Teoria Sterowania

Cheatsheet Content

### Kryterium Hurwitza i Stabilność Asymptotyczna - **Definicja:** System liniowy jest asymptotycznie stabilny, jeśli wszystkie pierwiastki jego równania charakterystycznego mają ujemne części rzeczywiste. - **Równanie charakterystyczne:** Dla układu w postaci macierzowej $\dot{x} = Ax$, równanie charakterystyczne to $\det(A - \lambda I) = 0$. - **Kryterium Hurwitza:** Dla wielomianu $P(\lambda) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + a_1 \lambda + a_0$: 1. Wszystkie współczynniki $a_i$ muszą być tego samego znaku (zazwyczaj dodatnie). 2. Wszystkie wyznaczniki macierzy Hurwitza (podwyznaczniki główne) muszą być dodatnie. #### Przykład 1: Stabilność Asymptotyczna Dla systemu z macierzą A: $$ A = \begin{pmatrix} -1 & a \\ 2 & -3 \end{pmatrix} $$ 1. **Równanie charakterystyczne:** $\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -1-\lambda & a \\ 2 & -3-\lambda \end{pmatrix} = (-1-\lambda)(-3-\lambda) - 2a = ( \lambda+1)(\lambda+3) - 2a = \lambda^2 + 4\lambda + 3 - 2a = 0$ 2. **Współczynniki:** $a_2=1, a_1=4, a_0=3-2a$. Dla stabilności: $a_1 > 0$ (spełnione), $a_0 > 0 \implies 3-2a > 0 \implies 2a < 3 \implies a < 1.5$. 3. **Macierz Hurwitza (dla n=2):** $H_1 = [a_1] = [4]$ $H_2 = \begin{pmatrix} a_1 & a_0 \\ a_3 & a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3-2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (gdzie $a_3=0$ dla $n=2$) Wyznaczniki: $\det(H_1) = 4 > 0$, $\det(H_2) = 4 \cdot 1 - (3-2a) \cdot 0 = 4 > 0$. 4. **Warunek stabilności:** $a < 1.5$. System jest asymptotycznie stabilny dla $a < 1.5$. #### Przykład 1: Sprzężenie Zwrotne Dla układu $\dot{x} = Ax + Bu$ z $u = -Kx$. Układ zamknięty: $\dot{x} = (A - BK)x$. 1. **Macierz A i B:** $$ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Przyjmiemy $a=-1$ (system niestabilny). 2. **Macierz sprzężenia:** $K = [k_1 \quad k_2]$. 3. **Układ zamknięty $A_{cl} = A - BK$:** $$ A_{cl} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [k_1 \quad k_2] = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ k_1 & k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -2-k_1 & -3-k_2 \end{pmatrix} $$ 4. **Równanie charakterystyczne:** $\det(A_{cl} - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -2-\lambda & 1 \\ -2-k_1 & -3-k_2-\lambda \end{pmatrix} = (-2-\lambda)(-3-k_2-\lambda) - 1 \cdot (-2-k_1) = 0$ $(\lambda+2)(\lambda+3+k_2) + 2+k_1 = \lambda^2 + (5+k_2)\lambda + 6+2k_2+2+k_1 = \lambda^2 + (5+k_2)\lambda + (8+2k_2+k_1) = 0$ 5. **Porównanie z zadanymi wartościami własnymi:** Dla $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2$, pożądane równanie charakterystyczne to $(\lambda+1)(\lambda+2) = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0$. Porównując współczynniki: $5+k_2 = 3 \implies k_2 = -2$ $8+2k_2+k_1 = 2 \implies 8+2(-2)+k_1 = 2 \implies 8-4+k_1 = 2 \implies 4+k_1 = 2 \implies k_1 = -2$ Zatem $K = [-2 \quad -2]$. ### Równania Stanu Systemu - **Równania stanu:** opisują dynamikę systemu za pomocą zmiennych stanu. $\dot{x} = f(x, u)$ (równanie stanu) $y = h(x, u)$ (równanie wyjścia) #### Przykład 2: Punkty Równowagi Dla systemu nieliniowego: $\dot{x}_1 = -x_2$ $\dot{x}_2 = -x_1^2 + 2x_1x_2 + u$ 1. **Punkty równowagi (dla $u=1$):** Ustawiamy $\dot{x}_1 = 0$ i $\dot{x}_2 = 0$. $0 = -x_2 \implies x_2 = 0$ $0 = -x_1^2 + 2x_1(0) + 1 \implies 0 = -x_1^2 + 1 \implies x_1^2 = 1 \implies x_1 = \pm 1$ Punkty równowagi: $(x_1, x_2) = (1, 0)$ oraz $(-1, 0)$. #### Przykład 2: Linearyzacja Linearyzacja wokół punktu równowagi $(x_{e1}, x_{e2})$: $\Delta \dot{x} = A \Delta x + B \Delta u$ gdzie $A = \frac{\partial f}{\partial x} \Big|_{(x_e, u_e)}$ i $B = \frac{\partial f}{\partial u} \Big|_{(x_e, u_e)}$. $f_1 = -x_2$ $f_2 = -x_1^2 + 2x_1x_2 + u$ Macierz Jacobiego: $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2x_1 + 2x_2 & 2x_1 \end{pmatrix} $$ Wektor B: $$ \frac{\partial f}{\partial u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u} \\ \frac{\partial f_2}{\partial u} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 1. **Dla punktu $(1, 0)$ i $u_e=1$:** $$ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2(1) + 2(0) & 2(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Zlinearyzowany system: $\begin{pmatrix} \Delta \dot{x}_1 \\ \Delta \dot{x}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_1 \\ \Delta x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \Delta u$ 2. **Dla punktu $(-1, 0)$ i $u_e=1$:** $$ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2(-1) + 2(0) & 2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Zlinearyzowany system: $\begin{pmatrix} \Delta \dot{x}_1 \\ \Delta \dot{x}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_1 \\ \Delta x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \Delta u$ #### Schemat Analogowy Systemu Nieliniowego Graficzne przedstawienie równań stanu przy użyciu integratorów, sumatorów i wzmacniaczy. Dla $\dot{x}_1 = -x_2$ i $\dot{x}_2 = -x_1^2 + 2x_1x_2 + u$: - Dwa integratory, jeden dla $x_1$, drugi dla $x_2$. - Wejście do integratora $x_1$ to $-x_2$. - Wejście do integratora $x_2$ to $-x_1^2 + 2x_1x_2 + u$. - Należy zrealizować mnożenia $x_1^2$ i $2x_1x_2$ za pomocą multiplikatorów. ### Sterowalność i Obserwowalność - **Sterowalność:** Możliwość doprowadzenia systemu z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego w skończonym czasie za pomocą sygnału wejściowego $u(t)$. - **Obserwowalność:** Możliwość określenia stanu wewnętrznego systemu na podstawie pomiarów wyjścia $y(t)$ w skończonym czasie. - **Kryterium Kalmana (dla układów liniowych):** - **Sterowalność:** System jest sterowalny, jeśli rząd macierzy sterowalności $P = [B \quad AB \quad A^2B \quad \dots \quad A^{n-1}B]$ jest równy $n$ (wymiarowi stanu). - **Obserwowalność:** System jest obserwowalny, jeśli rząd macierzy obserwowalności $Q = [C^T \quad (CA)^T \quad (CA^2)^T \quad \dots \quad (CA^{n-1})^T]^T$ jest równy $n$. #### Przykład 3: Badanie Sterowalności i Obserwowalności **System (A):** $\dot{x}_1 = x_1 + 2x_2 + u$ $\dot{x}_2 = 3x_2$ $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ 1. **Macierz sterowalności:** $AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $P = [B \quad AB] = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ $\det(P) = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 0$. Rząd $P$ jest mniejszy niż $n=2$. **System (A) jest niesterowalny.** **System (B):** $\dot{x}_1 = x_1 + 2x_2$ $\dot{x}_2 = 4x_1 + u$ $y = x_1 - x_2$ $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix} $$ 1. **Sterowalność:** $AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ $P = [B \quad AB] = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ $\det(P) = 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2 \neq 0$. Rząd $P$ jest równy $n=2$. **System (B) jest sterowalny.** 2. **Obserwowalność:** $CA = \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \end{pmatrix}$ $Q = \begin{pmatrix} C \\ CA \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ $\det(Q) = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-3) = 2 - 3 = -1 \neq 0$. Rząd $Q$ jest równy $n=2$. **System (B) jest obserwowalny.** #### Schemat Analogowy Systemu (B) Dla równań: $\dot{x}_1 = x_1 + 2x_2$ $\dot{x}_2 = 4x_1 + u$ $y = x_1 - x_2$ - Dwa integratory (dla $x_1$ i $x_2$). - Wejście do integratora $x_1$ to $x_1+2x_2$. - Wejście do integratora $x_2$ to $4x_1+u$. - Wyjście $y$ to suma $x_1$ i $-x_2$. ### Obserwator Stanu Kalmana - **Cel:** Estymacja stanu wewnętrznego systemu, gdy nie wszystkie zmienne stanu są bezpośrednio mierzalne. - **Zasada działania:** Wykorzystuje model systemu i pomiary wyjścia do generowania estymacji stanu. Różnica między rzeczywistym wyjściem a wyjściem z modelu (tzw. innowacja) jest wykorzystywana do korygowania estymacji stanu. - **Równanie obserwatora:** $\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x})$ gdzie $\hat{x}$ to estymowany stan, $L$ to macierz wzmocnienia obserwatora. - **Macierz L:** Dobierana tak, aby dynamika błędu estymacji $e = x - \hat{x}$ była stabilna i odpowiednio szybka. Bieguny obserwatora są wybierane tak, aby były szybsze niż bieguny regulatora. #### Przykład 4: Schemat Blokowy Obserwatora Kalmana Dla liniowego systemu stacjonarnego $x(t) = Ax(t) + Bu(t)$, $y(t) = Cx(t)$: 1. **Ogólny schemat blokowy z obserwatorem stanu Kalmana:** - **Blok Systemu:** Wejście $u(t)$, Wyjście $y(t)$. - **Blok Obserwatora:** - Wejścia: $u(t)$, $y(t)$. - Wyjście: $\hat{x}(t)$ (estymowany stan). - Wewnątrz: Realizacja $\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x})$. - Sygnały: - $u(t)$: sygnał sterujący (wejście do systemu i obserwatora) - $y(t)$: zmierzone wyjście (wejście do obserwatora) - $C\hat{x}$: estymowane wyjście (generowane przez obserwator) - $e_y = y - C\hat{x}$: błąd wyjścia (innowacja) - $L(y - C\hat{x})$: korekcja estymacji stanu - $A\hat{x} + Bu$: predykcja stanu - $\hat{x}(t)$: estymowany stan (wyjście obserwatora) #### Przykład 4: Układ Zamknięty z Regulacją Stanu i Obserwatorem Przyjmując regulator postaci $u(t) = -Kx(t) + K_f r(t)$ (gdzie $r$ to sygnał referencyjny), ale skoro obserwator estymuje stan, to używamy $u(t) = -K\hat{x}(t) + K_f r(t)$. 1. **Model (równanie) układu zamkniętego:** $\dot{x} = Ax + B(-K\hat{x} + K_f r) = Ax - BK\hat{x} + BK_f r$ $\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + B(-K\hat{x} + K_f r) + L(y - C\hat{x}) = A\hat{x} - BK\hat{x} + BK_f r + L(Cx - C\hat{x})$ $\dot{\hat{x}} = (A-BK-LC)\hat{x} + LCx + BK_f r$ Wprowadzając błąd estymacji $e = x - \hat{x}$: $\dot{e} = (A - LC)e$ Równanie systemu w zmiennych stanu i błędu: $\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{e} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-BK & BK \\ 0 & A-LC \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ e \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} BK_f \\ 0 \end{pmatrix} r$ Bieguny układu zamkniętego są sumą biegunów regulatora i obserwatora: $\det(sI - (A-BK)) \det(sI - (A-LC)) = 0$. 2. **Schemat blokowy układu zamkniętego:** - **System:** $\dot{x} = Ax + Bu$, $y = Cx$ - **Regulator:** $u = -K\hat{x} + K_f r$ - **Obserwator:** $\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x})$ - **Feedback:** $\hat{x}$ z obserwatora jest podawane na wejście regulatora $K$. - **Feedforward:** $r$ (sygnał referencyjny) jest podawany na wejście regulatora $K_f$. - Połączenia: - Wyjście $y$ z systemu jest wejściem do obserwatora. - Wyjście $\hat{x}$ z obserwatora jest wejściem do regulatora. - Wyjście $u$ z regulatora jest wejściem do systemu i obserwatora. ### Model Nomoto Statku - **Cel:** Opis dynamiki kursu statku. Jest to często uproszczony model pierwszego rzędu. - **Model:** $\frac{dT}{dt} + T\frac{d\psi}{dt} = K\delta$ lub częściej w formie transmitancji: $G(s) = \frac{\Psi(s)}{\Delta(s)} = \frac{K}{Ts+1}$ gdzie: - $\psi$: kąt kursu statku - $\delta$: kąt wychylenia steru - $K$: współczynnik wzmocnienia (gain) - $T$: stała czasowa (time constant) #### Równania Stanu Dla modelu Nomoto: $T\dot{\psi} + \psi = K\delta$. Przyjmując stan $x_1 = \psi$: $\dot{x}_1 = -\frac{1}{T}x_1 + \frac{K}{T}\delta$ Jest to model pierwszego rzędu. Jeśli rozszerzymy go o prędkość kątową: $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -\frac{1}{T}x_2 + \frac{K}{T}\delta$ W formie macierzowej: $$ \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1/T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ K/T \end{pmatrix} \delta $$ Gdzie $x_1$ to kurs statku, $x_2$ to prędkość kątowa zmiany kursu. #### Proste Równania Kinematyki (rysunek obiektu) - **Kinematyka:** opis ruchu bez uwzględnienia sił. - **Dla statku:** - Położenie statku na płaszczyźnie $(x, y)$. - Kąt kursu $\psi$. - Prędkość statku $V$. - Równania: $\dot{x} = V \cos(\psi)$ $\dot{y} = V \sin(\psi)$ $\dot{\psi} = r$ (prędkość kątowa obrotu) - **Rysunek:** Statek z oznaczonymi osiami, wektorem prędkości $V$, kątem kursu $\psi$, położeniem $(x, y)$ i sterem o kącie wychylenia $\delta$. #### Schemat Analogowy (blokowy) Dla równań stanu: $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -\frac{1}{T}x_2 + \frac{K}{T}\delta$ - Dwa integratory. - Wejście do integratora $x_1$ to $x_2$. - Wejście do integratora $x_2$ to $-\frac{1}{T}x_2 + \frac{K}{T}\delta$. - Realizacja wzmocnień $\frac{1}{T}$ i $\frac{K}{T}$ za pomocą wzmacniaczy. ### Cel i Zastosowanie Obserwatora Stanu - **Co to jest obserwator stanu?** Algorytm, który na podstawie znajomości modelu systemu, sygnałów wejściowych i mierzonych sygnałów wyjściowych, estymuje wewnętrzne zmienne stanu systemu, które nie są bezpośrednio dostępne do pomiaru. - **W jakim celu stosujemy?** 1. **Brak czujników:** Gdy nie ma możliwości technicznych lub ekonomicznych pomiaru wszystkich zmiennych stanu. 2. **Redukcja kosztów:** Zastąpienie drogich czujników przez oprogramowanie. 3. **Filtracja szumów:** Estymacja stanu jest zazwyczaj odporniejsza na szumy pomiarowe niż bezpośrednie pomiary. 4. **Wykorzystanie w regulacji:** Zapewnia estymowany stan $\hat{x}$ dla regulatora stanu (np. LQR, sterowanie z rozmieszczeniem biegunów), gdy rzeczywisty stan $x$ nie jest dostępny. 5. **Diagnostyka i detekcja uszkodzeń:** Monitorowanie różnicy między rzeczywistym a estymowanym wyjściem (innowacji) może wskazywać na awarie czujników lub zmiany w dynamice systemu. 6. **Poprawa wydajności regulatora:** Dostarcza pełną informację o stanie, co pozwala na bardziej zaawansowane strategie sterowania. - **Przykład:** W systemach autonomicznych (np. robotyka, pojazdy) obserwator Kalmana często łączy dane z różnych czujników (GPS, IMU, lidar, kamera) w celu uzyskania spójnej i precyzyjnej estymacji położenia i orientacji (stanu) obiektu.