Transformasi Derivatif & Integ

Cheatsheet Content

### Transformasi Laplace Derivatif Transformasi Laplace adalah alat ampuh untuk mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar. #### Definisi Transformasi Laplace $$ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt $$ #### Transformasi Laplace dari Derivatif Pertama Jika $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, maka: $$ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) $$ Ini sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama. #### Transformasi Laplace dari Derivatif Kedua Untuk derivatif kedua: $$ \mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) $$ Ini dapat diperluas untuk derivatif orde lebih tinggi. #### Transformasi Laplace dari Derivatif ke-n Secara umum, untuk derivatif ke-n: $$ \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) $$ **Penting:** Transformasi ini mengubah operasi diferensiasi di domain waktu ($t$) menjadi perkalian di domain Laplace ($s$), menyederhanakan penyelesaian persamaan diferensial. ### Transformasi Laplace Integral Transformasi Laplace juga memiliki sifat yang berguna untuk integral. #### Transformasi Laplace dari Integral Jika $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, maka transformasi Laplace dari integral $f(t)$ dari $0$ sampai $t$ adalah: $$ \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} $$ Ini menunjukkan bahwa operasi integrasi di domain waktu menjadi pembagian dengan $s$ di domain Laplace. #### Contoh Aplikasi Pertimbangkan persamaan diferensial-integral: $$ y'(t) + 2y(t) + \int_0^t y(\tau) d\tau = g(t) $$ Dengan menerapkan Transformasi Laplace pada setiap suku: $$ (sY(s) - y(0)) + 2Y(s) + \frac{Y(s)}{s} = G(s) $$ Persamaan ini kemudian dapat diselesaikan untuk $Y(s)$, dan Transformasi Laplace Invers dapat diterapkan untuk menemukan $y(t)$. #### Teorema Konvolusi Teorema Konvolusi menghubungkan perkalian di domain Laplace dengan konvolusi di domain waktu: $$ \mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = F(s)G(s) $$ dimana konvolusi $(f * g)(t)$ didefinisikan sebagai: $$ (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau) d\tau $$ Ini berarti bahwa integral konvolusi dapat disederhanakan menjadi perkalian di domain Laplace, yang seringkali jauh lebih mudah untuk ditangani. ### Transformasi Fourier Derivatif Mirip dengan Transformasi Laplace, Transformasi Fourier juga menyederhanakan operasi diferensiasi. #### Definisi Transformasi Fourier Transformasi Fourier dari $f(x)$ adalah: $$ \mathcal{F}\{f(x)\} = \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx $$ (Varian lain menggunakan $e^{-i\omega x}$ atau $e^{-i k x}$ dengan konstanta yang berbeda). #### Transformasi Fourier dari Derivatif Pertama Jika $\mathcal{F}\{f(x)\} = \hat{f}(\xi)$, maka: $$ \mathcal{F}\{f'(x)\} = 2\pi i \xi \hat{f}(\xi) $$ Atau, jika menggunakan $e^{-i\omega x}$: $$ \mathcal{F}\{f'(x)\} = i\omega \hat{f}(\omega) $$ Ini menunjukkan bahwa diferensiasi di domain spasial/waktu ($x$) menjadi perkalian dengan $2\pi i \xi$ (atau $i\omega$) di domain frekuensi ($\xi$ atau $\omega$). #### Transformasi Fourier dari Derivatif ke-n Untuk derivatif ke-n: $$ \mathcal{F}\{f^{(n)}(x)\} = (2\pi i \xi)^n \hat{f}(\xi) $$ Transformasi ini mengasumsikan bahwa $f(x)$ dan derivatifnya mendekati nol saat $|x| \to \infty$. Ini sangat berguna dalam analisis sinyal dan fisika. ### Transformasi Fourier Integral Transformasi Fourier juga memiliki sifat yang berkaitan dengan integrasi. #### Transformasi Fourier dari Integral Jika $\mathcal{F}\{f(x)\} = \hat{f}(\xi)$, maka transformasi Fourier dari integral $f(x)$ adalah: $$ \mathcal{F}\left\{\int_{-\infty}^x f(t) dt\right\} = \frac{1}{2\pi i \xi} \hat{f}(\xi) + \pi \hat{f}(0) \delta(\xi) $$ Suku $\delta(\xi)$ (fungsi delta Dirac) muncul karena integral dapat memiliki komponen DC (arus searah) yang tidak nol. Suku ini sering diabaikan jika integral memiliki nilai rata-rata nol. #### Teorema Konvolusi untuk Fourier Mirip dengan Laplace, Transformasi Fourier juga memiliki teorema konvolusi: $$ \mathcal{F}\{(f * g)(x)\} = \hat{f}(\xi)\hat{g}(\xi) $$ dimana konvolusi $(f * g)(x)$ didefinisikan sebagai: $$ (f * g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(t)g(x-t) dt $$ Ini adalah fundamental dalam pemrosesan sinyal, di mana operasi seperti pemfilteran (yang merupakan konvolusi) menjadi perkalian sederhana di domain frekuensi. #### Contoh Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial (PDE) seperti persamaan panas atau gelombang, Transformasi Fourier sering digunakan untuk mengubah derivatif spasial menjadi perkalian, menyederhanakan PDE menjadi ODE (persamaan diferensial biasa) yang lebih mudah diselesaikan. ### Transformasi Z Derivatif dan Integral Transformasi Z adalah analog diskrit dari Transformasi Laplace, digunakan untuk sinyal waktu diskrit. #### Definisi Transformasi Z $$ \mathcal{Z}\{f[n]\} = F(z) = \sum_{n=0}^\infty f[n] z^{-n} $$ #### Transformasi Z dari Derivatif (Perbedaan) "Derivatif" dalam konteks diskrit adalah perbedaan (difference). ##### Perbedaan Maju (Forward Difference) $$ \mathcal{Z}\{\Delta f[n]\} = \mathcal{Z}\{f[n+1] - f[n]\} = zF(z) - zf[0] - F(z) = (z-1)F(z) - zf[0] $$ ##### Perbedaan Mundur (Backward Difference) $$ \mathcal{Z}\{\nabla f[n]\} = \mathcal{Z}\{f[n] - f[n-1]\} = F(z) - z^{-1}F(z) = (1-z^{-1})F(z) $$ Analog dengan Transformasi Laplace, operasi perbedaan di domain waktu diskrit menjadi perkalian di domain Z. #### Transformasi Z dari Integral (Penjumlahan Akumulatif) "Integral" dalam konteks diskrit adalah penjumlahan akumulatif. $$ \mathcal{Z}\left\{\sum_{k=0}^n f[k]\right\} = \frac{z}{z-1}F(z) $$ Ini menunjukkan bahwa penjumlahan akumulatif di domain waktu diskrit menjadi perkalian dengan $\frac{z}{z-1}$ di domain Z. #### Teorema Konvolusi untuk Transformasi Z Teorema konvolusi juga berlaku untuk Transformasi Z: $$ \mathcal{Z}\{(f * g)[n]\} = F(z)G(z) $$ dimana konvolusi diskrit $(f * g)[n]$ didefinisikan sebagai: $$ (f * g)[n] = \sum_{k=0}^n f[k]g[n-k] $$ Transformasi Z sangat penting dalam desain filter digital dan analisis sistem waktu diskrit. ### Perbandingan Transformasi | Fitur | Laplace (Kontinu) | Fourier (Kontinu) | Z-Transform (Diskrit) | |-----------------------|-----------------------------------------------------------|---------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------| | Domain Waktu | $t \ge 0$ | $-\infty ### Sifat Umum Transformasi Meskipun setiap transformasi memiliki detailnya sendiri, ada beberapa sifat umum yang dapat diamati: 1. **Linearitas:** Semua transformasi ini bersifat linear. Artinya, transformasi dari penjumlahan adalah penjumlahan dari transformasi, dan transformasi dari konstanta kali fungsi adalah konstanta kali transformasi fungsi. $$ \mathcal{T}\{af(t) + bg(t)\} = a\mathcal{T}\{f(t)\} + b\mathcal{T}\{g(t)\} $$ 2. **Diferensiasi di Domain Waktu/Spasial $\leftrightarrow$ Perkalian di Domain Transformasi:** Ini adalah sifat kunci yang membuat transformasi ini sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Mengubah diferensiasi yang kompleks menjadi perkalian aljabar yang lebih sederhana. 3. **Integrasi di Domain Waktu/Spasial $\leftrightarrow$ Pembagian di Domain Transformasi:** Demikian pula, integrasi di domain asli menjadi pembagian di domain transformasi, menyederhanakan analisis sistem yang melibatkan akumulasi atau rata-rata. 4. **Teorema Konvolusi:** Konvolusi (operasi integral/penjumlahan yang umum dalam sistem linear) di domain asli menjadi perkalian sederhana di domain transformasi. Ini sangat menyederhanakan analisis sistem yang melibatkan respons impuls, pemfilteran, dan banyak lagi. 5. **Aplikasi:** Setiap transformasi dipilih berdasarkan sifat masalah yang dihadapi: * **Laplace:** Untuk sistem kausal (dimulai dari $t=0$) dan stabil, sangat baik untuk persamaan diferensial biasa dengan kondisi awal. * **Fourier:** Untuk sinyal dan sistem periodik atau non-periodik yang ada dari $-\infty$ hingga $\infty$, ideal untuk analisis frekuensi dan PDE. * **Z-Transform:** Untuk sistem waktu diskrit, filter digital, dan deret waktu. Memahami sifat-sifat ini memungkinkan pemilihan dan penerapan transformasi yang tepat untuk menyelesaikan berbagai masalah teknik dan matematika.