tableaux (accès par indice).